Tóm tắt Toán ôn thi Đại học

*	
	*	sinu.cosv = 1 Û 
	*	sinu.cosv = – 1 Û 
	Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1.
15.	Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg
	a.	Dạng 1 : . Dùng công thức đổi + thành nhân, 
	thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình : 
	b.	Dạng 2 : . Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành +.
	c.	Dạng 3 : . 
	Dùng tỉ lệ thức : biến đổi phương trình (1) rồi dùng 
	công thức đổi + thành x.
	d.	Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản.
16.	Toán D :
	*	Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = p
	*	A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2.
	*	A, B, C Ỵ (0, p) ; A/2, B/2, C/2 Ỵ (0, p/2)
	A + B Ỵ (0, p) ; (A + B)/2 Ỵ (0, p/2) ;
	A – B Ỵ (– p, p) , (A – B)/2 Ỵ (– p/2, p/2)
	Dùng các tính chất này để chọn k.
	*	Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin :
	a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
	*	
	*	Trung tuyến : 
	*	Phân giác : ℓa = 
IV- TÍCH PHÂN
1.	Định nghĩa, công thức, tính chất :
	*	F là 1 nguyên hàm của f Û f là đạo hàm của F.
	Họ tất cả các nguyên hàm của f :
	= F(x) + C (C Ỵ R)
	*	, a ¹ – 1
	 ; 
	 ; 
	*	
	*	
2.	Tích phân từng phần : 
	Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp.
a.	
b.	
c.	
	từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ
3.	Các dạng thường gặp :
a.	:	u = sinx.
	:	u = cosx.
	:	hạ bậc về bậc 1
b.	:	u = tgx	(n ³ 0)
	:	u = cotgx	(n ³ 0)
c.	chứa a2 – u2 	:	u = asint
	chứa u2 – a2	:	u = a/cost
	chứa a2 + u2	:	u = atgt
d.	 , R : hàm hữu tỷ
	R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) 	: u = cosx
	R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx)	: u = sinx
	R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx)	: u = tgx Ú u = cotgx
	R đơn giản : 
e.	
f.	
g.	
h.	 , R là hàm hữu tỷ : 
i.	chứa (a + bxk)m/n : thử đặt un = a + bxk.
4.	Tích phân hàm số hữu tỷ :
	 : bậc P < bậc Q
*	Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (D < 0)
*	Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q :
5.	Tính diện tích hình phẳng :
a.	D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : 
	f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở ½.½; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] của đường tròn lượng giác.
b.	D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x)
	(C') : y = g(x) : 
	Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/.
x=b
x=a
f(x)
g(x)
c.	D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0
	/	
y=a
f(y)
y=b
g(y)
	/	
	Với trường hợp a) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng đứng ngay chỗ gãy.
	Với trường hợp b) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các đường ngang ngay chỗ gãy.
	Chọn tính theo dx hay dy để ị dễ tính toán hay D ít bị chia cắt.
	Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm.
	Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm .
	Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn hay 
a
b
f(x)
6.	Tính thể tích vật thể tròn xoay :
a.	D như 5.a/ xoay quanh (Ox) :
a
b
f(y)
b
f(x)
g(x)
a
b.	
f(y)
a
g(y)
b
c.	
d.	
a
b
c
f(x)
-g(x)
f(x)
g(x0)
a
b
e.	
b
c
f(y)
-g(y)
a
f.	
	Chú ý : xoay quanh (Ox) : ị ...dx ; xoay quanh (Oy) : ị ... dy.
V- KHẢO SÁT HÀM SỐ
1.	Tìm lim dạng , dạng 1 ¥ :
a.	Phân thức hữu tỷ : 
b.	Hàm lg : 
c.	Hàm chứa căn : , dùng lượng liên hiệp : 
	a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá 
d.	Hàm chứa mũ hay log (dạng 1¥) : dùng công thức 
2.	Đạo hàm :
a.	Tìm đạo hàm bằng định nghĩa : 
	Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía :
M
f(x)
	Nếu thì f có đạo hàm tại xo.
b.	Ý nghĩa hình học :
	k = tga = f/(xM)
c.	f/ + : f ­	,	f/ – : f ¯
	f// + : f lõm	,	f// – : f lồi
d.	f đạt CĐ tại M Û 
	f đạt CT tại M Û 
	M là điểm uốn của f Û f//(xM) = 0 và f// đổi dấu khi qua xM.
e.	Tính đạo hàm bằng công thức : C/ = 0, (xa)/ = axa–1 , (lnx)/ = 1/x , , (ex)/ = ex
	(ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x,
	(cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u ±v)/ = u/ ± v/, (uv)/ = u/v + uv/ ,
	(u/v)/ = (u/v – uv/)/v2
	*	Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] . f/(x)
	*	Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với hàm [f(x)]g(x) hay f(x) dạng tích, thương, chứa ...
f.	Vi phân : du = u/dx
x
a
y
3.	Tiệm cận :
 Þ x = a : tcđ
x
y
b b
	 Þ y = b : tcn
x
y
	 Þ y = ax + b : tcx
*	Vẽ đồ thị có tiệm cận :
 - t c đ : khi y càng tiến về ± ¥ thì đường cong càng gần đường t c .
 - t c x :khi x và y càng tiến về ± ¥ thì đường cong càng gần đường t c.
 - t c n :khi x càng tiến về ± ¥ thì đường cong càng gần đường t c.
*	Xét 
	·	Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ¹ 0
	·	Có tcn khi bậc P £ bậc Q : với x ® ¥, tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc cao nhất của P chia số hạng bậc cao nhất của Q.
	·	Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có : , tcx là y = ax + b. Nếu Q = x – a, có thể chia Honer.
*	Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 :
	 ( d ¹ 0 )
	· a ¹ 0, c ¹ 0	: có tcđ, tcx
	· a = 0, c ¹ 0	: có tcn, tcđ.
	· c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc.
a = 0
a < 0
4. Đồ thị các hàm thường gặp :
a > 0
	a/ y = ax + b :
	b/ y = ax2 + bx + c
a < 0
a > 0
	c/ y = ax3 + bx2 + c + d
 > 0
 = 0
 < 0
	a> 0 :
	a < 0 :
 ab > 0
	d/ y = ax4 + bx2 + c
 ab < 0
	a > 0 
	a < 0
	e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c ¹ 0)
	ad - bc > 0	ad - bc < 0
 > 0
 = 0
 < 0
	f/ y = (ad ¹ 0)
	ad > 0
	ad < 0
 x < a
 x > a
 a
 x = a
 y < b
 y > b
 b
 y = b
5. ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ :
	g(x) = f(–x) : đx qua (Oy)
	g(x) = – f(x) : đx qua (Ox)
	(C/) : y = : giữ nguyên phần (C) bên trên y = 0, lấy phần (C) bên dưới y = 0 đối xứng qua (Ox).
	(C/) : y = : giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy phần (C) bên phải x = 0 đối xứng qua (Oy).
6. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m)
	a/ Điểm cố định : M(xo, yo) Ỵ (Cm), "m Û yo = f(xo, m), "m Û Am + B = 0, "m (hay Am2 + Bm + C = 0, "m) Û (hay ). Giải hệ, được M.
	b/ Điểm (Cm) không đi qua, "m : M(xo, yo) Ï (Cm), "m Û yo ¹ f(xo,m), "m Û yo = f(xo, m) VN m Û Am + B = 0 VN m (hay Am2 + Bm + C = 0 VN m) Û (hay ). Giải hệ , được M.
	Chú ý : VN Û B = 0 Ú 
	c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(xo, yo) Û yo = f(xo, m) có n nghiệm m. Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các loại phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x ¹ a, bậc 3, trùng phương.
7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN :
a.	(C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm : . Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm.
b.	Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x)
	*	Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo.
	*	Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo. Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 / bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến).
	* // (D) : y = ax + b : (d) // (D) Þ (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx.
	* ^ (D) : y = ax + b (a ¹ 0) : (d) ^ (D) Þ (d) : y = x + m. Tìm m nhờ đk tx.
c.	Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M Ỵ (C/) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ...), M(xo,yo) Ỵ (C/) Û g(xo,yo) = 0; (d) qua M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) : (1). Thế k vào (1) được phương trình ẩn x, tham số xo hay yo. Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp tuyến), tìm được xo hay yo.
8. TƯƠNG GIAO :
	* 	Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C/) : y = g(x) là : f(x) = g(x). Số nghiệm pt = số điểm chung.
	* 	Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) và (C/m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) và (d) : y = m có n điểm chung.
	* 	Biện luận sự tương giao của (Cm) và (C/m) :
	· Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của (Cm) và (C/m) = số điểm chung của (C) và (d).
	· PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax2 + bx + c = 0 (x ¹ a) hay dạng bậc 3 : x = a Ú f(x) = 0 : lập D, xét dấu D, giải pt f(x) = 0 để biết m nào thì a là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bị bớt đi 1.
9. CỰC TRỊ :
	* 	f có đúng n cực trị Û f/ đổi dấu n lần.
	*	f đạt cực đại tại xo Û 
	f đạt cực tiểu tại xo Û 
	*	f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị Û f có CĐ và CT Û > 0
	*	f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị :
	· Bên phải (d) : x = a Û y/ = 0 có 2 nghiệm a < x1 < x2.
	· Bên trái (d) : x = a Û y/ = 0 có 2 nghiệm x1 < x2 < a .
	· 1 bên (Ox) Û 
	· 2 bên (Ox) Û 
	*	Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện yCĐ.yCT 0) có thể thay bởi y = 0 VN (có 2 nghiệm.).
	*	Tính yCĐ.yCT :
	· Hàm bậc 3 : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D)
	yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = 0.
	· Hàm bậc 2/ bậc 1 : 
	yCĐ.yCT = , dùng Viète với pt y/ = 0.
	*	Đường thẳng qua CĐ, CT : 
	· Hàm bậc 3 : y = Cx + D
	· Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u/ / v/
	*	y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị Û ab ³ 0, 3 cực trị Û ab < 0
10. ĐƠN ĐIỆU :
a.	Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 :
	i)	a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm Þ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii)	a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm Þ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm)
iii)	a