Tiểu luận Vận dụng quy luật từ những sự thay đổi về lượng dẫn đến sự thay đổi về chất và ngược lại, và cặp phạm trù cái riêng và cái chung của triết học duy vật biện chứng vào dạy học định lý và bài tập hình học

gười khám phá ra nó, vẫn luôn luôn tồn tại mà không bị định lí khác thay thế; tuy nhiên từ vị trí cơ bản nhất, chúng trở thành cái quan trọng nhất, cái riêng trong hệ thống Toán học.
Như vậy, nhận thức đi từ cái riêng đến cái chung, rồi từ cái chung chuyễn hoá thành cái riêng, theo tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình cho rằng, xét đến phương diện nào đó thì cái chung và cái riêng mâu thuẫn, nhưng xét ở những phương diện khác thì cái chung và cái riêng lại thống nhất: cái chung bao trùm lên cái riêng và cái riêng nằm trong cái chung, mỗi cái riêng có thể nằm trong nhiều cái chung khác nhau và mỗi cái chung như vậy cũng ứng với một cách nhìn về cái riêng, ứng với một quan điểm làm cơ sở cho sự thống nhất giữa cái chung và cái riêng. Từ một cái riêng nếu biết nhìn theo nhiều quan điểm các góc độ khác nhau thì có thể khái quát thành nhiều cái chung khác nhau, và đôi khi đem đặc biệt hoá nhiều cái chung thì lại được một cái riêng và cứ như thế qua nhiều giai đoạn phát triển lên thành cái mới. 
Ví dụ: trong Hình học thì tam giác đều vừa là trường hợp riêng của hình tứ diện đều vừa là trường hợp riêng của tam giác cân. Xét về số chiều thì tam giác đều và tứ diện đều là mâu thuẫn, nhưng xét về tính chất thì có tất cả các cạnh bằng nhau là thống nhất.
Trong dạy học Toán, nếu người giáo viên nắm được mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng sẽ đem lại hiệu quả cao. 
1.4. ứng dụng trong Toán học
1.4.1. Các cơ sở lý luận và thực tiễn để vận dụng một số quan điểm biện chứng cho học sinh
Nghị quyết Trung ương 2 khoá VIII quy định nhiệm vụ và mục tiêu giáo dục như sau: “Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là nhằm xây dựng những con người và thế hệ.... làm chủ tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có tư duy sáng tạo, có kĩ năng thực hành giỏi...”. Từ đó ta thấy rằng quan điểm biện chứng của tư duy góp phần quan trọng trong việc rèn luyện tư duy toán học. Thật vậy, theo quan điểm biện chứng của tư duy Toán học là khi xem xét sự vật phải xuất phát từ chính bản thân của sự vật hiện tượng, phải xem xét sự vật một cách khách quan, phải hiểu rõ bản chất của sự vật. Đây là cơ sở để nhận thức sự vật một cách đúng đắn, qua đó học sinh có thể làm chủ được tri thức khoa học, và thực hành giỏi. Điều này đòi hỏi học sinh nắm thật vững các thuộc tính bản chất khái niệm, giả thiết và kết luận của định lí, và điều kiện đã cho trong bài toán; Cần nhìn nhận và xem xét một cách đầy đủ tất cả các tính chất phức tạp của sự vật, xem xét trong các mối quan hệ biện chứng (liên hệ bên trong và liên hệ bên ngoài) trong tổng thể những mối quan hệ liên thuộc; Phải xem xét sự vật trong sự mâu thuẫn và thống nhất từ đó giúp học sinh học Toán một cách chủ động sáng tạo, khả năng phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề.
1) Nói về vai trò của Toán học trong nhận thức khoa học, Ănghen đã nói rằng: Muốn nhận thức biện chứng và đồng thời duy vật về tự nhiên, cần hiểu biết toán học và khoa học tự nhiên. Theo đó, Toán học không chỉ là một lĩnh vực nhất định mà còn là một phương pháp là một dạng nhất định của nhận thức khoa học, nó góp phần xây dựng các lí thuyết khoa học.
Còn A.N.Kônmôgrốp khẳng định: Về nguyên tắc thì phạm vi ứng dụng phương pháp toán học không hạn chế: tất cả các dạng vận động đều có thể nghiên cứu theo kiểu toán học.
Khác với phương pháp biện chứng, nó giúp nghiên cứu những nhân tố của sự ổn định, tính không đổi trong sự vận động không ngừng của những đối tượng được nghiên cứu. Còn phương pháp biện chứng hoạt động trong nhận thức như là sự vận động tới nhưng kết quả khoa học mới. Qua đó phát hiện ra những quy luật vận động của nó trong Toán học.
2) Như vậy, qua dạy học Toán cho học sinh phổ thông mà bước đầu vận dụng một số quan điểm biện chứng của tư duy toán học, điều này không những giúp cho học sinh học Toán và các môn học khác của học sinh đang còn học ở môi trường phổ thông đạt kết quả cao mà còn tạo điều kiện cho học sinh tư duy một cách biện chứng để vận dụng trong cuộc sống hàng ngày.
3) Tuy nhiên, việc bước đầu vận dụng một số quan điểm biện chứng qua dạy học Toán không phải là trình bày trực tiếp, một cách tường minh các quy luật, các cặp phạm trù của nó trong dạy học mà vấn đề ở đây là bước đầu tạo nền tảng, tạo cơ sở cho học sinh hiểu các quy luật, các cặp phạm trù của triết học thông qua dạy học Toán. Đến một chừng mực nào đó, khi đã đủ chất học sinh có thể vận dụng kiến thức đó vào trong cuộc sống. 
Chương 2
Vận dụng quy luật từ những sự thay đổi về lượng 
dẫn đến sự thay đổi về chất và ngược lại, và cặp phạm trù cái riêng và cái chung của triết học duy vật biện chứng vào dạy học định lý và bài tập hình học
2.1. Một số căn cứ đưa ra các biện pháp thực hiện
1. Tổ chức những hoạt động Toán học phù hợp với quá trình dạy học Toán nói chung và dạy học Hình học nói riêng, nhằm hướng dẫn cho học sinh tư duy toán học từ các quan điểm biện chứng.
2. Đến một mức độ nào đó học sinh hiểu được các quan điểm biện chứng trong Toán học ở trạng thái ẩn tàng, qua đó tập cho học sinh biết vận dụng các quy luật biện chứng và các cặp phạm trù trong Toán học qua việc học các định lí, khái niệm, và vấn để giải Bài tập toán trong dạy học Hình học 10 THPT.
3. Rèn luyện tư duy toán học, các mối quan hệ hữu cơ, quan hệ biện chứng qua các thao tác tư duy như tổng hợp, phân tích, so sánh, quy nạp, diễn dịch...
4. Rèn luyện tư duy toán học dựa trên các quan điểm biện chứng phải căn cứ vào mức độ, yêu cầu của chương trình, sách giáo khoa và trình độ học sinh để từ đó phù hợp với tâm lí lứa tuổi và trình độ học sinh.
5. Các biện pháp thực hiện phù hợp với chương trình sách khoa hiện hành, đặc biệt là chương trình sách giáo khoa Hình học 10 hiện hành. Hệ thống các biện pháp đó phải khả thi, có thể thực hiện được trong quá trình dạy học Hình học. 
6. Các biện pháp phải thể hiện rõ ý tưởng vận dụng các quan điểm biện chứng của tư duy Toán học góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán làm cho học sinh nắm vững các tri thức và kiến thức của Hình học 
2.2. Vận dụng quy luật từ những sự thay đổi về lượng dẩn đến sự thay đổi về chất và ngược lại vào dạy học định lý và bài tập hình học
Quy luật tự nhiên và quy luật của xã hội đều có tính khách quan, song quy luật tự nhiên diễn ra một cách tự phát. Trong quá trình dạy học Toán, giáo viên cần nắm vững quy luật biện chứng này nhằm phát hiện những bước chuyễn hoá từ sự biến đổi về lượng dẫn đến sự biến đổi về chất. Qua đó giúp học sinh thấy được mối quan hệ “lượng” và “chất” của sự vật. Từ đó học sinh có thể cảm nhận được sự thay đổi biện chứng đó, thấy được sự chuyễn hoá của đối tượng toán học.
Ví dụ 1: khi dạy học phần trọng tâm của hệ điểm (chương véc tơ trong Hình học 10), cho học sinh khá và giỏi, ta có thể cho các em khái quát hoá bài toán: 
Với hai điểm A, B thì có duy nhất I sao cho .
Với 3 điểm A, B, C ta có điểm I duy nhất sao cho .
Đối với 4 điểm A, B, C, D ta cũng có duy nhất một điểm I sao cho .
Từ đó đối với học sinh khá giỏi ta có thể mở rộng với hệ n điểm: 
Với n điểm A1, A2,....An thì cũng tồn tại duy nhất một điểm I sao cho .
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC không cân và đường tròn nội tiếp (I); M là điểm chạy trên (I). Gọi H, K, L lần lượt là hình chiếu của M lên các đường thẳng BC, CA, AB. Tìm vị trí của M sao cho MH +MK + ML lớn nhất.
Giải: Giả sử bán kính của (I) là r và (I) tiếp xúc với BC, CA, AB tại X, Y, Z. Gọi T là trọng tâm DXYZ. Ta có: 
 MH + MK + ML =
= =
= 
 A
B
 C
M
H X
L
Z
 I
.T
 Y
 K
M1
M2
=
=.
Vậy (MH + MK + ML) đạt giá trị nhỏ nhất 
 đạt giá trị lớn nhất
 ngược hướng
M trùng với M1 (M trùng với M2).
Trong đó M1M2 là đường kính của đường tròn (I) và các tia TM2, IT cùng hướng; IM1, IT ngược hướng. 
 Hình 5
 Như vậy, khi ta thay điểm M là một điểm bất kì và tổng các bình phương độ dài trên (tức lượng đổi) thì bài toán đã chuyễn hẵn thành một bài toán khác (tức chất đổi).
Bài toán 1: Cho tam giác ABC; M là một điểm bất kì; H, I, K theo thứ tự là hình chiếu của điểm M trên các đường thẳng BC, CA, AB. Tìm vị trí của M sao cho MH2 + MI2 + MK2.
 A
B
 C
M
H X
L
Z
 I I
.T
 Y
 K
M1
M2
 Hướng dẫn: Theo bất đẳng thức Bu-nhia-côp-xki, ta có: 
 (MH2 + MI2 + MK2) 
4S2ABC.
Suy ra: MH2 + MI2 + MK2
Đẳng thức xảy ra 
 Hình 6
khi và chỉ khi M là tâm tỉ cự của hệ ba điểm A, B, C với hệ số a2, b2, c2.
Vậy vị trí điểm M cần tìm là tâm tỉ cự của hệ ba điểm A, B, C với hệ số a2, b2, c2.
Ta cũng có thể để điểm M bất kì và tìm vị trí M để tổng các khoảng cách từ M tới các đỉnh tam giác nhỏ nhất sau: 
 Bài toán 2: Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho (MA + MB + MC) đạt giá trị nhỏ nhất.
Việc giải bài toán này chuyễn sang một hướng mới, cách làm khác hẳn với hai bài toán đầu tiên.
Như vậy ta đã thấy sự thay đổi về lượng trong bài toán trên, sự thay đổi về lượng này đã dẫn đến sự thay đổi về chất, nhưng cần sự thay đổi về chất một cách mạnh bạo hơn đó là một “bước nhảy” tức là ta có thể hướng dẫn học sinh khái quát theo hướng thay các hệ số của các véc tơ từ hằng sang biến.
Với hai điểm A, B và hai số thực a, b sao cho a + b ạ 0, ta có duy nhất I sao cho: (I gọi là tâm tỉ cự).
Với 3 điểm A, B, C và 3 số thực g, b, a sao cho g + b + a ạ 0, ta có duy nhất điểm I sao cho (điểm I gọi là tâm tỉ cự).
Tương tự đối với hệ n điểm A1, A2,..., An và n số thực a1, a2,...an sao cho a1+ a2+...+an ạ 0, tồn tại duy nhất điểm sao cho: 
(điểm I gọi là tâm tỉ cự đối với bộ n điểm).
Như vậy sự thay đổi về lượng đã có sự thay đổi về chất khai thác mở rộng qua sự đột phá “bước nhảy” ở bài toán trên đã thấy sự biến đổi mạnh mẽ qua sự thay đổi đó. Khi dạy học Toán, từ những bài toán có phương pháp giải giống nhau giáo viên nên cố gắng khái quát lên thành một phương pháp chung để giải cho lớp bài toán đó nhằm giúp học sinh định hướng, tự mình tìm được hướng giải quyết bài toán nhanh.
2.3. Vận dụng cặp phạm trù cái riêng và cái chung của triết học duy vật biện chứng vào dạy học định lý và bài tập hình học
Mỗi cái riêng có thể được chứa đựng trong nhiều cái chung, cái bao trùm nó theo một số quan hệ nào đó khác nhau và ngược lại nhiều c