Tổng hợp các phương trình, bất phương trình vô tỉ

i 3: giải phương trình sau :
Giải: 
Đk: 
Nhận xt : Ta viết 
Đồng nhất thức ta được: 
Đặt , ta được: 
 Ta được :
Bài 4. Giải phương trình :
Giải:
Nhận xét : Đặt ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :
Pt cĩ nghiệm :
b).Phương trình dạng : 
Phương trình cho ở dạng này thường khĩ “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.
Bài 1. giải phương trình : 
Giải: 
Ta đặt : khi đĩ phương trình trở thành : 
Bài 2.Giải phương trình sau : 
Giải 
Đk . Bình phương 2 vế ta cĩ : 
Ta cĩ thể đặt : khi đĩ ta cĩ hệ : 
Do . 
Bài 3. giải phương trình : 
Giải:
Đk . Chuyển vế bình phương ta được: 
Nhận xét : khơng tồn tại số để : vậy ta khơng thể đặt 
.
Nhưng may mắn ta cĩ : 
Ta viết lại phương trình: . Đến đây bài tốn được giải quyết . 
Các em hãy tự sáng tạo cho mình những phương trình vơ tỉ “đẹp “ theo cách trên 
3. Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 
Từ những phương trình tích ,
Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vơ tỉ khơng tầm thường chút nào, độ khĩ của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .
Từ đĩ chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau .
Bài 1. Giải phương trình :
Giải: 
 , ta cĩ : 
Bài 2. Giải phương trình : 
Giải:
Đặt : 	Khi đĩ phương trình trở thnh : 
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t cĩ chẵn :
Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau 
Bài 3. Giải phương trình sau : 
Giải: 
Nhận xét : đặt , pttt: (1)
Ta rút thay vào thì được pt: 
Nhưng khơng cĩ sự may mắn để giải được phương trình theo t khơng cĩ dạng bình phương .
Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo 
Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được:
Bài 4. Giải phương trình: 
Giải .
Bình phương 2 vế phương trình: 
Ta đặt : . Ta được: 
Ta phải tách làm sao cho cĩ dạng chính phương .
Nhận xét : Thơng thường ta chỉ cần nhĩm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích 
4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích 
Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta cĩ thể tạo ra được những phương trình vơ tỉ mà khi giải nĩ chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ
Xuất phát từ đẳng thức , Ta cĩ
Từ nhận xét này ta cĩ thể tạo ra những phương trình vơ tỉ cĩ chứa căn bậc ba . 
Bài 1. Giải phương trình :
Giải : , ta cĩ : , giải hệ ta được: 
Bài 2. Giải phương trình sau :
Giải . Ta đặt : , khi đĩ ta cĩ : 
Bài 3. Giải các phương trình sau 
5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ:
5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thơng thường 
Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đĩ tìm được hệ theo u,v 
Bài 1. Giải phương trình: 
Đặt 
Khi đĩ phương trình chuyển về hệ phương trình sau: , giải hệ này ta tìm được . Tức là nghiệm của phương trình là 
Bài 2. Giải phương trình: 
Điều kiện: 
Đặt 
Ta đưa về hệ phương trình sau: 
Giải phương trình thứ 2: , từ đĩ tìm ra rồi thay vào tìm nghiệm của phương trình.
Bài 3. Giải phương trình sau: 
Điều kiện: 
Đặt thì ta đưa về hệ phương trình sau:
Vậy 
Bài 8. Giải phương trình: 
Giải
Điều kiện: 
Đặt .
Khi đĩ ta được hệ phương trình: 
5.2 Xây dựng phương trình vơ tỉ từ hệ đối xứng loại II
Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài tốn giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II 
Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau : việc giải hệ này thì đơn giản 
Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt sao cho (2) luơn đúng , , khi đĩ ta cĩ phương trình : 
Vậy để giải phương trình : ta đặt lại như trên và đưa về hệ 
Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : , ta sẽ xây dựng được phương trình dạng sau : đặt , khi đĩ ta cĩ phương trình : 
Tương tự cho bậc cao hơn : 
Tĩm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng : v đặt để đưa về hệ , chú ý về dấu của ???
Việc chọn thơng thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được.
 Giải phương trình: 
Điều kiện: 
Ta cĩ phương trình được viết lại là: 
Đặt thì ta đưa về hệ sau: 
Trừ hai vế của phương trình ta được 
Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: 
Bài 6. Giải phương trình: 
Giải
Điều kiện 
Ta biến đổi phương trình như sau: 
Đặt ta được hệ phương trình sau:
Với 
Với 
Kết luận: Nghiệm của phương trình là 
Các em hãy xây dựng một sồ hệ dạng này ?
Dạng hệ gần đối xứng 
Ta xt hệ sau : đây khơng phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng chúng ta vẫn giải hệ được , và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài tốn phương trình sau :
Bài 1 . Giải phương trình: 
Nhận xét : Nếu chúng ta nhĩm như những phương trình trước :
Đặt thì chúng ta khơng thu được hệ phương trình mà chúng ta cĩ thể giải được.
Để thu được hệ (1) ta đặt : , chọn sao cho hệ chúng ta cĩ thể giải được , (đối xứng hoặc gần đối xứng )
 Ta cĩ hệ : 
Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): và mong muốn của chúng ta là cĩ nghiệm 
Nên ta phải cĩ : , ta chọn được ngay 
Ta cĩ lời giải như sau :
Điều kiện: , Đặt 
Ta cĩ hệ phương trình sau: 
Với 
Với 
Kết luận: tập nghiệm của phương trình là: 
Chú ý : khi đã làm quen, chúng ta cĩ thể tìm ngay bằng cách viết lại phương trình 
ta viết lại phương trình như sau: 
khi đĩ đặt , nếu đặt thì chúng ta khơng thu được hệ như mong muốn , ta thấy dấu của cùng dấu với dấu trước căn.
Một cách tổng quát . 
Xét hệ: để hệ cĩ nghiệm x = y thì : A-A’=B và m=m’, 
Nếu từ (2) tìm được hàm ngược thay vào (1) ta được phương trình 
Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để cĩ hàm ngược và tìm được và hơn nữa hệ phải giải được.
Một số phương trình được xây dựng từ hệ.
Giải các phương trình sau 
Giải (3): 
Phương trình :
Ta đặt : 
Các em hãy xây dựng những phương trình dạng này !
III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 
1. Dùng hằng đẳng thức :
Từ những đánh giá bình phương : , ta xây dựng phương trình dạng 
Từ phương trình ta khai triển ra cĩ phương trình :
2. Dùng bất đẳng thức 
Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: nếu dấu bằng ỏ (1) và (2) cùng dạt được tại thì là nghiệm của phương trình 
Ta cĩ : Dấu bằng khi và chỉ khi và , dấu bằng khi và chỉ khi x=0. Vậy ta cĩ phương trình: 
Đơi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng : khi đĩ : 
Nếu ta đốn trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng cĩ nhiều bài nghiệm là vơ tỉ việc đốn nghiệm khơng được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được
Bài 1. Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007):
Giải: Đk 
Ta cĩ : 
Dấu bằng 
Bài 2. Giải phương trình : 
Giải: Đk: 
Biến đổi pt ta cĩ : 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi: 
Dấu bằng 
Bài 3. giải phương trình: 
Ta chứng minh : và 
Bài tập đề nghị .
Giải các phương trình sau 
3. Xây dựng bài tốn từ tính chất cực trị hình học 
3.1 Dùng tọa độ của véc tơ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: khi đĩ ta cĩ 
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ cùng hướng , chú ý tỉ số phải dương 
, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 
3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác 
Nếu tam giác là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luơn cĩ với O là tâm của đường trịn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi .
Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một gĩc 
Bài tập
IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 
1.Xây dựng phương trình vơ tỉ dựa theo hàm đơn điệu 
Dựa vào kết quả : “ Nếu là hàm đơn điệu thì ” ta cĩ thể xây dựng được những phương trình vơ tỉ 
Xuất phát từ hàm đơn điệu : mọi ta xây dựng phương trình :
, Rút gọn ta được phương trình 
Từ phương trình thì bài tốn sẽ khĩ hơn 
Để gải hai bài tốn trên chúng ta cĩ thể làm như sau :
Đặt khi đĩ ta cĩ hệ : cộng hai phương trình ta được:
=
Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài tốn vơ tỉ theo dạng trên ?
Bài 1. Giải phương trình : 
Giải:
Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta cĩ 
Bài 2. Giải phương trình 
Giải . Đặt , ta cĩ hệ : 
Xét hàm số : , là hàm đơn điệu tăng. Từ phương trình 
Bài 3. Giải phương trình :
V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA
1. Một số kiến thức cơ bản:
Nếu thì cĩ một số t với sao cho : và một số y với sao cho 
Nếu thì cĩ một số t với sao cho : và một số y với sao cho 
Với mỗi số thực x cĩ sao cho : 
Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì cĩ một số t với , sao cho 
Từ đĩ chúng ta cĩ phương pháp giải tốn :
Nếu : thì đặt với hoặc với 
Nếu thì đặt , với hoặc , với 
Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì đặt với 
Nếu , ta cĩ thể đặt : , với , tương tự cho trường hợp khác 
x là số thực bất kỳ thi đặt : 
Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ? 
Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện thì phải đảm bảo với mỗi cĩ duy nhất một , và điều kiện trên để đảm bào điều này . (xem lại vịng trịn lượng giác )
2. Xây dựng phương trình vơ tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nào ?
Từ cơng phương trình lượng giác đơn giản: , ta cĩ thể tạo ra được phương trình vơ tỉ 
Chú ý : ta cĩ phương trình vơ tỉ: (1)
Nếu thay bằng ta lại cĩ phương trình : (2)
Nếu thay x trong phương trình (1) bởi : (x-1) ta sẽ cĩ phương trình vố tỉ khĩ: (3)
Việc giải phương trình (2) và (3) khơng đơn giản chút nào ? 
Tương tự như vậy từ cơng thức sin 3x, sin 4x,.hãy xây dựng những phương trình vơ tỉ theo kiểu lượng giác .
3. Một số ví dụ 
Bài 1. Giải phương trình sau : 
Giải:
Điều kiện :
Với : thì (ptvn)
 ta đặt : . Khi đĩ phương trình trở thành: vậy phương trình cĩ nghiệm : 
Bài 2. Giải các phương trình sau : 
 HD: 
 Đs: 
 HD: chứng minh vơ nghiệm 
Bài 3 . Giải phương trình sau: 
Giải: Lập phương 2 vế ta được:
Xét : , đặt . Khi đĩ ta được mà phương trình bậc 3 cĩ tối đa 3 nghiệm vậy đĩ cũng chính là tập nghiệm của phương trình.
Bài 4. .Giải phương trình 
Giải: đk: , ta cĩ thể đặt 
Khi đĩ ptt: 
Phương trình cĩ nghiệm : 
Bài 5 .Giải phương trình : 
Giải: đk 
Ta cĩ thể đặt : 
Khi đĩ pttt.
Kết hợp với điều kiện ta cĩ nghiệm 
Bài tập tổng hợp
Giải các phương trình sau 
 (HSG Tồn Quốc 2002)
 (OLYMPIC 30/4-2007)
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ
PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG