Tổng hợp chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9

 1
a b cd d d a b c
      ( ®pcm ) 
Bμi tËp vÒ nhμ 
Cho ABC coù BC = a, AC = b, AB = c (b > c), caùc phaân giaùc BD, CE 
a) Tính ñoä daøi CD, BE roài suy ra CD > BE 
b) Veõ hình bình haønh BEKD. Chöùng minh: CE > EK 
c) Chöùng minh CE > BD 
H
F
E
D
CB
A
 39
CHUYEÂN ÑEÀ 10 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ TAM GIAÙC ÑOÀNG DAÏNG 
A. Kieán thöùc: 
* Tam giaùc ñoàng daïng: 
a) tröôøng hôïp thöù nhaát: (c.c.c) 
ABC A’B’C’  AB AC BC = = 
A'B' A'C' B'C'
b) tröôøng hôïp thöù nhaát: (c.g.c) 
ABC A’B’C’  AB AC = 
A'B' A'C'
 ;  A = A' 
c. Tröôøng hôïp ñoàng daïng thöù ba (g.g) 
ABC A’B’C’   A = A' ;  B = B' 
AH; A’H’laø hai ñöôøng cao töông öùng thì: A'H'
AH
 = k (Tæ soá ñoàng daïng); A'B'C'
ABC
S
S
 = K
2 
B. Baøi taäp aùp duïng 
Baøi 1: 
Cho ABC coù  B = 2 C , AB = 8 cm, BC = 10 cm. 
a)Tính AC 
b)Neáu ba caïnh cuûa tam giaùc treân laø ba soá töï nhieân lieân tieáp thì 
moãi caïnh laø bao nhieâu? 
Giaûi 
Caùch 1: 
Treân tia ñoái cuûa tia BA laáy ñieåm E sao cho:BD = BC 
ACD ABC (g.g)  AC AD
AB AC
 
2AC AB. AD =AB.(AB + BD)  = AB(AB + BC) 
= 8(10 + 8) = 144  AC = 12 cm 
Caùch 2: 
Veõ tia phaân giaùc BE cuûa ABC  ABE ACB 
2AB AE BE AE + BE AC = AC = AB(AB + CB) 
AC AB CB AB + CB AB + CB
    = 8(8 + 10) = 144 
  AC = 12 cm 
b) Goïi AC = b, AB = a, BC = c thì töø caâu a ta coù b2 = a(a + c) (1) 
Vì b > aneân coù theå b = a + 1 hoaëc b = a + 2 
+ Neáu b = a + 1 thì (a + 1)2 = a2 + ac  2a + 1 = ac  a(c – 2) = 1 
a = 1; b = 2; c = 3(loaïi) 
+ Neáu b = a + 2 thì a(c – 4) = 4 
- Vôùi a = 1 thì c = 8 (loaïi) 
- Vôùi a = 2 thì c = 6 (loaïi) 
E
D
C
B
A
D
CB
A
 40
- vôùi a = 4 thì c = 6 ; b = 5 
Vaäy a = 4; b = 5; c = 6 
Baøi 2: 
Cho ABC caân taïi A, ñöôøng phaân giaùc BD; tính BD 
bieát BC = 5 cm; AC = 20 cm 
Giaûi 
Ta coù CD BC 1 = 
AD AC 4
  CD = 4 cm vaø BC = 5 cm 
Baøi toaùn trôû veà baøi 1 
Baøi 3: 
Cho ABC caân taïi A vaø O laø trung ñieåm cuûa BC. Moät ñieåm O di ñoäng treân AB, laáy 
ñieåm E treân AC sao cho 
2OBCE = 
BD
. Chöùng minh raèng 
a) DBO OCE 
b) DOE DBO OCE 
c) DO, EO laàn löôït laø phaân giaùc cuûa caùc goùc BDE, CED 
d) khoaûng caùch töø O ñeán ñoaïn ED khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân AB 
Giaûi 
a) Töø 
2OBCE = 
BD
  CE OB = 
OB BD
 vaø  B = C (gt)  DBO OCE 
b) Töø caâu a suy ra   23O = E (1) 
 Vì B, O ,C thaúng haøng neân    03O + DOE EOC 180  (2) 
trong tam giaùc EOC thì    02E + C EOC 180  (3) 
Töø (1), (2), (3) suy ra   DOE B C  
DOE vaø DBO coù DO OE = 
DB OC
 (Do DBO OCE) 
vaø DO OE = 
DB OB
 (Do OC = OB) vaø   DOE B C  
neân DOE DBO OCE 
c) Töø caâu b suy ra  1 2D = D  DO laø phaân giaùc cuûa caùc goùc BDE 
Cuûng töø caâu b suy ra  1 2E = E EO laø phaân giaùc cuûa caùc goùc CED 
c) Goïi OH, OI laø khoaûng caùch töø O ñeán DE, CE thì OH = OI, maø O coá ñònh neân OH 
khoâng ñoåi OI khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân AB 
Baøi 4: (Ñeà HSG huyeän Loäc haø – naêm 2007 – 2008) 
Cho ABC caân taïi A, coù BC = 2a, M laø trung ñieåm BC, laáy D, E thuoäc AB, AC sao 
cho  DME = B 
a) Chöùng minh tích BD. CE khoâng ñoåi 
b)Chöùng minh DM laø tia phaân giaùc cuûa BDE 
c) Tính chu vi cuûa AED neáu  ABC laø tam giaùc ñeàu 
Giaûi 
21
3
2
1 H
I
O
E
D
CB
A
 41
a) Ta coù     DMC = DME + CME = B + BDM , maø  DME = B(gt) 
neân  CME = BDM , keát hôïp vôùi  B = C (ABC caân taïi A) 
suy ra BDM CME (g.g) 
 2BD BM = BD. CE = BM. CM = a
CM CE
 khoâng ñoåi 
b) BDM CME  DM BD DM BD = = 
ME CM ME BM
 
(do BM = CM) DME DBM (c.g.c)   MDE = BMD 
hay DM laø tia phaân giaùc cuûa BDE 
c) chöùng minh töông töï ta coù EM laø tia phaân giaùc cuûa DEC 
keû MH CE ,MI DE, MK DB thì MH = MI = MK  
DKM = DIM 
DK =DI  EIM = EHM EI = EH 
Chu vi AED laø PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK) 
ABC laø tam giaùc ñeàu neân suy ra CME cuûng laø tam giaùc ñeàu CH = MC
2 2
a 
 AH = 1,5a  PAED = 2 AH = 2. 1,5 a = 3a 
Baøi 5: 
Cho tam giaùc ABC, trung tuyeán AM. Qua ñieåm D thuoäc caïnh 
BC, veõ ñöôøng thaúng song song vôùi AM, caét AB, AC taïi E vaø F 
a) chöùng minh DE + DF khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân BC 
b) Qua A veõ ñöôøng thaúng song song vôùi BC, caét FE taïi K. 
Chöùng minh raèng K laø trung ñieåm cuûa FE 
Giaûi 
a) DE // AM  DE BD BD = DE = .AM
AM BM BM
 (1) 
 DF // AM  DF CD CD CD = DF = .AM = .AM 
AM CM CM BM
 (2) 
Töø (1) vaø (2) suy ra 
DE + DF = BD CD .AM + .AM
BM BM
 = BD CD BC+ .AM = .AM = 2AM
BM BM BM
    khoâng ñoåi 
b) AK // BC suy ra FKA AMC (g.g)  FK KA = 
AM CM
 (3) 
EK KA EK KA EK KA EK KA EK KA = = = 
ED BD ED + EK BD + KA KD BD + DM AM BM AM CM
      (2) 
(Vì CM = BM) 
Töø (1) vaø (2) suy ra FK EK
AM AM
 FK = EK hay K laø trung ñieåm cuûa FE 
Baøi 6: (Ñeà HSG huyeän Thaïch haø naêm 2003 – 2004) 
Cho hình thoi ABCD caïnh a coù  0A = 60 , moät ñöôøng thaúng baát kyø qua C caét tia ñoái cuûa 
caùc tia BA, DA taïi M, N 
K
H
I
M
E
D
CB
A
K
F
E
D M
CB
A
 42
a) Chöùng minh raèng tích BM. DN coù giaù trò khoâng ñoåi 
b) Goïi K laø giao ñieåm cuûa BN vaø DM. Tính soá ño cuûa goùc BKD 
Giaûi 
a) BC // AN  MB CM = 
BA CN
(1) 
 CD// AM  CM AD = 
CN DN
 (2) 
Töø (1) vaø (2) suy ra 
2MB AD = MB.DN = BA.AD = a.a = a
BA DN
 
b) MBD vaøBDN coù   MBD = BDN = 1200 
 MB MB CM AD BD = = 
BD BA CN DN DN
  (Do ABCD laø hình thoi 
coù  0A = 60 neân AB = BC = CD = DA)  MBD BDN 
Suy ra  1 1M = B . MBD vaøBKD coù  BDM = BDK vaø  1 1M = B neân   0BKD = MBD = 120 
Baøi 7: 
Cho hình bình haønh ABCD coù ñöôøng cheùo lôùn AC,tia Dx caét SC, AB, BC laàn löôït taïi 
I, M, N. Veõ CE vuoâng goùc vôùi AB, CF vuoâng goùc vôùi AD, BG vuoâng goùc vôùi AC. Goïi 
K laø ñieåm ñoái xöùng vôùi D qua I. Chöùng minh raèng 
a) IM. IN = ID2 
b) KM DM = 
KN DN
c) AB. AE + AD. AF = AC2 
Giaûi 
a) Töø AD // CM  IM CI = 
ID AI
 (1) 
Töø CD // AN  CI ID 
AI IN
 (2) 
Töø (1) vaø (2) suy ra IM
ID
= ID
IN
 hay ID2 = IM. IN 
b) Ta coù DM CM DM CM DM CM = = = 
MN MB MN + DM MB + CM DN CB
  (3) 
Töø ID = IK vaø ID2 = IM. IN suy ra IK2 = IM. IN 
 IK IN IK - IM IN - IK KM KN KM IM = = = = 
IM IK IM IK IM IK KN IK
    KM IM CM CM = 
KN ID AD CB
  (4) 
Töø (3) vaø (4) suy ra KM DM = 
KN DN
c) Ta coù AGB AEC  AE AC= AB.AE = AC.AG
AG AB
 
 AB. AE = AG(AG + CG) (5) 
CGB AFC  AF CG CG = 
AC CB AD
 (vì CB = AD) 
AF . AD = AC. CG  AF . AD = (AG + CG) .CG (6) 
1
1 K
M
ND
C
B
A
I
K
F
G
E
M
D
C
BA N
 43
Coäng (5) vaø (6) veá theo veá ta coù: 
AB. AE + AF. AD = (AG + CG) .AG + (AG + CG) .CG 
 AB. AE + AF. AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2 
Vaäy: AB. AE + AD. AF = AC2 
Baøi taäp veà nhaø 
Baøi 1 
Cho Hình bình haønh ABCD, moät ñöôøng thaúng caét AB, AD, AC laàn löôït taïi E, F, G 
Chöùng minh: AB AD AC + = 
AE AF AG
HD: Keû DM // FE, BN // FE (M, N thuoäc AC) 
Baøi 2: 
Qua ñænh C cuûa hình bình haønh ABCD, keû ñöôøng thaúng caét BD, AB, AD ôû E, G, F 
 chöùng minh: 
a) DE2 = FE
EG
. BE2 
b) CE2 = FE. GE 
(Gôïi yù: Xeùt caùc tam giaùc DFE vaø BCE, DEC vaø BEG) 
Baøi 3 
Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, ñöôøng cao AH, trung tuyeán BM, phaân giaùc CD caét 
nhau taïi moät ñieåm. Chöùng minh raèng 
a) BH CM AD. . 1
HC MA BD
 
b) BH = AC 
 44
CHUYEÂN ÑEÀ 11 – PHÖÔNG TRÌNH BAÄC CAO 
A.Muïc tieâu: 
* Cuûng coá, oân taäp kieán thöùc vaø kyõ naêng giaûi caùc Pt baäc cao baèng caùch phaân tích thaønh 
nhaân töû 
* Khaéc saâu kyõ naêng phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû vaø kyõ naêng giaûi Pt 
B. Kieán thöùc vaø baøi taäp: 
I. Phöông phaùp: 
* Caùch 1: Ñeå giaûi caùc Pt baäc cao, ta bieán ñoåi, ruùt goïn ñeå döa Pt veà daïng Pt coù veá traùi 
laø moät ña thöùc baäc cao, veá phaûi baèng 0, vaän duïng caùc phöông phaùp phaân tích ña thöùc 
thaønh nhaân töû ñeå ñöa Pt veà daïng pt tích ñeå giaûi 
* Caùch 2: Ñaët aån phuï 
II. Caùc ví duï: 
1.Ví duï 1: Giaûi Pt 
 a) (x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12 
 ... 2x3 + 10x = 12  x3 + 5x – 6 = 0  (x3 – 1) + (5x – 5)  (x – 1)(x2 + x + 6) 
= 0 
 2
2
x = 1
x - 1 = 0
x 11 23x + x + 6 = 0 x + 0
2 4
          
 (Vì 
21 23x + 0
2 4
      voâ nghieäm) 
b) x4 + x2 + 6x – 8 = 0 (1) 
Veá phaûi cuûa Pt laø moät ña thöùc coù toång caùc heä soá baèng 0, neân coù moät nghieäm x = 1 neân 
coù nhaân töû laø x – 1, ta coù 
(1)  (x4 – x3) + (x3 – x2) + (2x2 – 2x) + (8x – 8) = 0 
  ... (x – 1)(x3 + x2 + 2x + 8)  (x – 1)[(x3 + 2x2) – (x2 + 2x) + (4x – 8) ] = 0 
  (x – 1)[x2(x + 2) – x(x + 2) + 4(x + 2) = 0  (x – 1)(x + 2)(x2 – x + 4) = 0 .... 
c) (x – 1)3 + (2x + 3)3 = 27x3 + 8 
 x3 – 3x2 + 3x – 1 + 8x3 + 36x2 + 54x + 27 – 27x3 – 8 = 0 
 - 18x3 + 33x2 + 57 x + 18 = 0  6x3 - 11x2 - 19x - 6 = 0 (2) 
Ta thaáy Pt coù moät nghieäm x = 3, neân veá traùi coù nhaân töû x – 3: 
(2)  (6x3 – 18x2) + (7x2 – 21x) + (2x – 6) = 0 
 6x2(x – 3) + 7x(x – 3) + 2(x – 3) = 0  (x – 3)(6x2 + 7x + 2) = 0 
 (x – 3)[(6x2 + 3x) + (4x + 2)] = 0  (x – 3)[3x(2x + 1) + 2(2x + 1)] = 0 
 (x – 3)(2x + 1)(3x + 2) ..... 
d) (x2 + 5x)2 – 2(x2 + 5x) = 24  [(x2 + 5x)2 – 2(x2 + 5x) + 1] – 25 = 0 
 (x2 + 5x - 1)2 – 25 = 0  (x2 + 5x - 1 + 5)( (x2 + 5x - 1 – 5) = 0 
 (x2 + 5x + 4) (x2 + 5x – 6) = 0  [(x2 + x) +(4x + 4)][(x2 – x) + (6x – 6)] = 0 
 (x + 1)(x + 4)(x – 1)(x + 6) = 0 .... 
e) (x2 + x + 1)2 = 3(x4 + x2 + 1)  (x2 + x + 1)2 - 3(x4 + x2 + 1) = 0 
 45
 (x2 + x + 1)2 – 3(x2 + x + 1)( x2 - x + 1) = 0 
 ( x2 + x + 1)[ x2 + x + 1 – 3(x2 - x + 1)] = 0  ( x2 + x + 1)( -2x2 + 4x - 2) = 0 
 (x2 + x + 1)(x2 – 2x + 1) = 0  ( x2 + x + 1)(x – 1)2 = 0... 
f) x5 = x4 + x3 + x2 + x + 2  (x5 – 1) – (x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 
 (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1) – (x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 
 (x – 2) (x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 
+) x – 2 = 0  x = 2 
+) x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0  (x4 + x3) + (x + 1) + x2 = 0  (x +