Tài liệu Ôn thi Tốt nghiệp và Đại học môn Toán - Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số các bài toán liên quan khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

số nghiệm phương trình: 4 2 32 0
2
m
x x- - = (1) 
5. Cho hàm số: 3 23y x x= - có đồ thị (C) 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
b. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 3 23 3 0x x m- + + = (1) 
II. Dạng 1: Tìm Điều kiện của tham số m để đồ thị hàm bậc ba: 3 2y ax bx cx d= + + + 
a. Có cực trị. 
b. Luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên ¡ 
 Phương pháp: 
a. Có cực trị. 
 + Tìm tập xác định: D = ¡ 
 + Tính: 2' 3 2y ax bx c= + + 
+ Hàm số có cực trị (cực đại và cực tiểu) khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt 
0y m¢ÛD > Þ cần tìm 
b. Luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên ¡ 
 + Tìm tập xác định: D = ¡ 
+ Tính: 2' 3 2y ax bx c= + + 
+ Hàm số đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi 0,y x¢³ " Ρ 
0
0
y
y
a
m
¢
¢
>ìïÛ ÞíD £ïî
 cần tìm 
 TRÖÔØNG THPT PHUØ ÑOÅNG Taøi lieäu OÂn thi TN vaø Ñaïi hoïc 
 Giaùo vieân: HOÀ COÂNG HIEÄP ÑT: 0902665662 15 
 + Hàm số nghịch biến trên ¡ khi và chỉ khi 0,y x¢£ " Ρ 
0
0
y
y
a
m
¢
¢
<ìïÛ ÞíD £ïî
 cần tìm 
 Ví dụ: Cho hàm số: 3 2 2 20091 ( 1) (3 4 1) 2010
3
y x m x m m x m= + - + - + + - với tham số m . Xác định m 
a. Hàm số có cực đại và cực tiểu. 
b. Hàm số luôn đồng biến trên ¡ 
Hướng dẫn: 
a. Hàm số có cực đại và cực tiểu. 
Tập xác định: D = ¡ 
 Ta có: 2 2' 2( 1) (3 4 1)y x m x m m= + - + - + 
Để hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt 
' 0ÛD > 2 2' ( 1) (3 4 1) 0m m mÛ D = - - - + > 22 2 0m mÛ- + > 0 1mÛ < < 
Vậy 0 1mÛ < < thì hàm số cực đại và cực tiểu. 
 b. Hàm số luôn đồng biến trên ¡ . 
Tập xác định: D = ¡ 
 Ta có: 2 2' 2( 1) (3 4 1)y x m x m m= + - + - + 
 Để hàm số đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi 0,y x¢³ " Ρ 
0
0
y
y
a ¢
¢
>ìïÛíD £ïî
2 2
1 0
' ( 1) (3 4 1) 0m m m
>ì
Ûí
D = - - - + £î
22 2 0m mÛ- + £ 0mÛ £ hoặc 1 m£ 
Vậy 0m £ , 1 m£ thì hàm số đồng biến trên ¡ . 
II. Dạng 2: Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm: ax by
cx d
+
=
+
 luôn đồng biến trên tập xác định. 
Phương pháp: 
a. Có cực trị. 
 + Tìm tập xác định: D = \ d
c
ì ü-í ý
î þ
¡ 
 + Tính 
( )2
'
ad bc
y
cx d
-
=
+
+ Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi 0,y x¢ > " ÎD mÞ cần tìm 
 + Hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định khi và chỉ khi 0,y x¢ < " ÎD mÞ cần tìm 
 TRÖÔØNG THPT PHUØ ÑOÅNG Taøi lieäu OÂn thi TN vaø Ñaïi hoïc 
 Giaùo vieân: HOÀ COÂNG HIEÄP ÑT: 0902665662 16 
Ví dụ: Cho hàm số: 
2 3 1
2 4
m x m
y
x
+ -
=
- -
. Xác định m hàm số luôn đồng biến trên tập xác định. 
Hướng dẫn: 
Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định. 
 Tập xác định: D = { }\ 2-¡ 
Ta có: 
( )
2
2
4 6 2
'
2 4
m m
y
x
- + -
=
- -
Để hàm số đồng biến trên tập xác định khi 0,y x¢> " Î D 
24 6 2 0m mÛ - + - > 
1
1
2
mÛ < < 
Vậy 1 1
2
m< < thì hàm số đồng biến trên tập xác định. 
Bài tập tự giải: 
1. Cho hàm số 3 2 2 41 ( 1) (7 9 2) 2
3
y x m x m m x m= - - + + + + + - . Xác định m 
a. Hàm số có cực đại và cực tiểu. 
b. Hàm số luôn nghịch biến trên ¡ 
 2. Cho hàm số: 3 1
2
x m
y
mx
- +
=
-
. Xác định m hàm số luôn đồng biến trên tập xác định. 
III. Tìm Điều kiện của tham số m để hàm số y = f(x): 
a. Đạt cực đại tại 0x x= 
b. Đạt cực tiểu tại 0x x= 
Phương pháp: 
a. Đạt cực đại tại: 0x x= 
 + Tính ' '( )y f x= 
 '' ''( )y f x= 
+ Hàm số đạt cực đại tại 0x x= 0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
m
f x
=ì
Û Þí <î
cần tìm 
b. Đạt cực tiểu tại: 0x x= 
 + Tính ' '( )y f x= 
 '' ''( )y f x= 
+ Hàm số đạt cực tiểu tại 0x x= 0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
m
f x
=ì
Û Þí >î
cần tìm 
 TRÖÔØNG THPT PHUØ ÑOÅNG Taøi lieäu OÂn thi TN vaø Ñaïi hoïc 
 Giaùo vieân: HOÀ COÂNG HIEÄP ÑT: 0902665662 17 
Ví dụ: Cho hàm số: 3 2 2( 1) (3 4 ) 9
3
m
y x m x m m x m= + - + - + - với tham số m . Xác định m để: 
a. Hàm số đạt cực đại tại 1x = 
b. Hàm số đạt cực tiểu tại 1x = 
Hướng dẫn: 
a. Hàm số có cực đại tại 1x = 
 Ta có: + 2 2' 2( 1) 3 4y mx m x m m= + - + - 
 + '' 2 2( 1)y mx m= + - 
 Để hàm số đạt cực đại tại 1x = 
 khi và chì khi 
'(1) 0
''(1) 0
y
y
=ì
í <î
23 2 0
4 2 0
m m
m
ì - - =
Ûí
- <î
2
1
3
1
2
m m
m
-ì = Ú =ïïÛí
ï <
ïî
2
3
m
-
Û = 
 Vậy 2
3
m
-
= thì hàm số đạt cực đại tại 1x = 
b. Hàm số đạt cực tiểu tại 1x = 
 Ta có: + 2 2' 2( 1) 3 4y mx m x m m= + - + - 
 + '' 2 2( 1)y mx m= + - 
 Để hàm số đạt cực tiểu tại 1x = 
 khi và chì khi 
'(1) 0
''(1) 0
y
y
=ì
í >î
23 2 0
4 2 0
m m
m
ì - - =
Ûí
- >î
2
1
3
1
2
m m
m
-ì = Ú =ïïÛí
ï >
ïî
1mÛ = 
 Vậy 1m = thì hàm số đạt cực tiểu tại 1x = 
IV. Viết phương trình tiếp của đồ thị hàm số 
1. Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) tại điểm 0 0 0( ; ) ( )M x y CÎ 
 Phương pháp: 
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại 0 0( ; )M x y 
 + Tính ' '( )y f x= 
 + Hệ số góc: 0'( )k f x= 
Suy ra : Phương trình tiếp tuyến: 0 0( )y k x x y= - + 
(C): y = f(x) 
0x
x
0y
y
0M D
 TRÖÔØNG THPT PHUØ ÑOÅNG Taøi lieäu OÂn thi TN vaø Ñaïi hoïc 
 Giaùo vieân: HOÀ COÂNG HIEÄP ÑT: 0902665662 18 
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số 3 3 1y x x= - + tại điểm (0;1)M 
 Ta có: 2' '( ) 3 3y f x x= = - 
 Do đó hệ số góc: '(0) 3k f= = - 
Suy ra : Phương trình tiếp tuyến: 3( 0) 1 3 1y x y x= - - + Û = - + 
2. Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước 
Phương pháp: 
Phương trình tiếp tuyến với (C) biết trước k 
+ Gọi 0 0( ; ) ( )M x y CÎ là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) 
 + Tìm 0x bằng cách giải phương trình : ' 0( )f x k= , suy ra 0 0( )y f x= =? 
Suy ra : Phương trình tiếp tuyến: 0 0( )y k x x y= - + 
Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp tuyến song song, tiếp tuyến vuông 
góc với một đường thẳng cho trước . 
Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau: 
 Định lý Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng 1 2( ) va ø ( )D D . 
Khi đó: 1 2
1 2
1 2
1 2
// k k
 k . k 1
D D
D D
D D Û =
D ^ D Û = -
Ví dụ: Cho đường cong (C): 3 23 2 5y x x x= + - - 
 Viết phương trình tiếp tuyến ( )D với (C), biết tiếp tuyến ( )D //(d): 7 2y x= + 
 Hướng dẫn: 
Do tiếp tuyến ( )D //(d), suy ra ( )D có hệ số góc 7k = 
Gọi 0 0( ; ) ( )M x y CÎ là tiếp điểm của tiếp tuyến ( )D với (C) 
Do đó 0x là nghiệm phương trình: 020 0
0
1
3 6 2 7
3
x
x x
x
=é
+ - = Û ê = -ë
+ Với 0 01 3x y= Þ = - 
 Phương trình tiếp tuyến là: 7( 1) 3 7 10y x y x= - - Û = - 
+ Với 0 03 1x y= - Þ = 
 Phương trình tiếp tuyến là: 7( 3) 1 7 22y x y x= + + Û = + 
(C): y = f(x) 
0x
x
0y
y
0M D
(C): y=f(x) 
D
x
y
ak /1-=
O
baxy +=D :2
(C): y=f(x) 
x
y
ak =
baxy +=
1D
2D
 TRÖÔØNG THPT PHUØ ÑOÅNG Taøi lieäu OÂn thi TN vaø Ñaïi hoïc 
 Giaùo vieân: HOÀ COÂNG HIEÄP ÑT: 0902665662 19 
Bài tập tự giải: 
1. Cho đường cong (C): 4
1
x
y
x
+
=
+
 . 
Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) biết tiếp tuyến (d) song song với ( ) : 3 2009y xD = - + 
2. Cho đường cong (C): 1
2
x
y
x
-
=
+
 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với 1( ) : 2010
3
y xD = - - 
3. Cho hàm số 3
1
x
y
x
+
=
+
 (C) 
Tìm trên đồ thị (C) các điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với 1( ) : 2009
8
d y x= + 
4. Cho hàm số 
3
1
23
1 23 ++= x
m
xy (Cm) 
Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng 1- . Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường 
thẳng: 5 0x y- = . 
5. Cho hàm số: 3 3 5y x x= - + có đồ thị (C). Viết pt tiếp tuyến với (C) tại điểm M(1; 3). 
6. Cho hàm số: 4 22 3y x x= - + + có đồ thị (C). Viết pt tiếp tuyến với (C) tại (2; 5)M - 
7. Cho hàm số:
4
2 3
2 2
x
y x= - - + có đồ thị (C). Viết pt tiếp tuyến với (C) tại M(1, 0) 
8. Cho hàm số: 4 21 33
2 2
y x x= - + có đồ thị (C). Viết pt tiếp tuyến với (C) tại (1; 2)M - 
9. Cho hàm số: 3 23y x x= - có đồ thị (C). Viết pt tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm của (C) với trục Ox. 
10. Cho hàm số: 3 23 2y x x= - + - có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(2, 2) 
11. Cho hàm số: 1 2
2 4
x
y
x
-
=
-
 có đồ thị (C). Viết pttt với (C) tại giao điểm của (C) với trục Ox. 
12. Cho hàm số: 5
1
x
y
x
-
=
-
 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục Oy. 
13. Cho đường cong (C): 
2 5 4
2
x x
y
x
- +
=
-
 . 
Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) biết tiếp tuyến (d) song song với ( ) : 3 2006y xD = + 
 (TN BAN KHTN – 2006 )
14. Cho hàm số: 2 3
1
x
y
x
+
=
+
 có đồ thị (C). 
Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) tại điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ 0 3x = . 
 (TN BAN KHXH & NV – 2006 )
15. Cho hàm số: 1
2
x
y
x
-
=
+
 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. 
 (TN – 2007 L2 )
16. Cho hàm số: 3 2
1
x
y
x
-
=
+
 có đồ thị (C). 
 TRÖÔØNG THPT PHUØ ÑOÅNG Taøi lieäu OÂn thi TN vaø Ñaïi hoïc 
 Giaùo vieân: HOÀ COÂNG HIEÄP ÑT: 0902665662 20 
Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) tại điểm thuộc đồ thị (C) có tung độ 0 2y = - . 
(TN – 2008 L2
17. Cho hàm số: 3 2
1
x
y
x
-
=
+
 có đồ thị (C). 
Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) tại điểm thuộc đồ thị (C) có tung độ 0 2y = - . 
 (TN – 2008 L2 )
17. Cho hàm số: 2 1
2
x
y
x
+
=
-
 có đồ thị (C). 
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5- . 
(TN – 2009
18. Cho hàm số: 2
1
x
y
x
=
+
 có đồ thị (C). Tìm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C ) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B
và tam giác OAB có diện tích bằng 1
4
 (ĐH Khối D – 2007)
V. Sự tương giao giữa đường thẳng y = px + q và đồ thị hàm số y = f(x) 
3.1: Cách giải: 
Số giao điểm của đường thẳng y = px + q với đồ thị hàm số y = f(x) là số nghiệm của phương trình hoành 
độ giao điểm: f(x) = px + q (1) 
Như vậy để xét sự tương giao của đường thẳng và đồ thị hàm số ta giải và biện luận phương trình (1). 
Dựa và số nghiệm của phương trình (1) ta kết