Tiểu luận Tính liên tục của hàm một biến và đạo hàm

g minh
 	Giả sử f không bị chặn trên [a;b]. Lúc đó với mỗi nN* tồn tại (xn)n[a;b] để f(xn)>n. (1)
 Dãy (xn)n[a;b] nên bị chặn. theo nguyên lí Bolqano-Weiesstrass có dãy con ()k hội tụ: đặt x0 =. Hàm f liên tục tại x0 nên: (2)
 	Nhưng theo (1) : N* Điều này mâu thuẫn (2). Vậy f bị chặn trên [a;b].
 	Vì f bị chặn trên [a;b] nên M=. Lúc đó với mỗi nN*, tồn tại xn,[a;b] để (3)
 	Vì dãy (xn,)n bị chặn nên tồn tại dãy con hội tụ . Giả sử Rõ ràng [a;b] và hàm f liên tục trên [a;b] nên 
 	Mặt khác từ (3) ta có: . Suy ra (Tính chất duy nhất của giới hạn)
	4.3 Ví dụ:
 Hàm f(x)= liên tục trên (0;1) nhưng nên hàm f không bị chặn và không đạt được cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
4.4 Định lí
 	Nếu hàm f liên tục trên [a;b] và f(a)=A, f(b)=B. lúc đó nếu C là một số bất kì nằm giữa A và B thì có ít nhất một điểm c[a;b] để f(c) = C.
Chứng minh
 	Không mất tính tổng quát, giả sử A<B. Với mỗi số thực C thoã mãn A<C<B, xét hàm số g(x)=f(x)-C liên tục trên [a;b].
 Ta có: g(a) = A-C 0 nên g(a).g(b)<0. Do đó tồn tại c[a;b] sao cho g(c)=0 tức là f(c)=C.
5. Tính liên tục của hàm số ngược.
	5.1. Định lí
 	Nếu hàm f tăng nghiêm ngặt và liên tục trên [a;b] thì hàm ngược x=(y) liên tục trên [c;d] ví c=f(a), d=f(b).
Chứng minh
 	Từ giả thiết hàm y=f(x) tăng ngặt và liên tục trên [a;b] suy ra hàm ngược (y) tồn tại và tăng ngặt trên X=f([a;b]). Ta chứng minh X=[c,d].
 	Do f tăng nghiêm ngặt c = f(a) = 
 	Hơn nữa f liên tục trên [a;b] nên nó nhận mại giá trị trung gian giữa c và d, Suy ra f([a;b])=[c;d].
 	Ta chứng minh hàm ngược x=(y) liên tục trên [c;d]. Giả sử y0 [c;d]. Lúc đó x0=(y0)(a;b). Xét >0 đủ bé để [x0-;x0+][a;b].
 	Đặt y1=f(x0-), y2=f(x0+) thì y1<y0<y2. Chọn . Nếu y(c;d) và thì y1<y<y2. Hàm tăng ngặt nên (y1)< (y)< (y2) tức là x0-<(y)<x0+. Do vậy: .
 	Ta suy ra liên tục tại mọi điểm y0 thuộc khoảng (c;d).
 	Tương tự ta chứng minh được liên tục bên phải tại c và liên tục bên trái tại d. Nói cách khác liên tục trên [c;d]
	5.2 Ví dụ
	a) Hàm y=sinx liên tục và năng ngặt trên [] nên hàm ngược của nó là: x=arcsiny liên tục và tăng ngặt trên [-1;1]
	b) Hàm y = arccosx liên tục và tăng ngặt trên [-1;1]
B - Bài tập
	Bài 1. Chứng minh rằng nếu hàm f(x) liên tục trên [a;b] thì các hàm m(x) = cũng liên tục trên [a;b].
Chứng minh.
	Chứng minh m(x) liên tục [a, b] tức là chứng minh m(x) liên tục x0 Î [a, b].
	Ta có: f liên tục [a, x0] nên $ x* Î [a, x0)
	f(x*) = = m(x0)
	Þ f(x*) £ f(x0).
	· Nếu f(x*) f(x*) 
	"x Î V Ç [a, b]
	m(x) = inf {f(x)} = f(x*)
	Vậy "x Î V Ç [a, b] thì:
	 = çf(x*) - f(x*) ç = 0
	Hay m(x) liên tục.
	· Nếu f(x*) = f(x0)
	Do f liên tục tại x0 nên "e > 0; $ d > 0, 
	"x Î V(x0, d) Ç [a, b] thì çf(x) - f(x0) ç < e.
	Û f(x0) - e < f(x) < f(x0) + e
m(x0) - e < f(x) < m(x0) + e
	Þ m(x0) - e < inf {f(x)} < m(x0) + e
	Þ çm(x) - m(x0) ç < e.
	Þ m(x) liên tục trên [a, b]
	+ Chứng minh M(x) = liên tục [a, b] tức là chứng minh M(x) liên tục x0 Î [a, b].
	Ta có f liên tục [a, x0] nên $ x* Î [a, x0].
	f(x*) = = m(x0)
	Þ f(x*) £ f(x0)
	· Nếu f(x*) < f(x0) thì do liên tục [a, b] nên $ V(x0, d).
	f(x) > f(x*)	"x Î V Ç [a, b]
	m(x) = sup{f(x)} = f(x*)
	Vậy "x Î V Ç [a, b] thì:
	 = çf(x*) - f(x*) ç = 0
	Hay M(x) liên tục.
	· Nếu f(x*) = f(x0)
	Do f liên tục tại x0 nên "e > 0; $ d > 0, 
	"x Î V(x0, d) Ç [a, b] thì çf(x) - f(x0) ç < e.
	Û f(x0) - e < f(x) < f(x0) + e
	M(x0) - e < f(x) < M(x0) + e
	Þ M(x0) - e < sup f(x) < M(x0) + e
	Þ çM(x) - M(x0) ç < e.
	Þ M(x) liên tục trên [a, b].
	Bài 2. Chứng minh rằng nếu các hàm f(x) và g(x) liên tục thì các hàm (x)=min cũng liên tục.
Chứng minh
	+ Chứng minh j(x) liên tục "x0 Î [a, b] , "e > 0
	Do f liên tục tại x0 nên $ V(x0, d1): "x Î V Ç [a, b].
	Þ çf(x) - f(x0) ç < e	(1)
	Do g liên tục tại x0 nếu $ V' (x0, d2) ; "x Î V Ç [a, b] 
	Þ çg(x) - g(x0) ç < e 	(2)
	+ Nếu f(x0) > g(x0) thì do f, g liên tục sẽ $ V(x0, d3). "x Î V(x0, d3) thì f(x) > g(x).
	Lúc đó "x Î V(x0, d): d = min{d1, d2, d3}
	Þ çj(x) - j(x0) ç= çmin{f(x), g(x)} - j{f(x0), g(x0)}ç
	 = çg(x) - g(x0) ç < 2	theo (2)
	+ Nếu g(x0) = f(x0) thì "x Î V(x0, d')
d' = min{d1, d2} ta có: 
çj(x) - j(x0) ç = {min {f(x), g(x) - min} f(x0), f(x0)} £ min {çf(x) - f(x0), çg(x) - g(x0) ç} < e 
+ Trường hợp f(x) < g(x0) 	chứng minh tương tự.
Vậy j(x) liên tục [a, b].
+ Chứng minh y(x) liên tục " x0 Î [a, b]; "e > 0
Do f liên tục tại x0 nên $ V(x0, d'1): "x Î V Ç [a, b]
Þ çf(x) - f(x0) ç < e 	(3)
Do g liên tục x0 nếu $ V''(x0, d'2) ; "x Î V Ç [a, b]
Þ çg(x) - g(x0) ç < e	(4)
· Nếu f(x0) > g(x0) thì do f, g liên tục sẽ $ V(x0, d'3); "x Î V(x0, d'3) thì f(x) > g(x).
Lúc đó "x Î V(x0, d''): d' = max{d'1, d'2, d'3}.
Þ çy(x) - y(x0) ç = çmax {f(x)m g(x)} - y{f(x0), g(x0)}ç
	 = çg(x) - g(x0) ç < 2 theo (4)
· Trường hợp g(x0) = f(x0) và trường hợp g(x0) > f(x0) chứng minh tương tự.
Vậy j(x) và y(x) liên tục. 
Bài 3. Giả sử hàm số f(x) xác định và bị chặn trên [a;b]. Chứng minh các hàm:
 liên tục bên trái trên đoạn [a;b].
Chứng minh.
	Chứng minh m(x) liên tục trái tại "x0 Î (a, b].
Ta có: x(x0) = inf {f(t): a < t < x0}
Þ Theo định nghĩa inf thì "e > 0 $ x* Î [a, x0)
m(x0) £ f(x*) < m(x*) + e
Þ m(x0) £ inf {f(x): a £ t £ x*} £ m (x0) + e.
Chọn d = thì "x Î [x0 - d, x0]
Ta có: 
m(x0) £ inf {f(t): a £ t < x*} £ inf {f(t): a £ t £ x*} £ m(x0) + e.
Þ m(x0) £ m(x) < m(x0) + e.
m(x0) - e < m(x) < m(x0) + e.
Û çm(x) - m(x0) ç < e ; "x Î [x0 - d, x0)
Þ m(x) liên tục trái trên [a, b]
Chứng minh tương tự M(x) liên tục trái trên [a, b]
Bài 4. Chứng minh rằng mọi điểm gián đoạn của hàm đơn điệu, giớu nội đều là điểm gián đoạn loại I.
Chứng minh.
	Giả sử điểm gián đoạn y = f(x). Lúc đó 
+ "x < x0 Þ f(x) £ f(x0)
Sup {f(t): t < x0}: = A £ f(x0)
Định nghĩa sup: "e > 0 $ x1: A - e < f(x1) £ A.
Chọn d = Þ "x Î (x0 - d, x0) thì A - e < f(x1) £ f(x) £ A.
Þ A - e < f(x1) £ f(x) £ A
Þ A - e < f(x) < A + e "x Î (x0 - d, x0)
Hay f(x) = A
+ "x > x0 Þ f(x) ³ f(x0)
Þ inf{f(t): t > x0} = B ³ f(x0)
Theo định nghĩa inf: "e > 0; $ x* > x0.
B £ f(x0) < B + e
Chọn d = Þ "x Î (x0, x0 + d) thì f(x) £ f(x*) < B + e.
Þ B - e < f(x) < B + e hay = B Þ mọi điểm gián đoạn của hàm đơn điệu, giới nội đều là điểm gián đoạn loại I. 
	Bài 5: Chứng minh rằng nếu hàm f(x) xác định, đơn điệu trên đoạn[a,b] và nhận tất cả các số giữa f(a)và f(b) làm giá trị thì hàm liên tục.
Chứng minh.
 	Giả sử ngược lại $x0 Î [a, b]: y = f(x) gián đoạn tại x0: theo bài 4 thì
$f(x): = A	;	 f(x) = B
	Do f xác định [a, b] nên $ f(x0). Vì x0 là điểm gián đoạn y = f(x) nên hoặc A ¹ f(x0) hoặc B ¹ f(x0) .
	Nếu A ¹ f(x0) và f đơn điệu thì "c Î (a, f(x0)) không $x Î [a,b] để f(x) = c >< giả thiết (f nhận tất cả giá trị A và f(x0)).
	Þ đpcm.
chương II : đạo hàm
A - Lý thuyết
1. Định nghĩa. ( Đạo hàm )
 	Cho f là một hàm số xác định trên (a;b) R và x0 thuộc (a;b). 
Xét tỉ số: (1.1)
 	Trong đó x là số gia của x ( đủ nhỏ sao cho x0+x(a;b)).
 	Nếu giới của tỉ số tồn tại và hữu hạn khi x thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm f tại xo và được kí hiệu là f’(xo). Vậy
 f’(xo) = (1.2)
 	Lúc này ta cũng nói f có đạo hàm tại xo hay f khả vi tại xo.
 	Ta nói f có đạo hàm trên (a;b) ( hay f khả vi trên (a;b)) nếu f có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a;b).
2. Vài nhận xét.
(i)	(1.2) đôi khi viết được dưới hạn:
 f’(xo)=
 Với x = xo+x thuộc (a;b) thì (1.2) có thể viết lại :
	(1.2’)
(ii)	Giả sử f có đạo hàm tại xo thuộc (a;b) . Khi đó theo (1.2) ta có:
 	 (1.3)
Trong đó . Do đó:
 f(xo)=f(xo+x)-f(xo)=f’(xo). x+o(x) (1.4)
Trong đó, o(x) là vô cùng bé bậc cao so với x khix,nghĩa là: . Do đó: . 
Điều này chứng tỏ f liên tục tại xo. Ta đã chứng minh được hệ quả sau đây nói lên mối liên hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên tục của một hàm số.
*) Hệ quả: Nếu f có đạo hàm tại xo thuộc khoảng (a;b) thì f liên tục tại xo.
Để ý rằng khẳng định ngược lại ( với kết luận ở hệ quả) là không đúng. Chẳng hạn hàm g xác định bởi: g(x)= liên tục tại xo=0 nhưng dễ thấy rằng g không có đạo hàm tại xo=0.
i) Nếu tồn tại các giới hạn bên phải( bên trái) của tỉ số khi x, nghĩa là giới hạn tồn tại và hữu hạn, thì các giới hạn này được gọi là đạo hàm bên phải( bên trái) của f tại xo và được kí hiệu là: f’+(xo) (f’-(xo)) tương ứng.
 	Vậy: 
f+’(xo) và f-‘(xo) thường được gọi chung là đạo hàm một phía (một bên) của f tại xo
Nếu hàm f xác định trên [a;b] thì ta cũng dùng thuật ngữ f có đạo hàm trên [a;b] để nói rằng f có đạo hàm trên (a;b) , f có đạo hàm bên trái tại b và có đạo hàm bên phải tại a.
 	Đôi khi người ta nói f có đạo hàm vô cùng tại xo
ii) Giả sử f:(a;b) R mà tại mọi x thuộc (a;b) f’(x) đều tồn tại. Khi đó có một hàm số mới, kí hiệu f’ xác định như sau:
và gọi là hàm đạo hàm của f’ của f.
3. Các ví dụ
Ví dụ 1. Từ định nghĩa đạo hàm , đạo hàm của hàm hằng f(x)=c ( c : hằng số)và hàm g(x)=x, mọi x thuộc R có đạo hàm trên R và: 
 f’(x)=0 ; g’(x)=1 với mọi x thuộc R.
Ví dụ 2. Xét hàm số f(x)=ax (a>0,a). Ta có:
Trong đó z = . Vậy 
 f’(x) = axlna, mọi x thuộc R 
Trong thực hành ta viết (ax)’=axlna hay y=ax thì y’=axlna.
Ví dụ 3. Xét hàm cho bởi công thức
Ta thấy f không liên tục tại bất kì điểm x0 nào thuộc R. Tuy nhiên, f có đạo hàm tại 0 và f’(0)=0. Thật vậy, 
 mọi h
 Nghĩa là 
4. Các định lí về giá trị trung bình
4.1. Định nghĩa ( Cực trị địa phương)
Cho hàm f xác định trên [a;b] và xo thuộc (a;b). Ta nói hàm f đạt cực đại địa phương tại xo nếu tồn tại lân cận: U=(x0-;xo +)(a;b) (>0 nào đó) của xo sao cho f(x)f(x0) mọi x thuộc U (1.5)
 	Nếu thay vì f(x)f(x0), mọi x thuộc U ta có: f(x)<f(xo) mọi x thuộc U, x khác xo thì ta nói f đạt cực đại địa phương chặt tại x0
	Hàm f đó cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương tại x0 thường được gọi chung là f đạt cực trị địa phương tại x0.
4.2. Định lý : ( Định lý Fermat )
	Cho hàm f xác định trên (a, b).