Tìm điều kiện để hàm số có cực trị - Nguyễn Phú Khánh

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
60 
Dạng 2 : Tìm điều kiện để hàm số có cực trị. 
Phương pháp: Sử dụng định lí 2 và định lí 3 
Chú ý: 
 * Hàm số f (xác định trên D ) có cực trị 
0
x D⇔ ∃ ∈ thỏa mãn hai điều kiện 
sau: 
 i) Tại đạo hàm của hàm số tại 
0
x phải triệt tiêu hoặc hàm số không có đạo hàm 
tại 
0
x 
 ii) '( )f x phải đổi dấu qua điểm 
0
x hoặc 
0
"( ) 0f x ≠ . 
* Nếu '( )f x là một tam thức bậc hai hoặc triệt tiêu và cùng dấu với một tam 
thức bậc hai thì hàm có cực trị ⇔ phương trình '( )f x có hai nghiệm phân biệt 
thuộc tập xác định. 
Ví dụ 1 : Với giá trị nào của m , hàm số 
( )22 3 sin 2 sin2 3 1y m x m x m= − − + − đạt cực tiểu tại điểm ?.
3
x
pi
= 
Giải : 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên
 . 
* Ta có : ( )2' 2 3 cos 4 cos2 ,y m x m x= − − 
( )2'' 2 3 sin 8 sin2y m x m x= − − + . 
Điều kiện cần để hàm số y đạt cực tiểu tại điểm 
3
x
pi
= là ' 0
3
f
pi 
= 
 
2 2 3 0 3 1m m m m⇔ + − = ⇔ = − ∨ = . 
Điều kiện đủ để hàm số y đạt cực tiểu tại điểm 
3
x
pi
= là '' 0
3
y
pi 
> 
 
. 
Thật vậy, ( )2'' 3 4 3
3
y m m
pi 
= − − − 
 
+ 3m = − , ta có '' 0
3
y
pi 
< 
 
. Do đó hàm số đạt cực đại tại điểm 
3
x
pi
= . 
+ 1m = , ta có '' 0
3
y
pi 
> 
 
. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
3
x
pi
= . 
Vậy hàm số ( )f x đạt cực tiểu tại điểm 
3
x
pi
= khi và chỉ khi 1m = . 
Bài tập tương tự : 
1. Tìm m để 3 23 12 2y mx x x= + + + đạt cực đại tại điểm 2x = . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
61 
2. Xác định giá trị tham số m để hàm số 
2 1x mx
y
x m
+ +
=
+
 đạt cực đại tại 2.x = 
3. Xác định giá trị tham số m để hàm số ( )3 23 1y x m x m= + + + − đạt cực 
đại tại 1.x = − 
Ví dụ 2: Tìm m ∈ 
 để hàm số 
2 2
1
x mx
y
mx
+ −
=
−
 có cực trị . 
Giải : 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 1\
m
 
 
 

 
+ Nếu 0m = thì 2 2y x= − ⇒ hàm số có một cực trị 
+ Nếu 0m ≠ hàm số xác định 1x
m
∀ ≠ 
* Ta có 
2
2
2
'
( 1)
mx x m
y
mx
− +
=
−
. Hàm số có cực trị khi phương trình 
2 2 0mx x m− + = có hai nghiệm phân biệt khác 1
m
21 0
1 11
0
m
m
m
m

− >

⇔ ⇔ − < <
− ≠

. 
Vậy 1 1m− < < là những giá trị cần tìm. 
Bài tập tương tự : 
Tìm m để đồ thị của hàm số sau có cực trị : 
1. ( )3 23 2 3 4y x mx m x m= − + + + + 
2. 
( )2 1 2
1
x m x m
y
x
− + − +
=
−
3. ( )4 22 4 2 5y x m x m= − − + − 
4. 
( )2 2 1
2
mx m x
y
x
− − −
=
+
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ∈ 
 , hàm số 
( )2 31 1x m m x m
y
x m
− + + +
=
−
 luôn có cực đại và cực tiểu . 
Giải : 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên { }\D m= 
 . 
* Ta có: 
( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 1
' , , 2 1
g xx mx m
y x m g x x mx m
x m x m
− + −
= = ≠ = − + −
− −
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
62 
Dấu của ( )g x cũng là dấu của 'y và ( )2 2' 1 1 0 ,g m m m∆ = − − = > ∀ . 
Do đó m∀ thì ( ) 0g x = luôn có 2 nghiệm phân biệt 1 21, 1x m x m= − = + 
thuộc tập xác định . 
* Bảng biến thiên: 
x −∞ 1m − m 1m + +∞ 
'y 
 + 0 − − 0 + 
y 
−∞ −∞ 
+∞ +∞ 
'y đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm 
1
1x m= − thì hàm số đạt cực đại 
tại điểm 
1
1x m= − 
'y đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm 
2
1x m= + thì hàm số đạt cực tiểu 
tại điểm 
2
1x m= + 
Bài tập tương tự : 
Tìm m để đồ thị của hàm số sau có một cực đại và cực tiểu : 
1. 
( ) ( )21 1
1
m x m x m
y
x
− − − +
=
−
2. ( ) ( )3 21 1 1 2 1
3
y m x m x m= + + + + + 
Ví dụ 4 : Tìm m để điểm ( )2;0M là điểm cực đại của đồ thị hàm số 
3 2 4y x mx= − + − . 
Giải: 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 
 . 
* Ta có 2' 3 2 , '' 6 2y x mx y x m= − + = − + . 
Điểm ( )2;0M là điểm cực đại của đồ thị hàm số khi và chỉ khi : 
( )
( )
( )
' 2 0 12 4 0
3
'' 2 0 12 2 0 3
6
8 4 4 02 0
y m
m
y m m
m
my
 =
− + =
 = 
< ⇔ − + < ⇔ ⇔ =  
<  
− + − == 
Bài tập tương tự : 
1. Tìm m để hàm số ( )4 21 1y x m x m= + + + − có điểm cực tiểu ( )1;1− . 
2. Tìm m để hàm số 
( )2 1 2
1
x m x m
y
x
+ − + −
=
+
có điểm cực đại ( )2; 2− . 
Ví dụ 5 : Cho hàm số 4 3 24 3( 1) 1y x mx m x= + + + + . Tìm m ∈ 
 để : 
1.Hàm số có ba cực trị. 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
63 
2.Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. 
Giải: 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 
 . 
* Ta có 3 2 2' 4 12 6( 1) 2 (2 6 3( 1))y x mx m x x x mx m= + + + = + + + 
2
0
' 0
( ) 2 6 3 3 0
x
y
f x x mx m
 =
= ⇔
= + + + =
Nhận xét: 
 *Nếu y có hai nghiệm phân biệt
1 2
, 0x x ≠ , khi đó 'y sẽ đổi dấu khi đi qua ba 
điểm 
1 2
0, ,x x khi đó hàm có hai cực tiểu và 1 cực đại. 
*Nếu y có 1 nghiệm 0x = , khi đó 'y chỉ đổi dấu từ − sang + khi đi qua một 
điểm duy nhất nên hàm chỉ có một cực tiểu. 
* Nếu y có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì 'y chỉ đổi dấu từ - sang + khi đi 
qua 0x = nên hàm đạt cực tiểu tại 0x = . 
Từ trên ta thấy hàm số luôn có ít nhất một cực trị. 
1.Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi y có hai nghiệm phân biệt khác 0 
2 1 7 1 7' 3(3 2 2) 0
3 3
(0) 0 1
m m m m
y m

− +∆ = − − >  ⇔ ⇔ 
≠  ≠ − 
. 
2. Theo nhận xét trên ta thấy hàm chỉ có cực tiểu mà không có cực đại 
⇔ hàm số không có ba cực trị 1 7 1 7
3 3
m
− +
⇔ ≤ ≤ . 
Chú ý: 
1) Đối với hàm trùng phương 4 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 
Ta có 3 2
2
0
' 4 2 (4 ) ' 0
4 0 (1)
x
y ax bx x ax b y
ax b
 =
= + = + ⇒ = ⇔
+ =
 * Hàm có ba cực trị ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 0
0
b
ab
 ≠
⇔ 
<
. 
Khi đó hàm có hai cực tiểu, một cực đại khi 0a > ; hàm có hại cực đại, 1 cực 
tiểu khi 0a < . 
* Hàm có một cực trị khi và chỉ khi (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có 
1 nghiệm 
0 0
0
(0) 0 0
ab
x
y b
 ∆ 
= ⇔ ⇔ 
= =  
. Khi đó hàm chỉ có cực tiểu khi 0a > 
và chỉ có cực đại khi 0a < . 
2) Đối với hàm số bậc bốn 4 3 2y ax bx cx d= + + + , 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
64 
Ta có: 3 2
2
0
' 4 3 2 ' 0
4 3 2 0 (2)
x
y ax bx cx y
ax bx c
 =
= + + ⇒ = ⇔
+ + =
* Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 
29 32 0
0
b ac
c

− >
⇔ 
≠
. Khi đó hàm có hai cực tiểu, một cực đại khi 0a > ; hàm có 
hại cực đại, 1 cực tiểu khi 0a < . 
* Hàm có một cực trị khi và chỉ khi (2) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có 
1 nghiệm 
20 9 32 0
0
(0) 0 0
b ac
x
y c
∆ <
− <
= ⇔ ⇔
= = 
. Khi đó hàm chỉ có cực tiểu 
khi 0a > và chỉ có cực đại khi 0a < . 
Bài tập tương tự : 
1. Tìm m để hàm số 
2mx x m
y
x m
+ +
=
+
 không có cực đại , cực tiểu . 
2. Tìm m để hàm số 3 23 ( 1) 1y mx mx m x= + − − − không có cực trị. 
3. Xác định các giá trị của tham số k để đồ thị của hàm số 
( )4 21 1 2y kx k x k= + − + − chỉ có một điểm cực trị. 
4. Xác định m để đồ thị của hàm số 4 2 3y x mx= − + có cực tiểu mà không có 
cực đại. 
Ví dụ 6 : Tìm m để hàm số 22 2 4 5y x m x x= − + + − + có cực đại. 
Giải : 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 
 . 
* Ta có
2 2 3
2
' 2 ; "
4 5 ( 4 5)
x m
y m y
x x x x
−
= − + =
− + − +
. 
+ Nếu 0m = thì 2 0y x= − < ∀ ∈ 
 nên hàm số không có cực trị. 
+ 0m ≠ vì dấu của ''y chỉ phụ thuộc vào m nên để hàm có cực đại thì trước 
hết " 0y < 0m⇔ < . Khi đó hàm số có cực đại ⇔ Phương trình ' 0y = có 
nghiệm (1). 
Ta có: 2' 0 2 ( 2) 1 ( 2)y x m x= ⇔ − + = − (2) . 
Đặt 2t x= − thì (2) trở thành : 
2
22 2
2
00
2 1 (1)1
( 4) 1
4
t
t
mt t
tm t
m
 ≤ ≤ 
= + ⇔ ⇔ ⇒ 
=− =   −
 có nghiệm 
2 4 0 2m m⇔ − > ⇔ < − (Do 0m < ). 
Vậy 2m < − thì hàm số có cực đại.