Tổng hợp các bài toán về Tổ hợp có lời giải hay nhất

Với là số nguyên dương, chứng minh hệ thức sau:
000
Ta có:  
Cho , ta có:
111
Chứng minh:  
000
Đặt:   
Ta có:  .
.
Đề bài
Chứng minh rằng: .
Bài giải chi tiết | n
Ta có:   .
Lấy đạo hàm 2 vế ta có :
.
Cho   ta có :
Đề bài
Tìm hệ số của trong khai triển thành đa thức của 
Bài giải chi tiết | 
Bậc của trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của trong 4 sô hạng cuối lớn hơn 8.
Vậy chỉ có trong các số hạng thứ tư, thứ năm, với hệ số tương ứng là:
Đề bài
Gọi là hệ số của trong khai triển thành đa thức của . Tìm để 
Bài giải chi tiết | 
Cách 1:
Ta có  ,
.
Dễ dàng kiểm tra không thỏa mãn điều kiện bài toán.
Với thì .
Do đó hệ số của trong khai triển đa thức của là 
Vậy 
Vậy là giá trị cần tìm (vì nguyên dương).
Đề bài
Tính tổng   
Bài giải chi tiết | 
Ta có 
.
Đề bài
Giải hệ phương trình  :  
Bài giải chi tiết | 
Điều kiện : .
Từ phương trình thứ hai suy ra 
Thay vào phương trình thứ nhất và sử dụng công thức tổ hợp
Đưa về phương trình .
Giải phương trình này và loại , nhận 
Đề bài
Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn của
, biết rằng 
Bài giải chi tiết | 
Từ giả thiết suy ra:
   (1)
Vì , ,   nên :
    (2)    
Từ triển khai nhị thức Niutơn của suy ra :
                                       (3)                                                                        
Ta có :
Hệ số của là   với thỏa mãn :  
Vậy hệ số của là :                         
Đề bài
Cho . Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng  ?
Bài giải chi tiết | 
Xét trường hợp   
Vì và phải là bội số của 3.
hay hay 
Vậy có 3 số hạng  trong khai triển trên có lũy thừa của x giống nhau.
Mặt khác: biểu thức chứa 21 số hạng
và biểu thức chứa 11 số hạng
Nên sau khi khai triển và rút gọn biểu thức A sẽ gồm : 21 + 11 - 3 = 29 số hạng  .
Đề bài
Khai triển biểu thức ta được đa thức có dạng . Tìm hệ số của , biết .
Bài giải chi tiết | 
 Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là : 
Từ đó ta có : 
Với , ta có hệ số của trong khai triển là 
Đề bài
Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn của , biết:
Bài giải chi tiết | 
Do đó hệ số của số hạng chứa là: 
Đề bài
Chứng minh rằng: 
Bài giải chi tiết | 
Dùng khai triển nhị thức Niutơn :
  (1)
  (2)
Cộng hai vế (1) và (2) ta được :
Cho :
Đề bài
Trong khai triển nhị thức Niutơn của , biết số hạng thứ tư bằng 200 . Tìm x.
Bài giải chi tiết | 
Điều kiện 
Ta có : 
Theo giả thiết số hạng thứ tư bằng 200
Vậy là những giá trị phải tìm thỏa mãn điều kiện đầu bài .
Đề bài
Đặt : 
Tính tổng :
Bài giải chi tiết | 
Ta có 
Xét x=1 =>
=>=