Tích phân & ứng dụng - Phan Anh Tuyến

 x dx M b a 
B. BÀI TẬP 
1. Dạng 1. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN 
1 .Tìm các tích phân sau 
 a. − +∫
3
2
2
1
1
2 5 2
dx
x x
 b. − − +∫
5
3 2
3
1 2 1
( 5)dx
xx x
 c. −∫
1
2 3
0
( 1)x x dx d. +∫
1 3
0 3
x
dx
x
2 .Tìm các tích phân sau 
 a. + −∫2 3
1
( 2 )x x x x dx b. − + +∫2
1
( 1)( 1)x x x dx c. 
+ − −∫
3
2
1
1 1
dx
x x
 d. 
− +∫3 23
2
x x x x
dx
x
3 .Tìm các tích phân sau 
 a. −∫3
0
2x dx b.
−
+∫2 2
2
x x dx c. 
π
−∫2
0
1 cos2xdx d.
0
cos .x dx
π∫ 
2 Gv: Phan Anh Tuyến 
4 .Tìm các tích phân sau 
 a. 
2
2
0
cos .x dx
π
∫ b. 2 2
0
tan .x dx
π
∫ c.
π
∫4
0
sin 3 .sin 5xx dx d.
4
2 2
3
1
.
sin .cos
dx
x x
π
π∫ 
 e. 
4
2 2
3
cos2
.
sin .cos
x
dx
x x
π
π∫ f. 
2
0
cos cos2 cos 3x x xdx
π
∫ g. 2
0
sin .cos ( , , )px qxdx p q p q
π
≠ ∈ ∈∫   
2. Dạng 2. TÌM TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 
A.LÝ THUYẾT 
Phương pháp 
Loại 1: [ ( )] '( )= ∫b
a
I f x x dxϕ ϕ (1) 
 • Đặt t=ϕ (x)⇒dt=ϕ ’(x).dx 
 • Đổi cận x = a thì t = ϕ (a) 
 x = b thì t = ϕ (b) 
 • Khi đó 
ϕ
ϕ
= ∫
( )
( )
( )
b
a
I f t dt 
Loại 2: ( )= ∫b
a
I f x dx (1) 
 • Đặt x=ϕ (t)⇒dx=ϕ ’(t).dt 
 • Đổi cận x = a thì t =α 
 x = b thì t =β 
 • Khi đó ( ( )) '( )= ∫I f t t dt
β
α
ϕ ϕ 
(x=ϕ (t) có đạo hàm và liên tục trên ;⎡ ⎤⎣ ⎦α β sao 
cho ( ), ( ), ( ) ;⎡ ⎤= = ≤ ≤ ∀ ∈ ⎣ ⎦a b a t b tϕ α ϕ β ϕ α β ) 
B. BÀI TẬP 
1 . Tìm các tích phân sau 
 a. 
π
π−
∫4
4
tanxdx b. 
π
∫2 4
0
cos sinx xdx c. 
+∫ 2
1
(2 ln 1)e x
dx
x
 d.
π +
−∫0
sin 2 cos
2 sin cos
x x
dx
x x
2 . Tìm các tích phân sau 
 a. +∫1 4
0
(3 1)x dx b. 
− +∫
0
2
1 1
x
dx
x
 c. ( )+∫
1
2010
0
.
1
x dx
x
 d. 
41
0
1
.
1
x
dx
x
+
+∫ 
3 . Tìm các tích phân sau 
 a. 
−
+∫0 2
1
3x x dx b. ( )1 2
0
1 2 4.x x x dx+ + +∫ c. 8
0 25 3
dx
x+∫ d. − +∫
0
3 2
1
3x x dx 
4 . Tìm các tích phân sau 
 a. 
− +
+∫
1
0
ln(1 )
1
e x
dx
x
 b. 
+∫
1
(2 ln )e x
dx
x
 c. 
+∫
2
1 ln
e
e
dx
x x
 d. ∫
2
ln
e
e
dx
x x
 e. 
+
−−∫
1
2
0
1 3
ln
39
x
dx
xx
 f. ∫
2
ln . ln(ln )
e
e
dx
x x x
 g. ∫
2
1
lne xdx
x
 h. 
π
∫
2
1
sin(ln )e x
dx
x
Trường THPT Võ Trường Toản 3 
5 . Tìm các tích phân sau 
 a. +∫
ln2
2
0 ( 1)
x
x
e
dx
e
 b. 
tan4
2
0
.
cos
xe
dx
x
π
∫ c. 
π
∫2 cos
0
.sinxe xdx d. 
+∫
ln 8
ln 3 1
x
x
e
dx
e
6 . Tìm các tích phân sau 
 a. 
π
+∫2
0
1 cos .sinx xdx b. 
π
∫3 3
0
sin
cos
x
dx
x
 c. 
4
2
0 cos 1 tan
dx
x x
π
+∫ d. 
π
∫4 2
0
tan x.dx
cos x
 e. ( )π
π
−∫2 2
6
1 cos
.
sin
x dx
x
 f. 
π
+∫4 2
0
1 sin2
cos
x
dx
x
 g. 
2
6
sin
dx
x
π
π∫ h. 
π
∫4 4
0 cos
dx
x
 k. 
π
∫2 3
0
sin2 .cosx xdx i. ( )4 3
0
tan tanx x dx
π
+∫ j*. 
π
+∫
2
0 1 sin
dx
x
 l*. 
π
+∫
2
0
sin
sin cos
x
dx
x x
7 . Tìm các tích phân sau 
 a. 
1
2 6
0
( 1)+∫x x dx b. 1 2 3
0 2 −∫
x
dx
x
 c. 
1 2
3
0
2
1 +∫
x
dx
x
 d. 3
1
2
1
−
−
∫ xx e dx 
 e. 
1
2
5
2 1−∫ x x dx f. 
1
3
0
2 1+∫ x dx g. 1
0 5 1+∫
x
dx
x
 h.
7/3
3
0
1
3 1
+
+∫
x
dx
x
8 . Tìm các tích phân sau 
 a. 
1
0
−
−
−
+∫
x x
x x
e e
dx
e e
 b. 
1
0
−+∫
x
x x
e
dx
e e
 c.
ln 3
0
−+∫ x xdxe e d. 
1
0
1
1+∫ x dxe 
9 . Tìm các tích phân sau 
 a. 
2
2
0
1
4+∫ dxx b. 
3
2
0
9+∫ x dx c. 
8
2
0
16 −∫ x dx d. 
3
2
0
4 −∫ x x dx 
10 *. Tìm các tích phân sau 
 a. 
4
0
ln(1 tan )+∫ x dx
π
 b. 
1
2
0
ln(1 )
1
+
+∫ x dxx c. 0 1 sin+∫
x
dx
x
π
 d. 
2
0
.sin
1 cos+∫ x x dxx
π
3. Dạng 3. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
A. LÝ THUYẾT 
1. Công thức tích phân từng phần : 
β β
βα
α α
= −∫ ∫udv uv vdu 
2. Các dạng thường gặp ( f(x) thường là đa thức biến x) 
 a. Dạng 1: 
( )
sin( )
( ). cos( ) .
+
⎡ ⎤+⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
	
ax b
H x
ax b
f x ax b dx
e
β
α
 Cách giải: Đặt 
( )
( )
⎧ =⎪⎨ =⎪⎩
u f x
dv H x dx
4 Gv: Phan Anh Tuyến 
 b. Dạng 2: ( ). ln( ).+∫ f x ax b dx
β
α
 Cách giải: Đặt 
ln( )
( )
⎧ = +⎪⎨ =⎪⎩
u ax b
dv f x dx
 c. Dạng 3: 
sin( )
. .
cos(
+ ⎡ ⎤+⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦∫
ax b
mx n
e dx
mx n
β
α
 Cách giải: Từng phần hai lần 
B. BÀI TẬP 
1 .Tính các tích phân sau 
 a. 
2
0
sin∫ x xdx
π
 b.
2
sin
0
( )cos+∫ xe x xdx
π
 c. 
1
(2 1)ln+∫e x xdx d.
1
ln∫e xdx `
 e. 
2
2
1
ln∫e xdx f. 
1
0
( 2)−∫ xx e dx g. 2
0
sin
π
∫ xe xdx h.
1
2
0
ln(1 )+∫ x x dx 
 k. 
3
2
2
ln( )−∫ x x dx l. 
1
2
0
ln(1 )+∫ x x dx m. 
1
(2 ln )−∫e x x dx n. 
1
3
( )ln−∫
e
x xdx
x
2 .Tính các tích phân sau 
 a. 
1 2
2
0 ( 2)+∫
xx e
dx
x
 b. 
4
2
0
. tan
π
∫ x xdx c. 2
0
sin . ln(1 cos )x x dx
π
+∫ d. 
1
sin(ln )
e
x dx∫ 
e. 
2
4
0
sin
π
∫ xdx f. 
2
4
0
.sin
π
∫ x xdx g. 
1
2
0
ln( 1 )x x dx+ +∫ h. 2 2
6
1
ln(sin )
sin
x dx
x
π
π∫
 k. 
1
ln∫e
e
xdx l. 
2
2
1 1
( )
ln ln
e
e
dx
x x
−∫ m. 2
0
sinxx e xdx
π∫ n. 2
3
sin
1 cos
x x
dx
x
π
π
+
+∫ 
4. Dạng 4. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: ( , ( ))= ∫b
a
I R x f x dx 
 A. LÝ THUYẾT 
• ,
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
a x
R x
a x
 Cách giải : đặt cos2 , 0;
2
⎡ ⎤= ∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦
x a t t
π
• ( )2 2, −R x a x Cách giải : đặt sin , ;2 2⎡ ⎤= ∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦x a t t π π 
• ,
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
n
ax b
R x
cx d
 Cách giải : đặt 
+= +
n
ax b
t
cx d
• ( )
2
1
, ( )
( )
=
+ + +
R x f x
ax b x xα β γ
 với 2 ( )+ + = +x x k ax bα β γ đặt 2= + +t x xα β γ 
• ( )2 2, +R x a x Cách giải : đặt tan , ;2 2⎛ ⎞= ∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠x a t t π π 
• ( )2 2, −R x x a Cách giải : đặt , 0; \cos 2⎧ ⎫⎡ ⎤= ∈ ⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎩ ⎭ax tt ππ 
Trường THPT Võ Trường Toản 5 
• ( )1 2, ,... in n nR x x x Cách giải : Gọi 1 2( , ,..., )= ik BCNN n n n đặt = kx t 
B. BÀI TẬP 
1 .Tính các tích phân sau 
a. 
3
2
0 9 −∫
dx
x
 b. 
0
2
1 3 2− − −∫
dx
x x
 c. 
2
2
0
4 −∫ x dx d. 1 2
0
6 3−∫ x dx 
2 .Tính các tích phân sau 
 a. 
1
0 2+∫
dx
x
 b. 
4
5
2
2 1
.
1
−
−
+
−∫ x dxx x c. 
2
2
1 1+∫
dx
x x
 d. 
1
2
2
0 ( 1) 4 3+ − +∫
dx
x x x
3 .Tính các tích phân sau 
a. 
1 2
3
0 2 1+ +∫
x dx
x
 b. 
4
3 2
3
2
4−∫ x dxx c. 
3 2
2
1
9 3+∫ x dxx d. 
0
2
2
2−
+
−∫ xdxx 
5. Dạng 5. TÍCH PHÂN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC 
A. LÝ THUYẾT 
 yXét (sin , cos )= ∫I R x x dx Trong đó: ( , )( , ) ( , )= PR Q α βα β α β là một hàm phân thức 
 - Nếu ( sin , cos ) (sin , cos )− = −R x x R x x thì đổi biến t = cosx 
 - Nếu (sin , cos ) (sin , cos )− = −R x x R x x thì đổi biến t = sinx 
- Nếu ( sin , cos ) (sin , cos )− − =R x x R x x thì đổi biến t = tanx 
- Nếu cả 3 cách trên đều không áp dụng được thì đổi biến tan
2
= xt 
yTrường hợp đặc biệt: sin .cos . ( , )= ∈ ∈∫ ] ]n mI x x dx m n 
 - Nếu n lẻ và m chẵn: đổi biến số t = cosx 
 - Nếu n chẵn và m lẻ: đổi biến số t = sinx 
 - Nếu n chẵn và m chẵn m.n < 0: đổi biến số t = tanx 
B. BÀI TẬP 
1 . Tính các tích phân sau 
 a. 
32
0
4 sin
1 cos+∫ xdxx
π
 b. 
2
3 2
0
sin .cos∫ x xdx
π
 c. 
4
0
sinx
5 cos2+∫ dxx
π
 d.
2
0
cos
1 sin+∫ x dxx
π
2 .Tính các tích phân sau 
a. 
3
4
1
s in2x∫ dx
π
π
 b. 
2
0
1
1 cos+∫ dxx
π
 c. ( )
12
2
0
1
os 3 1 tan 3+∫ dxc x x
π
 d. 
2
0
cos
7 cos2+∫
xdx
x
π
3 . Tính các tích phân sau 
 a.
6
2
0
1
1 2 sin+∫ dxx
π
 b. 
2
0
1
1 2 sin cos+ +∫ dxx x
π
 c.
2
3
2
cos cos
−
−∫ x xdx
π
π
 d.
2
4
4
1
sin∫ dxx
π
π
6 Gv: Phan Anh Tuyến 
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 
A. LÝ THUYẾT 
I. Diện tích 
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C): y = f(x), trục hoành và 2 đường thẳng x = a, x = b 
được tínhbởi công thức: ( )= ∫b
a
S f x dx , ≤a b (Chú ý: Xét dấu f(x) để tính tích phân 
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C):y = f(x), (C’):y = g(x) và 2 đường thẳng x = a, x= b 
được tínhbởi công thức: ( ) ( )= −∫b
a
S f x g x dx , ≤a b(Chú ý: Xét dấu f(x) – g(x) để tính tích phân 
II. Thể tích 
1.Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C): y = f(x), trục hoành và 
các đường: x = a, x = b ( ≤a b ) quanh trục Ox tính bởi công thức: 
2
( )⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫
b
a
V f x dxπ 
 2. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C): y = f(x), (C’): y =g(x) 
và các đường x = a; x = b ( ≤a b ) quanh trục Ox tính bởi công thức: 
 2 2( ) ( )⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫
b
a
V f x g x dxπ với ( ) ( ) 0, ;⎡ ⎤≥ ≥ ∀ ∈ ⎣ ⎦f x g x x a b 
B. BÀI TẬP 
I. DIỆN TÍCH 
1 . Tính diện tích hình phẳng H trong các trường hợp sau: 
 a. 
3 3 2
: 0
1, 2
⎧ = − +⎪ =⎨⎪ = =⎩
y x x
H y
x x
 b. 
3 3 2
: 0
1, 2
⎧ = − +⎪ =⎨⎪ = − =⎩
y x x
H y
x x
c. 
sin
: 0
0,
⎧ =⎪ =⎨⎪ = =⎩
y x
H y
x x π
 d. 
sin
: 0
/ 2,
⎧ =⎪ =⎨⎪ = =⎩
y x
H y
x xπ π
2 . Tính diện tích hình phẳng H trong các trường hợp sau: 
a. 
3 23
:
0
⎧ = −⎪⎨ =⎪⎩
y x x
H
y
 b. 
3 23
:
2
⎧ = −⎪⎨ = −⎪⎩
y x x
H
y
 c. 
3 23
:
3
⎧ = −⎪⎨ = −⎪⎩
y x x
H
y x
 d. 
2 2
:
4
⎧ = +⎪⎨ = − +⎪⎩
y x x
H
y x
3 . Tính diện tích hình phẳng H trong các trường hợp sau: 
Trường THPT Võ Trường Toản 7 
a. 
4 22 1
: 9
1
⎧ = − +⎪ =⎨⎪ =⎩
y x x
H y
x
 b.
−⎧ =⎪ +⎪ =⎨⎪ =⎪⎩
1
1
: 0
0
x
y
x
H y
x
 c.
⎧ = +⎪⎪ =⎨⎪ = −⎪⎩
3 23
: 0
2
y x x
H y
x
 d.
⎧ =⎪ =⎨⎪ =⎩
ln
: 0
y x
H y
x e
4 . Tính diện tích hình phẳng H trong các trường hợp sau: 
a. 
⎧ =⎪⎪ =⎨⎪ = =⎪⎩
: 0
0, 1
xy e
H y
x x
 b. 
⎧ =⎪⎪ =⎨⎪ = =⎪⎩
2
ln
: 0
,
y x
H y
x e x e
 c. 
⎧ =⎪⎪ =⎨⎪ =⎪⎩
2
ln
: 1
y x
H y
x e
 d. 
π
⎧ =⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ ≤ ≤⎪⎩
cos
1
:
2
0
3
y x
H y
x
5 *. Tính diện tích hình phẳng H trong các trường hợp sau: 
a. 
π
⎧ = +⎪⎪ =⎨⎪ = =⎪⎩
2sin
:
0,
y x x
H y x
x x
 b. 
⎧ =⎪⎪ = −⎨⎪ =⎪⎩
: 2
0
y x
H y x
y
 c. 
=⎧⎪⎨ = −⎪⎩
2
2 3
2
:
27 8( 1)
y x
H
y x
d. 
⎧ =⎪⎪ =⎨⎪ = =⎪⎩
ln
: 0
1/ ,
y x
H y
x e x e
. 
6 . Cho đường cong ( ) = − +3 2: 3 4C y x x x . 
a. Viết phương trình tiếp tuyến d của ( )C tại gốc tọa độ O. 
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ( )C và d 
II. THỂ