Tiếp cận đại số tổ hợp theo hướng đời sống

TIẾP CẬN ĐẠI SỐ TỔ HỢP THEO HƯỚNG ĐỜI SỐNG.
Nội dung phần tổ hợp trước kia được đưa vào cuối sách giáo khoa đại số 12, có lý do một phần là nó trừu tượng, hay gây nhầm lẫn, đòi hỏi tư duy cao, vậy phải đợi học sinh phát triển đã khá thì mới tiếp cận. Theo chương trình cải cách phần này được đưa vào SGK đại số11, nên rất nhiều học sinh thấy khó khăn, một số em hiểu nội dung còn lơ mơ, một số em khác thấy chán và khó nhớ. Nội dung bài này tác giả không nhằm đưa ra những định nghĩa chính xác, cũng không đưa ra hệ thống bài tập khó với những kỹ thuật giải đặc trưng, mà chỉ trình bày những tư tưởng chủ đạo theo hướng cụ thể, để các bạn dễ tiếp cận nội dung này. Nào chúng ta cùng bắt đầu!
1)“Quy tắc ăn-mặc”. 
Bạn Tí rất thích đi ăn sáng, sáng nào cậu ta cũng đi ăn, lần nào đi ăn cậu ta cũng vào quán Hải Xồm, vì thức ăn quán này vừa rẻ, vừa ngon, lại hợp vệ sinh nữa. (Nói nhỏ với bạn là cậu ta nên đổi tên là Voi thì mới đúng, vì mỗi lần gọi Tí ơi thì thật vô lý với hình dáng Ông Huyện Hinh của bạn ấy! ). Sáng nay vừa vào quán đã thơm nức các món ăn bốc khói: có đến bốn loại xôi là xôi đỗ, xôi lạc, xôi gấc, xôi xéo. Có năm loại bún: là bún gà, bún bò, bún chân giò, bún đậu, bún ốc .Và có hai loại phở là phở bò và phở gà . Chỉ nhìn đã thấy thèm rồi các bạn ạ!. Món nào cũng ngon, nhưng mẹ chỉ cho đủ tiền ăn một món thôi, các bạn tính thử xem Voi, à quên, Tí có bao nhiêu cách để chọn một món ăn sáng (bạn mà nói đúng thì sáng mai tôi đãi luôn món phở tại quán Hải Xồm đó!). Chuyện nọ lại xọ sang chuyện kia, nói đến thằng Tí lại nhớ đến cái Tèo, bởi vì hình dáng một đứa như ông Huyện mà lúc nãy tớ vừa nói rồi đấy, còn một đứa thì như Lão Hạc, gầy đến rơi xương ra được. Bởi vì một đứa có tâm hồn ăn uống cao độ còn một đứa lại có khát vọng quần áo đến tột cùng. Nói các bạn biết chứ, cái Tèo có đến 5 bộ cánh xịn, 4 quần “jin” (toàn loại mà không dám mặc đi học thôi, vì  sợ thầy Tính bắt) , còn “bốt” thì có hai đôi-đúng phong cách “teen con VIP”. Hôm nay, lớp tổ chức đi chơi-một cơ hội được diện rồi đây, Tèo cần chọn một bộ trang phục gồm dày, áo, quần. Không biết Tèo có bao nhiêu cách chọn một bộ trang phục nhỉ? Các bạn hãy nhận xét lời giải mà tớ vừa nhận được nhé:
 Với Tí : có 4 cách chọn món xôi. Có 5 cách chọn món bún và có 2 cách chọn món phở. Như vậy Tí có 4+5+2=11 cách chọn một món để ăn sáng. 
 Với Tèo: có 2 cách chọn dày, áo có 5 cách chọn, còn quần thì có 4 cách chon. Vậy Tèo có 2.5.4=40 cách chọn một bộ trang phục! (Tức là chỉ cần với những chiếc dày đó, áo và quần đó bạn Tèo có thể đi chơi liên tục 1 tháng 10 ngày mà trang phục không giống hôm trước (tránh đụng hàng mà!))
 Tại sao số cách chọn món ăn thì cộng, còn số cách chọn bộ trang phục thì lại nhân nhỉ? Nào chúng mình cùng đi hỏi Giáo sư (nói như thế là để cho nó trang trọng và thêm phần tin tưởng thôi).
 Giáo sư trả lời: Mục đích của Tí là đi ăn một món ăn để no bụng. Tí có thể ăn phở hay xôi hoặc là bún , thì mục đích vẫn đạt được (tức là không cần ăn cả 3 món). Còn Tèo mục đích là chọn một bộ trang phục, ta giả sử bạn chỉ mới thực hiện hai trong ba việc là xỏ dày, mặc áo rồi đi ra đưòng các bạn thử nghỉ xem có được không (xấu hổ quá, có mà Ơ –RÊ _CA, ha ha ha .!...?.) Tèo bắt buộc phải có đủ quần, áo, dày thì mục đích chọn một bộ trang phục mới đạt được. Ngưòi ta gọi quy tắc thứ nhất để đếm số cách chọn món ăn là quy tắc cộng (làm giữa chừng vẫn đạt được mục đích), và quy tắc thứ hai để đếm số cách chọn bộ trang phục là quy tắc nhân (làm từ đầu đến cuối mới đạt được mục đích), còn chúng ta cứ thống nhất với nhau gọi là “quy tắc ĂN-MẶC” cho nó vần các bạn nhỉ?
2) “Ghế ngồi vào người”: Các bạn đều biết chúng ta ngồi vào ghế để cho các cách xếp chỗ ngồi khác nhau, tức là người di động còn ghế thì đứng yên. Trong toán học để tính số cách sắp xếp người lên ghế ta có thể coi người đứng yên và các ghế được thay đổi vị trí cho nhau cũng được (vậy là ghế ngồi vào người). Bài toán tương tự là cắm hoa vào lọ hoặc cắm lọ vào hoa cũng thế hay là dán tem vào bì thư hoặc bì thư được dán vào tem cũng thế. Các bài toán này chúng ta thường không để ý hai điểm mấu chốt quan trọng sau đây:a) người phải khác nhau, ghế phải khác nhau; b) Khi sắp xếp , chỉ một đối tượng thay đổi vị trí, đối tượng còn lại phải đứng yên (VD: người phải đứng yên và ghế di chuyển.). Không được vừa người vừa ghế di chuyển vì lúc đó cách xếp sẽ trùng nhau. Khi đã thống nhất với nhau 2 điều đó rồi chúng ta đi đến bài toán sau.
 Có bao nhiêu cách xếp n người xếp vào một bàn tròn. Biết các vị trí khác nhau trong một bàn tròn là như nhau. Có bạn nói có n! cách xếp vị trí (Sai). Đáp số có (n-1)! cách xếp. Tại sao?: n người hiển nhiên khác nhau, nhưng n vị trí thì không khác nhau trong bàn tròn. Các sách đều nêu chọn một người danh dự để xếp đầu tiên, xem ra hơi gò ép và không tự nhiên. Bây giờ ta cho người đứng yên, còn ghế thay đổi. 
Chọn 1 trong n ghế xếp cho 1 người , có n cách chọn ghế, nhưng vì các ghế là như nhau nên chỉ coi như có 1 cách chọn mà thôi. Sau khi người đó ngồi rồi thì các ghế lúc đó không giống nhau nữa (Tại sao? Bởi ngồi gần hay xa người ngồi đầu tiên sẽ khác nhau). Lúc đó có n-1 ghế khác nhau và n-1 người nên có (n-1)! cách xếp . Theo quy tắc nhân có 1.(n-1)! cách xếp.
 Vậy một trong hai nhóm đối tượng giống nhau thì có bao cách xếp vị trí? Như có n hoa khác nhau cắm vào n lọ giống y như nhau, hỏi có bao nhiêu cách cắm? Ta cho hoa đứng yên, còn lọ thay đổi. Chọn 1 trong n lọ để đặt vào 1 bông hoa có n cách chọn lọ, nhưng vì các lọ giống nhau nên coi như có một cách chọn. Cứ như vậy theo quy tắc nhân có n số 1 nhân với nhau. Đáp số có 1 cách.
3) Số hạng tổng quát của số hạng tổng quát: 
 Trong khai triển nhị thức Niu-tơn , các số hạng đều có dạng , với số hạng đầu tiên ứng với k=0, còn số hạng cuối cùng ứng với k=n,nên số hạng trên được gọi là số hạng tổng quát. Điều đó cũng tự nhiên như trẻ con lớp mẫu giáo hay hoạ sĩ vẽ người đều có công thức tổng quát là: đầu, thân, tứ chi, nhưng hình người ứng với trẻ con vẽ khác với hình người do hoạ sĩ vẽ ra. Ta giả sử trong số hạng tổng quát cũng là nhị thức, nên sẽ có số hạng tổng quát của số hạng tổng quát. Trên quan điểm đó chúng ta cùng giải bài sau:
Tìm hệ số của x8 trong khai triển . Ta có số hạng tổng quát là mà với (1-x)k có số hạng tổng quát là . Nói tóm lại số hạng tổng quát có thể viết dưới dạng: với theo bài cần tìm hệ số của x8 nên: 2k+k’=8 ta chọn k=3, k’=2 hoặc k=4, k’=0. Từ đó, ghép hai số hạng cùng chứa x8 lại ta có hệ số là 168+70=238
4)Bil- ghết hết tiền nếu bạn trúng đề vào ngày 100!
Nếu bạn trồng lúa trên cánh đồng của bạn thì bạn sẽ thu hoạch được thóc, nếu bạn muốn thu hoạch đượng ngô thì hãy trồng ngô, và muốn ra đê mà ở thì hãy đánh đề. Bởi vì nhân nào thì quả ấy, ước của nào trời trao của ấy. Bạn hãy hành động và bạn sẽ có kết quả tương ứng. Hành động chính là phép thử (T) và kết quả là không gian mẫu( ).
Nếu bạn ngỏ lời : “ iu -Ai no ve diu” đừng tưởng lúc nào cũng được đồng ý, mà có lúc lại được trả lời: “ Em còn bé lắm anh ơi!”.các kết quả sau hành động “chót dại”ngỏ lời thì nhiều lắm, nhưng chúng ta vẫn ôm ấp hy vọng mong manh rằng nàng sẽ đồng ý. Việc đồng ý là biến cố, nó là một tập con của không gian mẫu – các câu trả lời của nàng sau hành động ngỏ lời của ta.
Tạo một số có hai chữ số: hành động này là một phép thử, xác định bởi động từ “tạo”. Sau hành động này sẽ có thể xảy ra 100 số có hai chữ số là 00, 01, , 98, 99. Như vậy số phần tử của tập kết quả (không gian mẫu) là n=100. Giả sử ta chọn số 12, (). Thì khả năng xảy ra số tạo thành 12 là 1%. Tức là bạn đánh đề 100 ngày thì mới trúng một lần (mỗi ngày đánh một con, và 100 ngày chỉ là sự bình quân thôi) thì bạn lỗ rồi. Có bạn lý luận: Hôm nay tôi đánh 2000 đồng, hôm sau tôi tăng gấp đôi số tiền ngày hôm trước thế thì tôi sẽ thắng lớn! Tức là tỷ phú sau 100 ngày! Các bạn hãy tính số tiền cần phải đánh đến ngày 100: U1 = 2000, n=100, q =2
Suy ra 
Gần nghìn tỷ. Bạn lấy đâu ra số tiền lớn như thế để đánh!
Và tôi lo rằng chúng ta có trúng thì Bil - ghết cũng chẳng có tiền trả bạn đâu.