Tóm tắt kiến thức quan hệ vuông góc trong không gian 11

/ a’ hoặc và b // b’ hoặc . Sau đó chứng minh bằng cách dùng định lí pytago, các hệ thức lượng trong tam giác, tính chất đường chéo hình thoi, hình vuông, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn 
*******************************************
Bài 3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa
Đường thẳng d gọi là vuông góc mp nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong . Kí hiệu 
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc mp
Nếu một đt vuông góc với hai đt cắt nhau cùng nằm trong một mp thì nó vuông góc với mp đó
Lưu ý: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông góc với cạnh thứ ba
3. Các tính chất
Có duy nhất một mp đi qua một điểm A cho trước và vuông góc với một đt a cho trước. Như vậy, mọi đt đi qua A và vuông góc với a đều nằm trong mp này
Có duy nhất một đường thẳng đi qua điểm A cho trước và vuông góc với một mp cho trước
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. Mỗi đoạn thẳng có duy nhất một mp trung trực, đó là mp vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng
Trục của tam giác là tập hợp tất cả các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác. Mỗi tam giác có duy nhất một trục, đó là đường thẳng vuông góc với mp chứa tam giác và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó
4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc
MP nào vuông góc với một trong hai đt song song thì cũng vuông góc với đt còn lại
Hai đt phân biệt cùng vuông góc với một mp thì song song với nhau 
Đt nào vuông góc với một trong hai mp song song thì cũng vuông góc mp còn lại
Hai mp phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau
Cho đt a và mp (P) song song với nhau. Đt nào vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a
Nếu đt a và mp(P) (không chứa a) cùng vuông góc với một đt thì chúng song song với nhau
5. Định lí ba đường vuông góc (Quan trọng)
Cho mp(P), một đt a không vuông góc với (P) và đt b nằm trong (P). Khi đó b vuông góc với a nếu và chỉ nếu b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P)
Lưu ý: Hình (H’) gọi là hình chiếu (vuông góc) của hình (H) trên mp(P) nếu (H’) là ảnh của (H) qua phép chiếu vuông góc lên (P), tức là phép chiếu song song lên (P) thep phương vuông góc với (P)
6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nếu đt a vuông góc với mp(P) thì góc giữa a và (P) bằng 900
Nếu đt a không vuông góc với mp(P) thì góc giữa a và (P) là góc giữa a và hình chiếu của nó trên (P)
Lưu ý: Góc giữa đt và mp không vượt quá 900
II. KĨ NĂNG CƠ BẢN
1. Chứng minh đường thẳng a vuông góc mặt phẳng (P)
Chứng minh đt a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau b và c nằm trong (P)
Chứng minh đt a song song với đt b mà đt b vuông góc với mp(P)
Chứng minh a vuông góc với mp(Q) mà (Q) lại song song với (P)
Chứng minh (P) chứa ba điểm phân biệt mà mỗi điểm cách đều hai điểm M, N, trong đó M, N thuộc a. Khi đó (P) là mp trung trực của đoạn MN nên 
Chứng minh a chứa hai điểm phân biệt mà mỗi điểm cách đều ba điểm A, B, C thuộc (P). Khi đó a là trục của tam giác ABC nên 
2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau
Ngoài các cách trong bài 2 ta còn có các cách sau (sử dụng đt vuông góc mp)
Chứng minh đt này vuông góc với mp chứa đt kia
Dùng định lí ba đường vuông góc
Chứng minh đt này vuông góc với mp song song với đt kia
Khi cần chứng minh hai đt a và b vuông góc, ta có thể chỉ ra trên đt a hai điểm M, N, trên đt b hai điểm A, B mà AM = AN, BM = BN. Khi đó A, B thuộc mp trung trực của đoạn MN nên 
3. Xác định góc giữa đường thẳng a và mp (P)
Nếu a // (P) thì góc giữa a và (P) bằng 00
Nếu thì góc giữa a và (P) bằng 900
Nếu a không vuông góc với (P) và cắt (P) tại A, ta chọn một điểm B trên a (B không trùng với A) và xác định hình chiếu H của B trên (P). Góc giữa a và (P) bằng góc . (Nếu không thấy ngay giao điểm A, ta có thể chọn đt b // a hoặc mp(Q) // (P) để đưa về trường hợp trên vì góc giữa b và (Q) cũng bằng góc giữa a và (P))
*************************************
Bài 4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mp là góc giữa hai đt lần lượt vuông góc với hai mp đó
Lưu ý: Nếu hai mp song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 00
2. Định lí về diện tích hình chiếu
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(Q) thì trong đó là góc giữa hai mp(P) và (Q)
3. Khái niệm hai mp vuông góc
Hai mp(P) và (Q) gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. Kí hiệu 
4. Các tính chất
Nếu một mp chứa một đt vuông góc với một mp khác thì hai mp đó vuông góc với nhau
Nếu hai mp (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đt a nào nằm trong (P) mà vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì đều vuông góc với (Q)
Nếu hai mp (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong (P) thì đt a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P)
Nếu hai mp cắt nhau và cùng vuông góc với mp thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mp thứ ba
Qua đt a không vuông góc với mp(P), có duy nhất một mp(Q) vuông góc với mp(P)
5. Lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Như vậy, các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật, chúng vuông góc với mặt đáy
Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Như vậy, các mặt bên của lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhau
Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành. Như vậy, hình hộp đứng có bốn mặt bên là hình chữ nhật, hai mặt đáy có thể chỉ là hình bình hành
Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật. Như vậy, cả sáu mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật. Độ dài ba cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh gọi là ba kích thước của hình hộp chữ nhật
Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Như vậy, hình lập phương có sáu mặt đều là hình vuông
Lưu ý: Vì phép chiếu song song không bảo toàn góc và tỉ số của hai đoạn thẳng không song song nên hình biểu diễn của hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật và hình lập phương là như nhau. Khi giải toán, ta cố gắng chọn cách biểu diễn nào để dễ hình dung, dễ tìm tòi lời giải và không gây nhầm lẫn
6. Hình chóp đều, hình chóp cụt đều
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Như vậy:
Một hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và đường cao của hình chóp đi qua tâm của đáy
Một hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau
Hình chóp cụt đều là hình chóp cụt được tạo thành khi cắt một hình chóp đều bởi một mp song song với đáy. Như vậy, trong hình chóp cụt đều, các mặt bên là các hình thang cân bằng nhau, hai mặt đáy là hai đa giác đều đồng dạng với nhau, đường cao (đoạn nối tâm của hai đáy) vuông góc với hai đáy
II. KĨ NĂNG CƠ BẢN
1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
Lấy rồi tính 
Giả sử . Lấy mp vuông góc với c, lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến a, b. Khi đó góc giữa (P) và (Q) bằng góc 
Trong nhiều bài toán thường sẵn có đt AB vuông góc với c, ta chỉ cần kẻ AH vuông góc với c tại H. Lúc này mp chính là mp(ABH) và a, b lần lượt là AH, BH
Sử dụng định lí hình chiếu: Giả sử đa giác (H) nằm trong mp(P), có hình chiếu trên mp(Q) là đa giác (H’). Khi đó với là góc giữa (P) và (Q), S’ là diện tích của (H’), S là diện tích của (H)
2. Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc
Chứng minh góc giữa (P) và (Q) bằng 900
Chứng minh trong (P) chứa đt a lần lượt vuông góc với hai đt cắt nhau nằm trong (Q)
3. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)
Lấy mp(Q) chứa a mà rồi chứng minh a vuông góc với c
Chứng minh a là giao tuyến của hai mp cắt nhau cùng vuông góc với (P)
4. Dựng mặt phẳng (Q) đi qua đường thẳng a cho trước và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước
Từ một điểm trên a, dựng đt b vuông góc với (P). Mặt phẳng (a,b) chính là mp(Q) cần dựng
**********************************
Bài 5. KHOẢNG CÁCH
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng là khoảng cách giữa hai điểm M và H trong đó H là hình chiếu của M trên . Kí hiệu d(M, )
Đó là khoảng cách nhỏ nhất trong các khoảng cách từ M đến một điểm bất kì thuộc . Nếu 
2.Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M đến mp(P) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của M trên (P). Kí hiệu 
Đó là khoảng cách nhỏ nhất trong các khoảng cách từ M đến một điểm bất kì thuộc mp(P). Nếu 
3. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song với nó
Khoảng cách giữa đt a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mp(P). Kí hiệu 
Đó là khoảng cách nhỏ nhất trong các khoảng cách giữa một điểm bất kì của a và một điểm bất kì của (P) 
4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mp song song (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì của mp này đến mp kia. Kí hiệu 
Đó là khoảng cách nhỏ nhất trong các khoảng cách giữa một điểm bất kì của (P) và một điểm bất kì của (Q) 
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Với hai đt chéo nhau a và b, luôn tồn tại duy nhất một đt c cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b. Đt c như thế gọi là đường vuông góc chung của hai đt chéo nhau a và b. Nếu gọi I và J lần lượt là giao điểm của c với a và b thì đoạn IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a và b
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đt đó. Kí hiệu d(a,b)
Đó là khoảng cách nhỏ nhất trong các khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lượt nằm trên a và b
Lưu ý: 
Khoảng cách giữa hai đt chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đt đó và mp song song với nó chứa đt còn lại
Khoảng cách giữa hai đt chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mp song song lần lượt chứa hai đt đó
II. KĨ NĂNG CƠ BẢN
Khi gặp bài toán tính khoảng cách, ta phải nắm chắc các định nghĩa về khoảng cách và sử dụng chính những