Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước - Nguyễn Phú Khánh

Hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn . 1
C CT
x x =
Đ
⇔ (1) có hai nghiệm 
1 2
,x x 
thỏa mãn: 
1 2
. 1x x =
2' 7 0
2
2 1 11
3
m
m
c m
mP
a
∆ = + >  =
⇔ ⇔ 
−
= −= = =  

. 
Vậy = 2m hoặc = −1m là giá trị cần tìm. 
Bài tập tương tự : 
1. Tìm tham số m để hàm số 4 23 2y x mx= − − có cực đại ( )0; 2A − và cực 
tiểu ,B C sao cho 
2 4 4
.
6C B
m m
x x
+ −
< . 
2. Tìm tham số m để hàm số 4 24 1y x mx= − + có cực đại ( )0;1A và cực tiểu 
,B C sao cho ( )2. 2 8 10C Bx x m m> + + . 
Ví dụ 9 : Tìm tham số m để hàm số 
( ) ( )3 21 11 3 2
3 3
y mx m x m x= − − + − + có cực đại , cực tiểu đồng thời 
hoành độ cực đại cực tiểu 
1 2
,x x thỏa 
1 2
2 1x x+ = . 
Giải: 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 
 . 
* Ta có ( ) ( )2' 2 1 3 2y mx m x m= − − + − 
Hàm số có cực đại , cực tiểu khi 'y đổi dấu hai lần qua nghiệm x , tức là 
phương trình ( ) ( )2 2 1 3 2 0mx m x m− − + − = có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
73 
( ) ( )2 2
0 0
2 4 1 0' 1 3 2 0
m m
m mm m m
 ≠  ≠ 
⇔ 
− + + >∆ = − − − >  
0
2 6 2 6
2 2
m
m
 ≠

⇔ 
− +
< <

Theo định lý Vi – ét và yêu cầu bài toán, ta có: 
( )
( )
( ) ( )
1 2 1
1 2 2
1 2
3 4
2 1
2 1 2
3 2 3 23 4 2
.
m
x x gt x
m
m m
x x x
m m
m mm m
x x
m m m m

−+ = =

−  −
+ = ⇔ = 
 
− −     − −
= =        
( )2 23 8 4 0 0 3
2
m
m m m
m

=⇔ − + = ≠ ⇔

=
So với điều kiện bài toán , vậy 2 2
3
m m= ∨ = là giá trị cần tìm . 
Bài tập tương tự : 
1. Tìm tham số m để hàm số 4 23 2y x mx= − − có cực đại ( )0; 2A − và cực 
tiểu ,B C sao cho ( )26C Bx x m m− < − . 
2. Tìm tham số m để hàm số 4 24 1y x mx= − + có cực đại ( )0;1A và cực tiểu 
,B C sao cho ( )22 2C Bx x m m− > − . 
Ví dụ 10: Tìm tham số m để hàm số 
22 3 2
2
x x m
y
x
+ + −
=
+
 có điểm cực đại 
và cực tiểu tại các điểm có hoành độ 
1 2
,x x thỏa mãn ( ) ( )2 1 8y x y x− = 
Giải : 
22 3 2
2 1
2 2
x x m m
y x
x x
+ + −
= = − +
+ +
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên { }\ 2D = −
 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
74 
* Với 2, 0x m≠ − ≠ , ta có 
2
2
2 2 2
2( 2) ( )
' 2 , ( ) 2( 2)
( 2) ( 2) ( 2)
m x m g x
y g x x m
x x x
+ −
= − = = = + −
+ + +
Đồ thị hàm số có cực đại , cực tiểu khi ' 0y = có 2 nghiệm phân biệt và 'y đổi 
dấu khi x qua các nghiệm đó , khi đó phương trình ( ) 0g x = có hai nghiệm 
phân biệt khác 2− 
2
2
2( 2) 0
0
2( 2 2) 0
x m
m
m
 + = >
⇔ ⇔ >
− + − ≠
Khi đó ta có 
( )
( ) ( ) ( )1 1 2 1 2 1 2 12 2
4 3
(4 3) (4 3) 4
4 3
y x x
y x y x x x x x
y x x
 = +
⇒ − = + − + = −
= +
( ) ( ) ( )22 1 2 1 1 2 1 28 4 8 ( ) 4 4 1y x y x x x x x x x− = ⇔ − = ⇔ + − = 
Mà ( )1 2
1 2
4
28
2
x x
m
x x
 + = −


−
=

Từ ( ) ( )1 à 2v suy ra 2 8( 4) 4 4 0 2
2
m
m
 
−
− − − = ⇔ = 
 
Bài tập tương tự : 
1. Tìm tham số m để hàm số ( )3 21 2 2
3
y x m x= + − − có điểm cực đại và cực 
tiểu tại các điểm có hoành độ 
1 2
,x x thỏa mãn ( ) ( )2 1 2y x y x− < . 
2. Tìm tham số m để hàm số ( ) ( )4 21 2 1y m x m x= + − − có 2 điềm cực tiểu 
khác ( )0;0O và hoành độ 1 2,x x của cực tiểu thỏa mãn ( ) ( )2 1 1y x y x+ > . 
Ví dụ 11 : Cho hàm số 
( )2 1 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
. Gọi ,A B là hai điểm 
cực trị , định m để diện tích tam giác OAB bằng 2 . Với giá trị m vừa tìm 
được , tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB . 
Giải : 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ( ) ( ); 1 1;−∞ − ∪ − +∞ . 
* Ta có ( )
2
2
2
' , 1
1
x x
y x
x
+
= ≠ −
+
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
75 
 i Với m∀ ∈ 
 hàm số đã cho có điểm cực đại ( )2; 3A m− − và điểm cực tiểu 
( )0; 1B m + . 
 i Ta có : 
( ) ( )22; 3 6 13, 0; 1 1OA m OA m m OB m OB m− − ⇒ = − + + ⇒ = +  và 
( ) ( ) ( ) ( ). 2.0 3 1 3 1OAOB m m m m= − + − + = − +  .  .cos
.
OAOB
AOB
OAOB
=
 
 
( ) ( )22
2
. .
sin 1 cos
.
OAOB OAOB
AOB AOB
OAOB
−
⇒ = − =
 
 i Diện tích ( )
 ( ) ( )221 1. .sin . .2 2OABdt OAOB AOB OAOB OAOB∆ = = −   
( ) ( )
3
... 1 2 1 2
1OAB OAB
m
dt m dt m
m∆ ∆
 = −
= = + ⇒ = ⇔ + = ⇔ 
=
 i Gọi d là khoảng cách từ O đến đường thẳng AB khi đó 2 5AB = và 
( )
11
.
2 5
OAB
m
dt d AB d
∆
+
= ⇒ = . 
2 5
3
5
m d+ = − ⇒ = . 
2 5
1
5
m d+ = ⇒ = . 
Bài tập tự luyện: 
1. Định m để đồ thị của hàm số ( )3 21 3 1 4 2
3
y mx m x x= − + − − − có cực trị 
,A B sao cho tam giác MAB diện tích bằng 1 , biết ( )0;1M . 
2. Định m để đồ thị của hàm số 4 2 22 1y x m x= − + có cực trị , ,A B C sao cho 
tam giác ABC diện tích bằng 4 . 
Ví dụ 12 : Tìm tham số m để hàm số 4 2 22 1y x m x= − + có 3 điểm cực trị 
là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân. 
Giải: 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục 
 . 
* Ta có 3 2 2 2' 4 4 4 ( )y x m x x x m= − = − . 
Với 0m ≠ hàm số có ba cực trị .Khi đó tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm 
số là: 4 4(0;1), ( ;1 ), ( ;1 )A B m m C m m− − − . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
76 
Dễ thấy =AB AC nên tam giác ABC vuông cân 2 2 2AB AC BC⇔ + = 
2 8 22( ) 4 1m m m m⇔ + = ⇔ = ± 
Vậy = ±1m là những giá trị cần tìm. 
Bài tập tự luyện: 
1. Tìm tham số m để hàm số ( )3 21 1
3
y x x m x m= − + − + có 2 điểm cực trị 
,A B sao cho ABO một tam giác vuông cân , với O là gốc tọa độ. 
2. Tìm tham số m để hàm số ( )4 21 1 1 2
4 2
y x m x m= − − + − có 3 điểm cực trị 
là 3 đỉnh của một tam giác vuông. 
Ví dụ 13: Tìm m để đồ thị của hàm số 4 2 42 2y x mx m m= − + + có cực đại , 
cực tiểu đồng thời các điểm cực trị lập thành tam giác đều. 
Giải : 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục 
 . 
* Ta có ( )3 2' 4 4 4y x mx x x m= − = − 
( )2
0
' 0
*
x
y
x m
 =
= ⇔ 
=
Đồ thị hàm số có cực đại , cực tiểu khi ' 0y = có 3 nghiệm phân biệt và 'y đổi 
dấu khi x qua các nghiệm đó , khi đó phương trình ( )* có hai nghiệm phân biệt 
khác 0 0m⇔ > 
Khi đó : 
( )
( )
( )
4
4 2
4 2
0 0; 2
; 2' 0
; 2
x A m m
B m m m my
x m
C m m m m
 = ⇒ +


− − += ⇔  = ± ⇒

− +
 
Hàm số có 3 cực trị , ,A B C lập thành tam giác đều 
2 2 4 4
AB AC
AB BC m m m
AB BC
 =
⇔ ⇔ = ⇔ + =
=
( ) ( )33 3 0 3 0m m m m⇔ − = ⇔ = > 
Vậy 3 3m = là giá trị cần tìm . 
Bài tập tự luyện: 
1. Tìm m để đồ thị của hàm số ( )4 2 21 1 1
4 2
y x m x m m= − − + − có cực đại , 
cực tiểu đồng thời các điểm cực trị lập thành tam giác đều. 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
77 
2. Tìm m để đồ thị của hàm số 3 2 23
2
y x m x= − + có cực đại A , cực tiểu B 
đồng thời các điểm ABC cực trị lập thành tam giác đều, biết ( )2;3C − . 
Ví dụ 14: Tìm a để đồ thị của hàm số ( )3 23 2y x x C= − + có điểm cực đại 
và điểm cực tiểu của đồ thị ( )C ở về hai phía khác nhau của đường tròn (phía 
trong và phía ngoài): ( ) 2 2 2: 2 4 5 1 0aC x y ax ay a+ − − + − = . 
Giải : 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục 
 . 
* Ta có : 2' 3 6y x x= − 
0 2
' 0
2 2
x y
y
x y
 = ⇒ =
= ⇔ 
= ⇒ = −
Cách 1: 
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ( ) ( )0;2 , 2; 2A B − . Hai điểm 
( ) ( )0;2 , 2; 2A B − ở về hai phía của hai đường tròn ( )aC khi 
( ) ( ) ( ) ( )2 2/ /. 0 5 8 3 5 4 7 0a aA C B CP P a a a a⇔ < ⇔ − + + + < 
2 35 8 3 0 1
5
a a a⇔ − + < ⇔ < < 
Cách 2 : 
 ( ) ( ) ( )2 2: 2 1aC x a y a− + − = có tâm ( );2I a a và bán kính 1R = 
Ta có : ( ) ( )2 2 22 2 2 5 4 8IB a a a a= − + + = + + 
2
2 36 6
5 1
5 5 5
IB a R
 
= + + ≥ > = ⇒ 
 
 điểm B nằm ngoài ( )aC , 
do đó điểm A nằm trong đường tròn 
( ) ( )22 2 31 2 2 1 5 8 3 0 1
5a
C IA a a a a a⇔ < ⇔ + − < ⇔ − + < ⇔ < < 
Bài tập tự luyện: 
1. Tìm m để đồ thị của hàm số ( )3 23 1
2
y x x C= − + + có điểm cực đại và 
điểm cực tiểu của đồ thị ( )C ở về một phía khác nhau của đường tròn (phía 
trong hoặc phía ngoài): ( ) 2 2 2: 2 2 0mC x y mx my m+ + + + − = . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
78 
2. Tìm m để đồ thị của hàm số ( )3 2 2 1 my x mx m C= + + − có điểm cực đại 
và điểm cực tiểu của đồ thị ( )mC ở về hai phía khác nhau của đường tròn (phía 
trong và phía ngoài): ( ) 2 2: 4C x y+ = . 
Ví dụ 15 : Tìm m để đồ thị của hàm số: 4 22 1y x mx m= − + − có ba cực trị. 
Đồng thời các điểm cực trị , ,A B C của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính 
đường tròn ngoại tiếp bằng 1 . 
Giải : 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 
 . 
* Ta có : ( )' 3 24 4 4y x mx x x m= − = − 
2
0
' 0
x
y
x m
 =
= ⇔ 
=
Với 0m > : ' 0y = có ba nghiệm phân biệt và 'y đổi dấu khi x đi qua các 
nghiệm đó. 
* Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: ( )0; 1 ,A m − 
( )2; 1 ,B m m m− − + − ( )2; 1C m m m− + − . 
4 , 2AB AC m m BC m= = + = và 21 .
2ABC A C BB
S y y x x m m= − − =

. .
1
4
ABC
ABAC BC
R
S
= =

( )4
2
2
1
4
m m m
m m
+
⇔ = 3 2 1 0m m⇔ − + = 
1
5 1
2
m
m
 =
⇔
−
=
Bài tập tương tự : 
Tìm m để đồ thị của hàm số: 4 21 1 1
4 2
y x mx m= − + + có ba cực trị , ,A B C 
sao cho tam giác nội tiếp được trong đường tròn có bán kính 1R = . 
Ví dụ 16: Tìm m để đồ thị của hàm số 3 2 23y x x m x m= − + + có cực đại, 
cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua 
đường thẳng : = −1 5:
2 2
d y x . 
Giải : 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 
 . 
Cách 1 : 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
79 
* Ta có 2 2 2 2' 3 6 ' 0 3 6 0 (1)y x x m y x x m= − + ⇒ = ⇔ − + = . 
hàm số có cực trị ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt 1 2,x x 
⇔ ∆ = − > ⇔ − < <2' 3(3 ) 0 3 3m m . 
phương trình đường thẳng 'd đi qua các điểm cực trị là : 
2 22 1( 2)
3 3
y m x m m= − + + ⇒ các điểm cực trị là : 
2 2 2 2
1 1 2 2
2 1 2 1
( ;( 2) 3 ), B( ;( 2) 3 )
3 3 3 3
A x m x m m x m x m m− + + − + + . 
Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và 'd 
2 2
2 2
2 6 15 11 3 30
( ; )
15 4 15 4
m m m m
I
m m
+ + + −
⇒
− −
. 
A và B đối xứng qua d thì trước hết 22' 2 2 0
3
d d m m⊥ ⇔ − = − ⇔ = khi 
đó ( )−1; 2I và ( ) ( )1 1 2 2; 2 ; ; 2A x x B x x− − ⇒ I l