Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bằng phương pháp hàm số

bài toán tìm GTLN. 
IIi/ các thí dụ minh họa 
 Thí dụ 1: Cho các số thực dương x và y thỏa mãn x + y = 4. Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biếu thức  
3 3
1 1
P
a b ab
Bài giải: 
Ta có:          
33 3 3 1 3a b a b ab a b ab . Do đó:  

1 1
1 3
P
ab ab
 Theo BĐT Cô si ta có:   
2
4x y xy , Với mọi số dương x, y. 
Đặt t = ab vì   
2
4a b ab nên     
1
1 4 0 0
4
ab ab . 
Vậy bài toán trở thành: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số          
1 1 1
, 0;
1 3 4
P f t t
t t
. 
Với đạo hàm  
 

    

22
3 1 3 3
' 0
61 3
f t t
tt
Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) trên   
 
1
0;
4
t 
t 0 
3 3
6
1
4
f’(t) - 0 + 
f(t) 
+ ∞ 8 
4 2 3 
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm f(t) là 4 2 3 khi t=
3 3
6
. 
Do đó MinP = 4 2 3 khi  
1 2 3 3 1 2 3 3
, 1 ; 1
2 3 2 3
x y
           
    
    
hoặc 
1 2 3 3 1 2 3 3
1 ; 1
2 3 2 3
          
    
    
. 
Bình luận: 
 Biểu thức P có tính đối xứng với x,y 
 Trong bài này ta tìm được hàm số f(t) sao cho biểu thức P = f(t) với t thuộc 
D. 
 Thí dụ 2: Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn 1x y z   . Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức 
1 1 1
P x y z
x y z
      
(Câu IV, Đề thi TS CĐ Kinh tế Kỹ thuật Cần Thơ, Khối A, năm 2006) 
Bài giải: 
áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương x, y, z ta có: 
31 3 0x y z xyz     (1) và 3
3
1 1 1 1 3
3 0
x y z xyz xyz
     (2) 
Dấu “=” xảy ra ở BĐT (1) và (2) khi và chỉ khi x y z  . 
Do đó ta có đánh giá sau: 
1 1 1
P x y z
x y z
       33 xyz +
3
3
xyz
. 
Xét hàm số  
3
3f t t
t
  với 3
1
, 0;
3
t xyz t
 
  
 
. 
Ta có:   2
3 1
' 3 0, 0;
3
f t t
t
 
     
 
Bảng biến thiên của hàm số  
3
3f t t
t
  trên nửa khoảng 
1
0;
3
 
 
 
t 0 
1
3
f’(t) - 
f(t) 
+ ∞ 
 10 
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(t) là 10 khi t = 
1
3
 hay   10P f t  . 
Do đó MinP = 10 khi 
1
3
x y z   
Bình luận: 
 Biểu thức P có tính đối xứng và hoán vị vòng quanh với 3 số x, y, z 
 Trong bài này ta tìm được hàm số  
3
3f t t
t
  sao cho biểu thức 
  ,P f t t D  (với bài toán tìm GTNN) bằng cách dùng BĐT véc-tơ. 
 Thí dụ 3: Cho x, y, z là các số dương và thỏa mãn 1x y z   . Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức:      2 2 2
2 2 2
1 1 1
P x y z
x y z
(Câu V, Đề thi tuyển sinh Đại học, Khối A, năm 2003) 
Bài giải: 
Đánh giá   ,P f t t D  bằng cách dùng BĐT thức véc-tơ 
Với hai véc-tơ 
 
,u v bất kỳ ta có:   
   
u v u v . 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
 
,u v cùng hướng 
Do đó với 3 véc-tơ     
        
, , :a b c a b c a b c . 
Chọn các véc-tơ 
    
      
    
  1 1 1
; , ; , ;a x b y c z
x y z
 (chọn được vì các số x, y, z 
khác 0) 
Ta có:  
 
            
 
2
22 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
P x y z x y z
x y z x y z
áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương x, y, z ta có: 
    31 3 0x y z xyz (1) và 3
3
1 1 1 1 3
3 0
x y z xyz xyz
     (2). Khi đó: 
   
  
               
22
22
3
3
1 1 1 3
3P x y z xyz
x y z xyz
. Đặt      
 
2
3
1
, 0;
9
t xyz t 
 
    
 
9 1
9 , 0;
9
P t t
t
. 
Xét hàm số    
9
9f t t
t
 với   
 
1
0;
9
t . Ta có:         
 
2
9 1
' 9 0, 0;
9
f t t
t
Bảng biến thiên : 
t 0 
1
9
f’(t) - 
f(t) 
+ ∞ 
 82 
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(t) là 82 khi t = 
1
9
 hay    82P f t . 
Do đó MinP = 82 khi 
1
3
x y z   
Bình luận: 
 Biểu thức P có tính chất hoán vị vòng quanh các ẩn 
 Trong bài này ta tìm được hàm số    
9
9f t t
t
sao cho biểu thức 
  ,P f t t D  (với bài toán tìm GTNN) 
 Thí dụ 4: Cho hai số thực khác không và thỏa mãn   2 2 3x y xy x y xy    . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
3 3
1 1
A
x y
  
(Câu V, Đề thi tuyển sinh Đại học, Khối A, năm 2006) 
Bài giải: 
Đặt
x y S
xy P
 


với điều kiện:  2 4 0S P (*). Từ giả thiết  S, P  0. 
 Ta có: SP = S2 – 3P  P = 
3
S
S


 Từ điều kiện (*), ta có: S2 – 4P  0  S2 – 

24S
S 3
 0  S2
1
3
 
 
 
S
S  0 
  
1
3


S
S
 0  
3
1
 
 
S
S
 (*) (với S0 ) . Khi đó, biểu thức trở thành: 
 A = 
3 3
1 1

x y
 = 
3 3
3 3
x y
x y
= 
2 2
3 3
( )( )  x y x y xy
x y
= 
2
3 3
( )x y xy
x y
= 
2
2 2
( )x y
x y
  A =   
22
2
2
3 
  
 
S S
f S
SP
, Với S thỏa điều kiện 
3
1
 
 
S
S
 Ta có:     2
3 3
' 0

    
S
f S f S
S S
 và 
3
1
 
 
S
S
 Bảng biến thiên: 
t -∞ -3 1 +∞ 
f’(t) - - 
f(t) 
1 
0 
 4 
 1 
 Vậy 0 < f(S) ≤ 4 nên 0 < A ≤ 16. 
Do đó MaxA = 16 khi và chỉ khi S = 1; P =
1
4
hay Giá trị lớn nhất của A bằng 16 đạt được khi và chỉ khi x = y= 
1
2
. 
Bình luận: 
 Biểu thức P có tính chất đối xứng giữa các ẩn 
 Trong bài này ta tìm được hàm số  
3

S
f S
S
 và 
     , ; 3 1;A f S S       (với bài toán tìm GTLN, Giá trị nhỏ nhất) 
 Thí dụ 5: Cho x, y là câc số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 A =    2 22 21 1 2x y x y y       
Bài giải: Với hai véc-tơ 
 
,u v bất kỳ ta có:   
   
u v u v . 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
 
,u v cùng hướng 
Đặt các véc-tơ    1 ; , 1 ;a x y b x y     
 
, ta có: 
        2 2 2 22 21 1 1 1 2x y x y x x y           . Dấu bằng xảy ra khi 
và chỉ khi 2 véc-tơ cùng hướng 1- x = 1 + x x = 0 
   
 
2 22 2 2
2
1 1 2 2 1 2
2 1 2 ,
A x y x y y y y
A y y f y y
            
      
Trường hợp 1: 
Với   22 2 1 2y f y y y      khi đó  
2
2 1
' 1 0
31
y
f y y
y
    

Bảng biến thiên: 
y -∞ 
1
3
 2 
f’(y) - + 
f(y) 
+ ∞ 2 5 
 2 3 
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f(y) là 2 3 khi y = 
1
3
Trường hợp 2: 
Với y ≥ 2  f(y) ≥ 2  21 y ≥ 2 5 > 2 + 3 . 
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2 3 khi và chỉ khi (x;y) = 
(0; 
1
3
) 
Bình luận: 
 Biểu thức P có chứa tổng các căn bậc hai của biểu thức tổng bình phương 
nên có thể đánh giá để tìm hàm số f(t) theo BĐT véc-tơ 
 Trong bài này ta tìm được hàm số f(t) sao cho biểu thức   ,P f t t D  (với 
bài toán tìm GTNN) bằng cách dùng BĐT véc-tơ. 
 Có thể tìm hàm số f(y) bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy 
như sau: 
Chọn điểm M( 1-x; -y); N(1+x; -y) khi đó ta có: OM + ON ≥ MN. Dấu “=” 
xảy ra khi và chỉ khi 1 - x = 1 + x x = 0 
 Thí dụ 6: Cho x, y là câc số thực dương thay đổi thỏa mãn: x + y = 1. Tìm giá 
trị nhỏ nhất của biểu thức P = 
1 1
x y
x y

 
Bài giải: 
 áp dụng BĐT sau:  , 0, 0
a b
a b a b
b a
     . Từ giả thiết ta có: 
 P = 
1
1
1 1 1
x y x x
x x
x y x x

     
  
. 
Xét hàm số    1 , 0;1f x x x x    , ta có:    
1 1
' , 0;1
2 2 1
f x x
x x
  

   
1 1 1
' 0 0 /
22 2 1
f x x t m
x x
     

Bảng biến thiên    1 , 0;1f x x x x    : 
x 0 
1
2
 1 
f’(x) + 0 - 
 f(x) 
2 
1 1 
Vậy giá trị lớn nhất của f(x) là 2 trên khoảng (0;1) khi x = 
1
2
. 
Do đó giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi x = y = 
1
2
. 
Bình luận: 
 Biểu thức P có tính đối xứng 
 Trong bài này ta tìm được hàm số f(t) sao cho biểu thức   ,P f t t D  (với 
bài toán tìm GTNN) 
 Trong bài cho x > 0, y > 0 nên giá trị lớn nhất của f(x) trên khoảng (0;1) 
tương ứng với giá trị nhỏ nhất của biểu thức A (chỉ khi đó mới xác định 
được cặp (x;y) 
 Thí dụ 7: Cho a, b,c là các số thực dương đôi một khác nhau thuộc [0;2]. Tìm 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 
     2 2 2
1 1 1
a b b c c a
 
  
. 
Bài giải: 
 Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không giảm tính tổng quát, giả sử: 
0 2a b c    
 Khi đó: 
 
 
2
2
1 1
0 2 4
4
c a c a
c a
       

 (1). 
Dấu “=” xảy ra ở BĐT (2) khi và chỉ khi c - a = 2 
 Ta lại có:    
   
2 2
2 2
1 1
0 2 2
2
c b b c b b
c b b
         
 
 (2). 
Dấu “=”xảy ra ở BĐT (2) khi và chỉ khi c = 2 
Mặt khác:  
 
2 2
2 2
1 1
0 b a b b a b
bb a
       

 (3). 
Dấu “=”xảy ra ở BĐT (3) khi và chỉ khi a = 0 
 Cộng vế với vế tương ứng ở các BĐT (1), (2), (3) ta có: 
 P = 
       
 
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
, 0;2
42
b
ba b b c c a b
     
   
. 
Xét hàm số  
 
 
2 2
1 1 1
, 0;2
42
f b b
bb
   

,  ' 0 1f b b   
Bảng biến thiên: 
b 0 1 2 
f’(b) - 0 + 
f(b) 
+∞ +∞ 
9
4
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(b) là 
9
4
 khi và chỉ khi b = 1. 
Do đó MinP = 
9
4
 với bộ 3 số    ; ; 0;1;2a b c  và các hoán vị của nó. 
 Thí dụ 8: Cho a, b,c là các số thực không âm thỏa 3a b c   . Tìm giá trị lớn 
nhất của biểu thức P =    2 2 2 2 2 2a ab b b bc c c ca a      . 
Bài làm: 
Không giảm tổng quát ta có thể giả sử: 0 3a b c    
Ta có: 
 
 
2 2 2
2 2 2
0
0
a a b a ab b b
a a c a ac c c
      
 
      
, khi đó suy ra: 
   22 2 2 2 2 2 3P b c b bc c b c b c bc          
Kết hợp với giả thiết. 
3
3
0 3
a b c
b c a b c b c
a b c
  
       
   
Mặt khác, theo BĐT Cô-si, lại có: 2 3bc b c   nên  
9
0 *
4
bc   
Do đó:  2 2
9
9 3 ,0
4
P b c bc bc     , 
Xét hàm số   2 3
9
9 3 , 0;
4
f t t t t
 
   
 
Khảo sát hàm số , ta có bảng biến thiên sau: 
t -∞ 0 2 
9
4
 +∞ 
f’(t) - 0 + 0 - 
f(t) 
12 
0 
3
9
4
 
 
 
 Vậy giá trị lớn nhất của P là 12 khi bộ (a;b;c) = (0;1;2) và các hoán vị của 
chúng. 
 Thí dụ 9: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 = 2. 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x3