Tổng hợp bài tập Hình không gian

hứng tỏ CI=CE và IA.IC=ID.IB.
C/m góc AFD=AED
1/ C/mBD là phân giác của góc ABC:
Do cung AD=DC(gt)
ÞABD=DBC(hai góc nt chắn hai cung bằng nhau)
ÞBD là phân giác của góc ABC.
Do cung AD=DC Þgóc AOD=DOC(2 cung bằng nhau thì hai góc ở tâm bằng nhau).
 F
 A
 D E
 I
 F
 A
 B O C
Hình 47
OD//BA
Hay OD là phân giác của D cân AOCÞOD^AC.
Vì BAC là góc nt chắn nửa đường tròn ÞBA^AC 
 2/ C/m ADEF nội tiếp:
ÞADB=AFE
 Do ADB=ACB(cùng chắn cung AB)
 Do ACB=BFC(cùng phụ với góc ABC) 
Mà ADB+ADE=2vÞAFE+ADE=2vÞADEF nội tiếp.
3/ C/m:CI=CE:
Ta có:sđ DCA=sđ cung AD(góc nt chắn cung AD) Sđ ECD=sđ cung DC 
(góc giữa tt và 1 dây)
Mà cung AD=DCÞDCA=ECD hay CD là phân giác của DICE.Nhưng CD^DB (góc nt chắn nửa đt)ÞCD vừa là đường cao,vừa là phân giác của DICEÞDICE cân ở CÞIC=CE.
* C/m DIADDIBC(có DAC=DBC cùng chắn cung DC)
4/ Tự c/m:
Bài47:Cho nửa đtròn (O);đường kính AD.Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C sao cho cung AB<AC.AC cắt BD ở E.Kẻ EF^AD tại F.
C/m:ABEF nt.
Chứng tỏ DE.DB=DF.DA.
C/m:I là tâm đường tròn nội tiếp DCJD.
Gọi I là giao điểm BD với CF.C/m BI2=BF.BC-IF.IC
1/ Sử dụng tổng hai góc đối.
2/ C/m: DE.DB=DF.DA
Xét hai tam giác vuông BDA và FDE có góc D chung.
ÞDBDA DFDEÞđpcm.
3/ C/m IE là tâm đường tròn ngoại tiếp DFBC:Xem câu 3 bài 35.
4/ C/m: BI2=BF.BC-IF.IC
Hình 47
 C
 B
 E
 I M
 A F O D
Gọi M là trung điểm ED.
* C/m:BCMF nội tiếp: Vì FM là trung tuyến của tam giác vuông FEDÞFM=EM=MD=EDÞCác tam giác FEM;MFD cân ở M
Þ MFD=MDF và EM F=MFD+MDF=2MDF(góc ngoài DMFD)
Vì CA là phân giác của góc BCFÞ2ACF=BCF.Theo cmt thì MDF=ACF
ÞBMF=BCFÞBCMF nội tiếp.
* Ta có BFM∽DBIC vì FBM=CBI(BD là phân giác của FBC-cmt) và BMF=BCI(cmt) ÞÞBF.BC=BM.BIu
* D IFM DIBC vì BIC=FIM(đđ).Do BCMF nội tiếpÞCFM=CBM
(cùng chắn cung CM)Þ ÞIC.IF=IM.IB v
Lấy utrừv vế theo vế
Þ BF.BC-IF.IC=BM.IB-IM.IB=IB.(BM-IM)=BI.BI=BI2.
Bài 48: Cho (O) đường kính AB;P là một điểm di động trên cung AB sao cho PA<PB. Dựng hình vuông APQR vào phía trong đường tròn.Tia PR cắt (O) tại C.
C/m DACB vuông cân.
Vẽ phân giác AI của góc PAB(I nằm trên(O);AI cắt PC tại J.C/m 4 điểm J;A;Q;B cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng tỏ: CI.QJ=CJ.QP.
RR
1/ C/mDABC vuông cân:
Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đt) Và APB=1v ;Do APQR là hvuông có PC là đường chéo ÞPC là pg của góc APB
Þ cung AC=CB Þdây AC=CB ÞDABC vuông cân.
2/ C/m JANQ nội tiếp:
Vì APJ=JPQ=45o.(t/c hv);PJ chung;AP=PQÞDPAJ=DQPJ
Þ PAJ=PQJ mà JAB=PAJ và PQJ+JQB=2vÞ JAB+JQB=2v
ÞJQBA nt.
 I
 P
 J Q
 B
— ÂO
 A 
 R
 C
Hình 48
3/ C/m: CI.QJ=CJ.QP.
 Ta cần chứng minh DCIJDQPJ vì AIC=APC(cùng chắn cung AC) và APC=JPQ=45o
ÞJIC=QPJ Hơn nữa PCI=IAP( cùng chắn cung PI);IAP=PQJ(cmt)Þ PQJ=ICJ
4/
Bài 49: Cho nửa (O) đường kính AB=2R.Trên nửa đường tròn lấy điểm M sao cho cung AM<MB.Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại M cắt tt Ax và By lần lượt ở D và C.
Chứng tỏ ADMO nội tiếp.
Chứng tỏ AD.BC=R2.
Đường thẳng DC cắt đường thẳng AB tại N;MO cắt Ax ở F;MB cắt Ax ở E. Chứng minh:AMFN là hình thang cân.
Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn để DE=EF
Hình 49
 F
 C
 E
 M
 D
 N A O B
1/ C/m ADMO nt:Sử dụng tổng hai góc đối.
2/ C/m: AD.BC=R2.
* C/m:DOC vuông ở O: Theo tính chất hai tt cắt nhau ta có ADO=MDO ÞMOD=DOA.
Tương tự MOC=COB.Mà : MOD+DOA+MOC+COB=2v
ÞAOD+COB=DOM+MOC=1v hay DOC=1v.
* Aùp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DOC có OM là đường cao ta có:
DM.MC=OM2.Mà DM=AD;MC=CB(t/c hai tt cắt nhau) và OM=R Þđpcm.
3/ Do AD=MD(t/c hai tt cắt nhau)và ADO=ODM ÞOD là đường trung trực của AM hay DO^AM. Vì FA^ON;NM^FO(t/c tt) và FA cắt MN tại D 
ÞD là trực tâm của DFNOÞDO^FN.Vậy AM//FN.
Vì DOAM cân ở OÞOAM=OMA.Do AM//FN ÞFNO=MAO và AMO=NFO ÞFNO=NFO 
Vậy FNAM là thang cân.
4/Do DE=FE nên EM là trung tuyến của D vuông FDMÞED=EM.u Vì DMA=DAM và DMA+EMD=1v;DAM+DEM=1vÞEDM=DEM hay DEDM cân ở D hay DM=DEv.Từ uvà vÞDEDM là D đều ÞODM=60oÞAOM=60o.
Vậy M nằm ở vị trí sao cho cung AM=1/3 nửa đường tròn.
Bài 50: Cho hình vuông ABCD,E là một điểm thuộc cạnh BC.Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE ,đường này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K.
Chứng minh:BHCD nt.
Tính góc CHK.
C/m KC.KD=KH.KB.
Khi E di động trên BC thì H di động trên đường nào?
1/ C/m BHCD nt
(Sử dụng H và C cùng làm với hai đầu đoạn thẳng DB)
2/ Tính góc CHK:
Do BDCE nt ÞDBC=DHK
(cùng chắn cung DC) 
mà DBC=45o (tính chất hình vuông)
ÞDHC=45o mà DHK=1v(gt)ÞCHK=45o.
3/ C/m KC.KD=KH.KB.
Chứng minh hai tam giác vuông 
KCB và KHD đồng dạng.
 A D
 B E C
 H
 K
Hình 50
4/ Do BHD=1v không đổi ÞE di chuyển trên BC thì H di động trên đường tròn đường kính DB.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Bài 1: Cho DABC có các đường cao BD và CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N.
Chứng minh:BEDC nội tiếp.
Chứng minh: góc DEA=ACB.
Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
 Chứng minh: OA là phân giác của góc MAN.
Chứng tỏ: AM2=AE.AB.
1.C/m BEDC nội tiếp:
C/m góc BEC=BDE=1v. Hai điểm D và E cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC một góc vuông.
2.C/m góc DEA=ACB.
Do BECD ntÞDMB+DCB=2v.
Mà DEB+AED=2v
ÞAED=ACB
3.Gọi tiếp tuyến tại A của (O) là đường thẳng xy (Hình 1)
 Giợi ý:
 y
 A
 x
 N
 E D
 M O
 B C
Hình 1
 Ta phải c/m xy//DE.
 Do xy là tiếp tuyến,AB là dây cung nên sđ góc xAB=sđ cung AB.
Mà sđ ACB=sđ AB. Þgóc xAB=ACB mà góc ACB=AED(cmt)
ÞxAB=AED hay xy//DE.
 4.C/m OA là phân giác của góc MAN.
Do xy//DE hay xy//MN mà OA^xyÞOA^MN. =>OA là đường trung trực của MN.
(Đường kính vuông góc với một dây)ÞDAMN cân ở A ÞAO là phân giác của góc MAN.
 5.C/m :AM2=AE.AB.
Do DAMN cân ở A ÞAM=AN Þcung AM=cung AN.Þgóc MBA=AMN(Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau);góc MAB chung
 ÞDMAE D BAMÞÞ MA2=AE.AB.
Bài 2: Cho(O) đường kính AC.trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC.Gọi M là trung điểm của đoạn AB.Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ tại I.
 1.Tứ giác ADBE là hình gì?
 2.C/m DMBI nội tiếp.
 3.C/m B;I;C thẳng hàng và MI=MD.
 4.C/m MC.DB=MI.DC
 5.C/m MI là tiếp tuyến của (O’)
 Gợi ý:
1.Do MA=MB và AB^DE tại M nên ta có DM=ME.
ÞADBE là hình bình hành.
Mà BD=BE(AB là đường trung trực của DE) vậy ADBE ;là hình thoi.
2.C/m DMBI nội tiếp.
BC là đường kính,IỴ(O’) nên Góc BID=1v.Mà góc DMB=1v(gt)
ÞBID+DMB=2vÞđpcm. 
 D
 I
 A M O B O’ C
 E
Hình 2
 3.C/m B;I;E thẳng hàng.
 * Do AEBD là hình thoi ÞBE//AD mà AD^DC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)ÞBE^DC; CM^DE(gt).Do góc BIC=1v ÞBI^DC.Qua 1 điểm B có hai đường thẳng BI và BE cùng vuông góc với DC => B;I;E thẳng hàng.
 * C/m MI=MD: Do M là trung điểm DE; DEID vuông ở IÞMI là đường trung tuyến của tam giác vuông DEI ÞMI=MD.
 4. C/m MC.DB=MI.DC.
 Chứng minh DMCI DDCB (góc C chung;BDI=IMB cùng chắn cung MI do DMBI nội tiếp)
 5.C/m MI là tiếp tuyến của (O’)
 -Ta có DO’IC Cân Þgóc O’IC=O’CI. MBID nội tiếp ÞMIB=MDB (cùng chắn cung MB) DBDE cân ở B Þgóc MDB=MEB .Do MECI nội tiếp Þgóc MEB=MCI (cùng chắn cung MI)
Từ đó suy ra góc O’IC=MIB ÞMIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v
Vậy MI ^O’I tại I nằm trên đường tròn (O’) ÞMI là tiếp tuyến của (O’). 
Bài 3: Cho DABC có góc A=1v.Trên AC lấy điểm M sao cho AM<MC.Vẽ đường tròn tâm O đường kính CM;đường thẳng BM cắt (O) tại D;AD kéo dài cắt (O) tại S. 
C/m BADC nội tiếp.
BC cắt (O) ở E.Cmr:MR là phân giác của góc AED.
1.C/m ABCD nội tiếp:
C/m A và D cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC một góc vuông..
2.C/m ME là phân giác của góc AED.
·Hãy c/m AMEB nội tiếp.
·Góc ABM=AEM( chắn cung AM)
Góc ABM=ACD( chắn cung MD)
Góc ACD=DME( chắn cung MD)
ÞAEM=MED
C/m CA là phân giác của góc BCS.
 Gợi ý:
 D S
 A M
 B E C
Hình 3
 .
 4.C/m CA là phân giác của góc BCS.
 -Góc ACB=ADB (Cùng chắn cung AB)
 -Góc ADB=DMS+DSM (góc ngoài tam giác MDS)
 -Mà góc DSM=DCM(Cùng chắn cung MD)
 DMS=DCS(Cùng chắn cung DS)
ÞGóc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA.
 Vậy góc ADB=SCAÞđpcm.
Bài 4: Cho DABC có góc A=1v.Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM>MC.Dựng đường tròn tâm O đường kính MC;đường tròn này cắt BC tại E.Đường thẳng BM cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S.
C/m ADCB nội tiếp.
C/m ME là phân giác của góc AED.
C/m: Góc ASM=ACD.
Chứng tỏ ME là phân giác của góc AED.
C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy.
 Gợi ý:
1.C/m ADCB nội tiếp:
Hãy chứng minh:
Góc MDC=BDC=1v
Từ đó suy ra A vad D cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC một góc vuông
2.C/m ME là phân giác của góc AED.
+ Do ABCD nội tiếp nên
 A
 S D
 M 
 B E C
Hình 4
 ÞABD=ACD (Cùng chắn cung AD)
 + Do MECD nội tiếp nên MCD=MED (Cùng chắn cung MD)
 + Do MC là đường kính;EỴ(O)ÞGóc MEC=1vÞMEB=1v ÞABEM nội tiếpÞGóc MEA=ABD. ÞGóc MEA=MEDÞđpcm
 3.C/m góc ASM=ACD.
 Ta có A SM=SMD+SDM(Góc ngoài tam giác SMD)
 Mà góc SMD=SCD(Cùng chắn cung SD) và Góc SDM=SCM(Cùng chắn cung SM)ÞSMD+SDM=SCD+SCM=MCD.
Vậy Góc A SM=ACD.
 4.C/m ME là phân giác của góc AED (Chứng minh như câu 2 bài 2)
 5.Chứng minh AB;ME;CD đồng quy.
 Gọi giao điểm AB;CD là K.Ta chứng minh 3 điểm K;M;E thẳng hàng.
 + Do CA^AB(gt);BD^DC(cmt) và AC cắt BD ở MÞM là trực tâm của tam giác KBC
 ÞKM là đường cao thứ 3 nên KM^BC.Mà ME^BC(cmt) nên K;M;E thẳng hàng Þđpcm.