Tam thức bậc hai và các vấn đề liên quan - Huỳnh Thị Bích Liễu

hiệm : x1 =α < x2 ⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−
=
0
2
0)(
α
α
S
f
b/ f(x) có ít nhất nghiệm thuộc );( +∞α : có 3 trường hợp 
i) f(x) có nghiệm:x1 < α < x2 ⇔ af(α ) <0 
ii) f(x) có nghiệm : x1 =α < x2 ⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−
=
0
2
0)(
α
α
S
f
iii) f(x) có nghiệm : α < x1 ≤ x2 ⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−
>
≥Δ
0
2
0)(
0
α
α
S
af 
c/ f(x) có ít nhất nghiệm thuộc ];[ βα : có 3 trường hợp 
i) f(x) có nghiệm α hoặc β ⇔ f(α ) .f( β ) = 0 
ii) f(x) có một nghiệm thuộc );( βα và một nghiệm ngoài ];[ βα 
 ⇔ f(α ) .f( β ) < 0. 
iii) f(x) có các nghiệm: 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<−
>−
>
>
≥Δ
⇔<≤<
0
2
0
2
0)(
0)(
0
21
β
α
β
α
βα
S
S
af
af
xx 
Nhóm 1 – Toán 2006A TAM THỨC BẬC HAI 
 17  
d/ f(x) có ít nhất nghiệm thuộc );( βα : có 4 trường hợp 
i) f(x) cónghiệm α và nghiệm kia thuộc );( βα ⇔ ⎩⎨
⎧
<−<
=
βαα
α
S
f 0)(
ii) f(x) có nghiệm β và nghiệm kia thuộc );( βα ⇔ ⎩⎨
⎧
<−<
=
ββα
β
S
f 0)(
iii) f(x) có một nghiệm thuộc );( βα và một nghiệm ngoài ];[ βα 
 ⇔ f(α ) .f( β ) < 0. 
iv) f(x) có các nghiệm: 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<−
>−
>
>
≥Δ
⇔<≤<
0
2
0
2
0)(
0)(
0
21
β
α
β
α
βα
S
S
af
af
xx 
Ví dụ 1: 
Cho phương trình: f(x) = x2 –(m+2)x + 5m + 1 = 0. Tìm m sao cho: 
 a/ Phương trình chỉ có một nghiệm lớn hơn 1 
 b/ Phương trình có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1 
 c/ Phương trình có ít nhất một nghiệm có trị tuyệt đối lớn hơn 1. 
 d/ Phương trình chỉ có một nghiệm thuộc [0;1] 
 Giải: 
a/ Phương trình chỉ có một nghiệm lớn hơn 1: có 3 trường hợp 
i) x1 < 1 < x2 
⇔ af(1) <0 
⇔ 1.(1-(m+2).1+5m+1)<0 
⇔ 4m<0 
⇔ m<0 
ii) x1 = 1< x2 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−
=
01
2
S
0f(1)
 ⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−−
=
01
2a
b
04m
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−+−−
=
01
2.1
2)(m
0m
 ⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
=
0
2
m
0m
⇔ ⎩⎨
⎧
>
=
0m
0m
Suy ra không tồn tại giá trị m. 
iii) 1< x1 = x2 
Nhóm 1 – Toán 2006A TAM THỨC BẬC HAI 
 18  
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−
=
01
2
S
0Δ
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−+
=+−+
01
2
2m
01)4(5m2)(m 2
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
=−−++
0
2
m
0421m44mm2
⇔
⎩⎨
⎧
>
=−
0m
016mm2 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
⎢⎣
⎡
=
=
0m
16m
0m
⇔ m = 16 
Vậy: m < 0 ∨ m = 16. 
b/ Phương trình có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1: có 3 trường hợp 
i) x1 < 1 < x2 
⇔ af(1) <0 
⇔ 4m < 0 
⇔ m < 0 
ii) x1 =1< x2 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−
=
01
2
01
S
)f(
 ⇔ ⎩⎨
⎧
>
=
0m
0m
Suy ra không tồn tại giá trị m. 
iii) 1< x1 ≤ x2 
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−
>
≥
01
2
S
0af(1)
0Δ
 ⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
>
≥−
0m
0m
016mm2
 ⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
>
≥∨≤
0m
0m
16m0m
⇔ 16m ≥ 
Vậy: 16m0m ≥∨< 
c/ Phương trình có ít nhất một nghiệm có trị tuyệt đối lớn hơn 1: có 4 trường hợp 
 i) -1 = x1 < x2 < 1 
 ⇔ ⎩⎨
⎧
<−−<−
=−
11)(S1
01)f(
 ⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<+−<−
=+++−−
11
a
b1
015m2)(m1)( 2
Nhóm 1 – Toán 2006A TAM THỨC BẬC HAI 
 19  
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−<<−
−=
2m4
3
2m 
Suy ra không tồn tại giá trị m. 
 ii) -1 < x1 < x2 = 1 
 ⇔ ⎩⎨
⎧
<−<−
=
11S1
0f(1)
 ⇔ ⎩⎨
⎧
<+<−
=
11m1
04m
 ⇔ ⎩⎨
⎧
<<−
=
0m2
0m
Suy ra không tồn tại giá trị m. 
iii) f(x) có nghiệm thuộc (-1;1) và một nghiệm ngoài [-1;1] 
⇔ f(-1).f(1) < 0 
⇔ (6m + 4 ).(4m) < 0 
⇔ 0
3
2 <<− m 
 iv) 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<−
>−−
>
>−
≥
⇔<≤<−
01
2
S
01)(
2
S
0af(1)
01)af(
0Δ
1xx1 21 
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<−+−−
>++−−
>=
>+=−
≥−=
⇔
01
2
2)(m
01
2
2)(m
04m1.f(1)
046m1)1.f(
016mmΔ 2
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
<
−>
>
−>
≥∨≤
⇔
0m
4m
0m
3
2m
16m0m
Suy ra không tồn tại giá trị m. 
Vậy: 0m
3
2 <<− 
d/ Phương trình chỉ có1 nghiệm thuộc [0;1]: có 4 trường hợp 
i) f(x) có nghiệm x1 = 0, x2 ∉ [0;1] 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∉+=−=
=+=
[0;1]2m
a
bx
015mf(0)
2
 ⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∉=
−=
[0;1]
5
9x
5
1m
2
 ⇔ m = -5 
ii) f(x) có nghiệm x1 = 1, x2 ∉ [0;1] 
Nhóm 1 – Toán 2006A TAM THỨC BẬC HAI 
 20  
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∉+=−+=−−=
=
[0;1]1m12)(m1
a
bx
0f(1)
2
⇔
⎩⎨
⎧
∉+=
=+++−
[0;1]1mx
015m2).1(m(1)
2
2
 ⇔
⎩⎨
⎧
∉=
=
[0;1]1x
0m
2
⇔ m = 0 (loại) 
iii) f(x) có một nghiệm thuộc (0;1) và một nghiệm ngoài ]1;0[ ⇔ f(0).f(1) < 0 
⇔ (5m + 1 ).(4m) < 0 
⇔ 0m
5
1 <<− 
iv) f(x) có nghiệm kép thuộc [0;1] 
⇔ 1xx0 21 ≤=≤ 
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∉+=−==
=−=
[0;1]
2
2m
2a
bxx
016mmΔ
21
2
⇔ m = 0 
Vậy: 0m
5
1 ≤≤− . 
Ví dụ 2: 
Với những giá trị nào của p thì phương trình: 
0p1
x1
2px
x2x1
4x 2
242
2
=−+++++ (1) 
Có ít nhất một nghiệm thuộc [-1;1] 
Giải: 
(1) ⇔ 0p1
x1
2px
x2x1
4x 2
242
2
=−+++++ 
Đặt t = 2x1
2x
+ , điều kiện: 1t ≤ ( Bất đẳng thức Cauchy) 
Dấu “=” xảy ra khi x = ± 1 
Khi đó dẫn đến bài toán: Tìm p để phương trình: f(t) = t2 +pt + 1 – p2 = 0 có ít nhất 
một nghiệm thuộc [-1;1]. 
Có 4 trường hợp: 
i) f(t) có nghiệm là -1 
⇔ f(-1) = 2 – p – p2 = 0 
⇔ p = 1 ∨ p = -2 
 ii) f(t) có nghiệm là 1 
⇔ f(1) = 2 + p – p2 = 0 
⇔ p = -1 ∨ p =2 
Nhóm 1 – Toán 2006A TAM THỨC BẬC HAI 
 21  
iii) f(t) có nghiệm thuộc (-1;1) và một nghiệm ngoài [-1;1] 
⇔ f(-1).f(1) < 0 
⇔ (2 + p – p2)( 2 – p – p2 )< 0 
⇔ -2 < p < -1 ∨ 1 < p < 2 
 iv) f(t) có các nghiệm thuộc (-1;1) 
 1tt1 21 <≤<−⇔ 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<−=<−
>−−=−
>−+=
≥−=
⇔
1
2
P
2
S1
0pp21)f(
0pp2f(1)
045pΔ
2
2
2
 1p
5
2
5
2p1 <≤∨−≤<−⇔ 
 Vậy: 2p
5
2
5
2p2 ≤≤∨−≤≤− 
III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TAM THỨC BẬC HAI 
3.1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 
Trong mục này, ta áp dụng tính chất định tính và định hình của tam thức bậc hai để 
xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Cụ thể: 
Với hàm số ( )0acbxaxf(x) 2 >++= xét trên đoạn [ ]βα , . 
Muốn tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, ta cần phân biệt ba trường hợp: 
Trường hợp 1: Nếu hoành độ đỉnh của parapol [ ]βα,
2a
bx0 ∈−= thì: 
ƒ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là ( )0min xff = đạt được khi: 0xx = 
ƒ Giá trị lớn nhất của hàm số là ( ) ( ){ }.βf,αfmaxfmax = 
Trường hợp 2: Nếu hoành độ đỉnh của parapol βα
2a
bx0 <<−= thì: 
ƒ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là ( )αffmin = đạt được khi: αx = 
ƒ Giá trị lớn nhất của hàm số là ( )βffmax = đạt được khi: βx = 
Trường hợp 3: Nếu hoành độ đỉnh của parapol 
2a
bxβα 0
−=<< thì: 
ƒ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là ( )βffmin = đạt được khi: βx = 
ƒ Giá trị lớn nhất của hàm số là ( )αffmax = đạt được khi: αx = 
Với a<0 ta xét tương tự. 
Áp dụng: 
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: ( ) xxxf cos22cos −= 
Giải: 
Biến đổi hàm số về dạng: ( ) .12cosxx2cosxf 2 −−= 
Đặt t = cosx, điều kiện 1t ≤ , ta được: ( ) .12t2ttf 2 −−= 
Nhóm 1 – Toán 2006A TAM THỨC BẬC HAI 
 22  
Hoành độ đỉnh của parapol [ ]1,1
2
1t0 −∈= . 
Vậy, ta được: 
ƒ ( )
2
3
2
1ftff 0min
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛== đạt được khi: .2kπ
3
πx
2
1cosx +±=⇔= 
ƒ ( ) ( ){ } 31f,1fmaxfmax =−= đạt được khi: .2kππx1cosx +=⇔−= 
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của ( ) 24xxxf 24 ++= với .2x1 ≤≤− 
Giải: 
 Đặt 2xt = , điều kiện .4t1 ≤≤ 
 Ta được: ( ) 24tttf 2 ++= 
 Hoành độ đỉnh của parapol 2t 0 −= nằm ở bên trái [ ].1,4 
ƒ ( ) 71ffmin == đạt được khi .1x1x1t 2 ±=⇔=⇔= 
ƒ ( ) 344ffmax == đạt được khi .2x4x2t 2 ±=⇔=⇔= 
3.2 Giải bất phương trình bậc hai một ẩn: 
Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai một ẩn là bất phương trình dạng : 
ax2 + bx + c 0 hoặc ax2 + bx + c ≥ 0 ) 
trong đó a, b ,c là những số cho trước với a ≠ 0 ; x là ẩn số 
 Cách giải bất phương trình bậc hai 
 Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí dấu của tam thức bậc hai 
 Ví dụ: Giải bất phương trình (1) 0
149xx
149xx
2
2
≥++
+− 
Giải 
 Tam thức bậc hai x2 -9x + 14 có hai nghiệm phân biệt x = 2 ; x = 7.Tam thức bậc 
hai x2 +9x + 14 có hai nghiệm phân biệt x = -2 ; x = -7 .Ta lập bảng xét dấu của bất 
phương trình 
x -∞ -7 -2 2 7 +∞ 
x2 -9x + 14 + + + 0 - 0 + 
x2 +9x + 14 + 0 - 0 + + + 
Vế trái của (1) + - + 0 - 0 + 
 Từ bảng trên ta suy ra tập nghiệm của bất phương trình là: );7[]2;2()7;( +∞∪−∪−−∞ 
3.3 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với hàm số bậc ba: 
 3.3.1 Điều kiện để phương trình bậc ba có ba nghiệm phân biệt: 
™ Phương pháp: 
Phương trình bậc ba có thể nhóm thành tích f1(x).f2(x) = 0.để phương trình đã cho 
có ba nghiệm phân biệt thì một trong hai phương trình f1(x) = 0 hoặc f2(x) = 0 phải có 
hai nghiệm phân biệt khác nghiệm đơn đã biết. 
™ Ví dụ: 
Cho phương trình: (a – 1)x3 + ax2 + (a – 1)x = 0 (1) 
Tìm a để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt. 
Giải 
Nhóm 1 – Toán 2006A TAM THỨC BẬC HAI 
 23  
(1) ( ) ( )[ ] 01aaxx1ax 2 =−++−⇔ 
 ( ) ( )⎢⎣
⎡
=−++−=
=⇔
0(2)1aaxx1af(x)
0x
2 
Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có hai nghiệm 
phân biệt khác 0. 
Muốn vậy ta tìm a thỏa hệ điều kiện: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≠
≠−
0Δ
0f(0)
01a
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−+−
≠
≠
⇔
048a3a
1a
1a
2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<
≠
⇔
2a
3
2
1a
Vậy để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<
≠
2a
3
2
1a
3.3.2 Điều kiện để phương trình bậc ba có ba nghiệm trong đó có hai nghiệm 
phân biệt dương và một nghiệm âm hoặc hai nghiệm phân biệt âm và một nghiệm 
dương: 
™ Phương pháp: 
Khi phương trình y = 0 có nghiệm đặc biệt x = x0 
Ta viết phương trình dưới dạng: (x – x0)(Ax2 + Bx +C) = 0 
• Khi x0 > 0, để phương trình có: 
9 Hai nghiệm âm, một nghiệm dương thì phương trình Ax2 + Bx +C = 0 cần 
phải có hai nghiệm âm. 
9 Hai nghiệm dương, một nghiệm âm thì phương trình Ax2 + Bx +C = 0 cần 
phải có hai nghiệm trái dấu. 
• Khi x0 < 0, để phương trình có: 
9 Hai nghiệm âm, một nghiệm dương thì phương trình Ax2 + Bx +C = 0 cần 
phải có hai nghiệm trái dấu. 
9 Hai nghiệm dương, một nghiệm âm thì phương trình Ax2 + Bx +C = 0 cần 
phải có hai nghiệm dương. 
™ Ví dụ: 
Tìm m để phương trình: x3 – 4x2 +(m+1).x – (m – 2) = 0 (1) 
Có ba nghiệm phân biệt trong đó: 
a) Có