Tổng hợp các bài toán Giới hạn của dãy số

 Trang 1 
Giíi h¹n cña d·y sè 
D¹ng 1: Chia cho n cã sè mò cao nhÊt. 
Bµi 1: Chia lu«n cho n cã sè mò cao nhÊt. 
1)
nn
nn
2
126
lim
3
3


 2) 
nn
nn


2
2
5
21
lim 3) 
75
3342
lim
3
23


nn
nnn
 4) 
 











2
1
2lim
n
n
5) 
53
22
lim
4
2


n
nn
 6) 
73
54
lim
23
2


nn
nn
 7) 
964
2
lim
23
45


nn
nnn
 8) 
5
237
lim
2
2


n
nn
9) 
nn
nn


2
3
2
123
lim 10) 








 15
51
32
2
lim
2
2
3
n
n
n
n
 11) 
nnn
nn
3
1173
lim
45
35


 12) 
56
2
5
32
lim
nn
n


13) 
   
   1543
7432
lim
22
32


nn
nn
 14) 
  
  112
3513
lim
3
2


nn
nn
 15) 
   
 4
22
12
271
lim


n
nn
 16) 
2
2
31
2
lim
n
nn


17) 
1
1
lim


n
n
 18) 
2
lim
3 3


n
nn
 19) 
32
232
lim
2
4


nn
nn
 20) 
12
857
lim
3 36


n
nnn
21) 
1
lim


n
nnn
 22) 
12
lim
43


n
nnn
 23) 
nnn
nn


4 3
2 1
lim 24) 
23
11
lim
2


n
nn
25)  1173lim 3  nn 26) 22lim 24  nnn 27) 3 321lim nn  28) 3 29 78lim  nn 
29) 
12
21
lim
2


n
nn
 30) 
23
11
lim
2


n
nn 31) 
   
5
5
2
5
2 11
lim
n
nnnn 
Bµi 2: Liªn quan tíi d·y sè 
1) 
2
...21
lim
n
n 2) 
23
2...42
lim
2 

nn
nn 3) 
23
...21
lim
3
222


nn
n
 4) 
23
...21
lim
34
333


nnn
n
5) 
211
...21
lim
2
333


nn
n ,  
4
1
...21
22
333 
nn
n 6) 
12
)12(...31.
lim
2 

nn
nn 7) 
n
n


























5
1
...
5
1
5
1
1
3
2
...
3
2
3
2
1
lim
2
2
8) 








)12)(12(
1
...
5.3
1
3.1
1
lim
nn
 9) 







)1(
1
...
3.2
1
2.1
1
lim
nn
 10) 







)22(2
1
...
6.4
1
4.2
1
lim
nn
Bµi 3: Sö dông ®Þnh lÝ 6 - SGK 
1) 
nn
n
43.2
4
lim

 2) 
12
13
lim


n
n
 3) 
n
nn
5.37
5.23
lim


 4) 
nn
nn
5.32
54
lim


 5) 
11 5)3(
5)3(
lim
 

nn
nn
D¹ng 2: Nguyªn lÝ kÑp 1) 





1
4
3sin
lim
n
n
 2.  
1
cos1
lim


n
n
n
 3. 
12
cos4sin3
lim


n
nn 
D¹ng 3: Nh©n l­îng liªn hîp 
1)  1213lim  nn 2)   nnn  1lim 3)  nnn  1lim 2 4)  12lim 2  nnn 
5)  53lim  nn 6)  nnn  3lim 2 7)  1lim 22  nnn 8) 
12
1
lim
 nn
9)  132lim  nn 10)  nnn 1lim 2 11)  nnn  5lim 2 12)  nnn  3lim 2 
13)  3 31lim nn  14)  nna lim 15)     



  3
23 2 11lim nn 16)  nnn 3 32lim 
17)  11lim 333  nnn 18) 





 nnnnlim 19)  3 322 32lim nnnn  
 Trang 2 
Giíi h¹n cña hµm sè. 
D¹ng 1: x  a 
Bµi 1: Thay vµo lu«n. 
1) 
2
3
lim
3
2
1 

 x
x
x
 2) 
5
3 72
34
lim 







 x
x
x
 3) 3
2
4
2 2
232
lim


 xx
xx
x
 4) 
6
lim
3
2
3  xx
x
x
 5) 
72
15
lim
1 

 x
x
x
6) 
622
35
lim
23
2
2 

 xxx
xx
x
Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö. 
1) 
253
103
lim
2
2
2 

 xx
xx
x
 2) 
ax
ax nn
ax 


lim 3) 
2
1
)(
)(
lim
ax
axnaax nnn
ax 
 

 4) 
21 )1(
1
lim


 x
nnxxn
x
5) 







 31 1
3
1
1
lim
xxx
 6) 







 xx
n
nx 1
1
1
lim
1
 7)  
h
xhx
h
33
0
lim


 8) 
x
x
x 

 1
1
lim
1
 9)
3
152
lim
2
3 

 x
xx
x
10) 
5
152
lim
2
5 

 x
xx
x
 11) 
6)5(
1
lim
3
1 

 xx
x
x
 12) 
6
293
lim
3
23
2 

 xx
xxx
x
 13) 
xx
xx
x 4
43
lim
2
2
4 


14) 
2012
65
lim
2
2
4 

 xx
xx
x
 15) 
6
23
lim
2
23
2 

 xx
xxx
x
 16)
32
1
lim
2
4
1 

 xx
x
x
 17) 
6
44
lim
2
23
2 

 xx
xxx
x
Bµi 3: Nh©n l­îng liªn hîp (cã mét c¨n bËc hai) 
1) .
2
35
lim
2
2 

 x
x
x
 2)
7
29
lim
4
7 

 x
x
x
 3) 
x
x
x 

 5
5
lim
5
 4) 
2
153
lim
2 

 x
x
x
 5) 
11
lim
0  x
x
x
6) 
xx
x
x 336
1
lim
21 


 7) 
x
xx
x
11
lim
2
0


 8) 
25
34
lim
25 

 x
x
x
 9)  
x
xxx
x


121
lim
2
0
10) 
4102
3
lim
3 

 x
x
x
 11) 
1
23
lim
3
1 

 x
xx
x
 12)
x
xn
x
11
lim
0


 (n N, n  2) 13) 
6
22
lim
6 

 x
x
x
14) 
23
2423
lim
2
2
1 

 xx
xxx
x
 15) 
1
132
lim
21 

 x
xx
x
 16) 
2
583
lim
3
2 

 x
xx
x
 17)
32
1
lim
21 

 xx
x
x
Bµi 4: Nh©n l­îng liªn hîp (cã hai c¨n bËc hai) 
1) 
x
xx
x


55
lim
0
 2) 
x
xx
x


11
lim
0
 3) 
1
12
lim
1 

 x
xx
x
 4) 
x
axa
x

0
lim (a > 0) 
5) 
x
xxx
x
11
lim
2
0


 6) 
23
2423
lim
2
2
1 

 xx
xxx
x
 7) 
23
2423
lim
2
3 23
1 

 xx
xxx
x
8) 
x
axa
x
33
0
lim


 9) 
1
12
lim
2
3 23
1 

 x
xxx
x
 10) 
x
xxx
x


131
lim
2
0
Bµi 5: Nh©n l­îng liªn hîp (cã mét c¨n bËc ba) 
a) 
x
x
x
141
lim
3
0


 b) 
2
24
lim
3
2 

 x
x
x
 c) 
x
x
x 3
11
lim
3
0


 d) 
11
lim
30  x
x
x
Bµi 6: Nh©n l­îng liªn hîp (c¶ tö vµ mÉu) 
1) 
x
x
x 

 51
53
lim
4
 2) 
314
2
lim
2 

 x
xx
x
 3) 
1
lim
2
1 

 x
xx
x
 4) 
23
1
lim
2
3
1 

 x
x
x
 5) 
1
1
lim
4
3
1 

 x
x
x
6) 
39
24
lim
2
2
0 

 x
x
x
 7) 
3
527
lim
9 

 x
x
x
 8) 
364 4
8
lim
x
x
x 


 9) 
1
1
lim
3
1 

 x
x
x
Bµi 7: Nh©n l­îng liªn hîp (cã c¶ c¨n bËc hai vµ c¨n bËc ba) 
1) 
x
xx
x
3
0
812
lim


 (§HQG  KA 97) 2) 
23
2423
lim
2
3 2
1 

 xx
xxx
x
 3) 
1
75
lim
2
3 23
1 

 x
xx
x
 Trang 3 
 4) 
23
2423
lim
2
23
1 

 xx
xxx
x
 5) 
1
57
lim
23
1 

 x
xx
x
 6) 
x
xx
x
3
0
5843
lim


 7) 
x
xx
x
7121
lim
3
0


D¹ng 2: Giíi h¹n mét bªn 
1)
2
228
lim
2 

 x
x
x
 2) 
xx
xx
x 23
32
lim
0 


 3) 
2
4463
lim
2
2 

 x
xxx
x
 4)  






1;1
1;13
2 xx
xx
xf . )(lim
1
xf
x
5)  








0;
sin
0;123 2
x
x
x
xxx
xf . T×m )(lim
1
xf
x
; 6)  









1;12
10;
0;
2
2
xxx
xx
xo
xf . T×m )(lim
1
xf
x
; )(lim
0
xf
x
7) 






2;3
2;
)(
2
x
xmx
xf 8) 







2;4
2;65
)(
2
xmx
xxx
xf . T×m m ®Ó hµm sè cã giíi h¹n t¹i x = 2. 
9)  











3;3
31;56
1;)32(
5
1 2
xx
xx
xx
xf . T×m )(lim
1
xf
x
; )(lim
3
xf
x
 10) 
34
1
lim
2
4
3 

 xx
x
x
 11) 
320 4
2
lim
xx
x
x 
D¹ng 3: x  : Cã c¸c d¹ng v« ®Þnh:  -  ; 0x ; 


. Khi ®ã chóng ta ph¶i khö: 
Chó ý: Khi x  - hoÆc x  + mµ chia cho x th× ph¶i chó ý tíi dÊu. 
1) 
32
3
662
13
lim
xx
xx
x 


 2) 



 

xxx
x
lim 3) 
   
 50
3020
12
2332
lim


 x
xx
x
4)  21lim 22 

xxx
x
 5)    
n
nn
x x
xxxx 11
lim
22 

 6)  2317lim 22 

xxxx
x
7)  xxxx
x
914lim 22 

 8)  3612lim 22 

xxxx
x
 9)  274lim 2 

xxx
x
10)  34412lim 2 

xxx
x
 11) 







xxxx
x
3333lim 12)  xxxx
x


3 23 2lim 
13)  13lim 3 23 

xxxx
x
 14)  xx
x


1lim 2 15)    xbxax
x


lim 
16) 







xxxxxx
x
lim 17)  2lim 2 

xxx
x
 18)  xxxx
x
22lim 23 23 

19) 
 11.
1
lim
 xxxx
 20)  xxxxx
x


22 22lim 21)  xxx
x


122lim 
22)  13.lim 

xxx
x
 23)  13.2lim 

xxx
x
 24)  34.lim 22 

xxx
x
25)  7252lim 

xx
x
 26)  xxx
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cx
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22
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