Tổng hợp công thức lượng giác

TỔNG HỢP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Công thức cộng
 sin .cos cos .sin sin( )a b a b a b  
 sin .cos cos .sin sin( )a b a b a b  
 cos .cos sin .sin cos( )a b a b a b  
 cos .cos sin .sin cos( )a b a b a b  
 tan tantan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
  
 tan tantan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
  
2. Công thức góc nhân đôi, nhân ba
 sin 2 2sin .cosa a a
 2 2os2 os sinc a c a a 
=
22cos 1a 
=
21 2sin a
 3sin3 3sin 4cosa a a 
 3cos3 4cos 3cosa a a 
Một số trường hợp hay sử dụng:
 21 cos2 2cosa a  3 3 3 1cos .cos3 sin .sin3 cos2 cos6
4 4
a a a a a a  
 21 cos2 2sina a  3 3 1sin .cos3 cos .sin3 sin 4
4
a a a a a 
 21 sin 2 (sin cos )a a a  
 cos2 (cos sin ).(cos sin )a a a a a  
3. Công thức hạ bậc
 1sin .cos sin 2
2
a a a
 2 1cos (1 cos2 )
2
a a 
 2 1sin (1 cos2 )
2
a a 
 2 1 cos2tan
1 cos2
a
a
a
 
 3 1sin (3sin sin3 )
4
a a a 
 3 1cos (3cos cos3 )
4
a a a 
4. Công thức biểu diễn theo tan
2
x
t 
 22sin 1
t
a
t
  2
2
tan
1
t
a
t
 

2
2
1
cos
1
t
a
t
 
21
cot
2
t
a
t

5. Công thức biến đổi tổng thành tích
 cos cos 2.cos .cos
2 2
a b a b
a b   
 cos cos 2.sin .sin
2 2
a b a b
a b    
 sin sin 2.sin .cos
2 2
a b a b
a b   
 sin sin 2.cos .sin
2 2
a b a b
a b   
Một số trường hợp đặc biệt hay sử dụng:
 sin cos 2.sin( ) 2. os( )
4 4
a a a c a
     
 sin cos 2.sin( ) 2. os( )
4 4
a a a c a
      
 sin 3.cos 2.sin( ) 2.cos( )
3 6
a a a a
     
 sin 3.cos 2.sin( ) 2.cos( )
3 6
a a a a
      
6. Công thức biến đổi tích thành tổng
  1sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b   
  1cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b   
  1sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b   
7. Công thức hay sử dụng khác
 4 4 21 3 1sin cos 1 sin 2 cos4
2 4 4
a a a a    
 6 6 23 5 3sin cos 1 sin 2 cos4
4 8 8
a a a a    
 4 4 2 2cos sin cos sin cos2a a a a a   
 2tan cot
sin 2
a a
a
  ; sin( )tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
 
 sin( 2 ) sin ; cos(a+k2 )= cosaa k a  
 Cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém tan, cot ( phải hiểu câu này nhé)
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình cơ bản
 2sin sin ( )
2
x k
x k
x k
    
       
 2cos cos ( )
2
x k
x k
x k
   
       
 tan tan ( )x x k k      
 cot cot (k )x x k      
Một số trường hợp đặc biệt:
 sin 0 ( )x x k k   
 sin 1 2 (k )
2
x x k     
 cos 0 ( )
2
x x k k     
 cos 1 2 (k )x x k     .
2. Phương trình bậc hai của hàm số lượng giác
 2.sin sin 0a x b x c  
 2.cos cos 0a x b x c  
 2tan tan 0a x b x c  
 2cot cot 0a x b x c  
Đặt sin (cos )t x x ( 1 1t   ) hoặc tan (cot )t x x ( t )
Pt trở thành : 2. . 0a t b t c  
Lưu ý: Với phương trình bậc 3 cũng làm tương tự
3. Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx
 .sin .cos 0a x b x c  
2 2 2 2 2 2
sin cos
sin( ) sin
a b c
x x
a b a b a b
x  
    
  
Trong đó:
2 2 2 2 2 2
cos ;sin ;sina b c
a b a b a b
       
Điều kiện phương trình có nghiệm 2 2 2a b c  
§inh TiÕn NguyÖn 0982 648 156 
4. Phương trình đẳng cấp bậc hai theo sinx và cosx
 2 2.sin sin .cos .cosa x b x x c x d  
 Cách 1:
 cosx = 0 sinx= ±1. Thay vào phương trình kiểm tra có là
nghiệm không ( a = d thì pt có nghiệm)
 cosx ≠ 0. Chia hai vế cho cos2x ta được:
2 2
2
 .tan tan (tan 1)
( ).tan tan 0
a x b x c d x
a d a b x c d
   
     
 Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc 2.
 2 21 1 1sin (1 cos2 ) ; cos (1 cos2 ) ; sinx.cosx= sin 2
2 2 2
x x x x x   
(1 cos2 ) sin 2 (1 cos2 )
2 2 2
a b cpt x x x d      .
5. Phương trình đối xứng theo sinx và cosx
 .(sin cos ) sin .cos 0a x x b x x c   
Đặt : sin cos 2 cos( ) ( - 2 2)
4
t x x x t
     
21sin .cos ( 1)
2
x x t   . Thay vào phương trình ta được:
2 2
 . ( 1) 0 2 . 2 0
2
b
a t t c bt a t c b        