Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT và Đại học, Cao đẳng - Lưu Phi Hoàng

	+ Với 0 < a <1 thì: 
Ÿ Quy tắc tính: 	; 	;
	;	
Ÿ Công thức đổi cơ số:	hay 	
	 	hay 	;	
Ÿ Chú ý: 	Lôgarit thập phân (cơ số 10) kí hiệu là: logx hoặc lgx, Lôgarit cơ số e kí hiệu là lnx
Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1) Hàm số mũ y = ax: 	Ÿ TXĐ: ¡ ; y = ax > 0 với mọi x.
Ÿ Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1; nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1.
2) Dạng cơ bản: 
Dạng 1:Phương pháp Đưa về cùng cơ số 
 1.Biến đổi đưa về dạng : 
Chú ý đến các công thức sau:
Ví dụ 1) ; 2) ; 3) ; 4) 
1) pt ÛÛ x2 + 3x – 2 = −2 Û x2 + 3x = 0 Û x = 0 Ú x = − 3
2) pt ÛÛ Û x2 – 3x + 2 = 0 Û x = 1 Ú x = 2
3) pt Û
4)
3.Biến đổi về dạng Phương Trình Tích: A(x).B(x)=0
2.Biến đổi về dạng : 	 
Dạng 2. đặt ẩn phụ 	(Đưa phương trình về dạng phương trình bậc 2,3)
1.Biến đổi đưa phương trình về dạng: 
Cách giải: B1: đặt 	ĐK 
	 B2: Phương trình trở thành 
2.Biến đổi đưa về dạng: 
Cách Giải: B1: đặt ĐK 
	 B2	 Phương trình trở thành 
Ví dụ 1) ; 2) ; 3) 
1) pt Û (*)
Đặt t = 3x > 0 ta có phương trình (*) Û 6561t2 – 972t + 27 = 0 Û 
Với 	; Với 
2) pt Û (*). Đặt ; (*)
Với t = 5 Û 5x = 5 Û x = 1. Vậy phương trình có nghiệm: x = 1.
3) pt Û (*)
Đặt . Pt (*)
Với 	; Vậy phương trình có nghiệm: 
Bài tập: (TNBTT2010) giải : 9x – 3x – 6 = 0. (TNBTT2007) 
 a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12	b) 92x +4 − 4.32x + 5 + 27 = 0 c) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0 
d) e) 	 f) 
g) 	 i) 
Dạng 3. Logarit hóạ 
1.phương pháp lấy logarit hai vế với cơ số thích hợp
Dạng Tổng Quát: 
Cách Giải: Lấy logarit hai vế ta có
 a) 2x − 2 = 3	b) 3x + 1 = 5x – 2	 c) 3x – 3 = 
d) 	 e) f) 52x + 1− 7x + 1 = 52x + 7x
Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu a) 3x + 4 x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) 1 + 3x/2 = 2x
Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
¯ Hàm số: y = logax có tập xác định D = (0 ; +∞); . Tập giá trị: ¡ 
¯ Tính chất: Hàm số đồng biến nếu a > 1; nghịch biến nếu 0 < a < 1
¯ Phương trình và bất phương trình cơ bản:
ŸŸ
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số 
Các kiến thức cần nhớ:
Dạng 1: Biến đổi về dạng 
a) ; 
b) 	c) 
d) 	e) log4x + log2x + 2log16x = 5	
f) 	g) log3x = log9(4x + 5) + .
KQ: a) 1;	 b) −1; 	c); 	d) Æ; 	e);	 f) 3; 	g)
Dạng 2. đặt ẩn phụ (TNTHPT 2010) giải : 
 h) 	i) 	
j) 	k) 
l) 	m) 	
n) log3(3x – 8) = 2 – x	o) 	p) 
KQ: h) ; i) ; j) 2; 3; k) e; e2; l) ; m) 3; 81; n) 2; o) 0; −1; p) 4.
Dạng 3 mũ hóa a) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 − x)	b) log3(3x – 8) = 2 – x
Bất phương trình mũ  a) b) c) 
d) 	e) 16x – 4 ≥ 8	 	 f) 52x + 2 > 3. 5x g) (1/2) 2x − 3≤ 3
‚ a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17	 b) 52x – 3 – 2.5x −2 ≤ 3	 c) 
d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x 	 e) 2. 16x – 24x – 42x – 2 ≤ 15 	 f) 4x +1 −16x ≥ 2log48 
 Bất phương trình logarit
 a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4 c) log2( x2 – 4x – 5) < 4
d) log ½ (log3x) ≥ 0 	 e) 2log8(x− 2) – log8( x− 3) > 2/3 f) log2x(x2 −5x + 6) < 1 
g) h) 	 k) 
Bảng đạo hàm:
Ÿ Ÿ 
Ÿ Ÿ 
Ÿ Ÿ
Ÿ Ÿ
 Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = sin2x biết F() = 0.Đáp số : F(x) = 
‚ CM: F(x) = ln là 1 nguyên hàm của f(x) =. Hd: Cm F /(x) = f(x)
Vấn đề 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số:
Bài toán : Tính 
Nếu
Hàm có đạo hàm liên tục trên đoạn 
Hàm hợp được xác định trên. 
thì 
Ví dụ:  Tính tích phân sau:
a) b) 
Hướng dẫn giải:
a) Đặt       :   Đổi cận   
b)  Đặt  
 Đổi cận: 
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:
a) b) 
Hướng dẫn giải:   a)
Đặt Đổi cận: 
b)  Đặt Ta có 
Chú ý:
Trong thực tế chúng ta thường gặp những dạng tích phân trên dưới dạng tổng quát.
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng
(Trong đó a là hằng số dương) mà không có cách biến đổi nào khác thì ta biến đỏi sang dạng lượng giác để làm mất căn thức , Cụ thể :
Với: đặt      hoặc 
Với đặt hoặc 
 * Với đặt   hoặc 
Bài tập vận dụng:
Tính các tích phân sau:
a)             b)  
c)                 d) d) 
Phương pháp tích phân từng phần
Nếu và có đạo hàm liên tục trên đoạn thì: 
 hay 
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
Hướng dẫn :
 Đặt : 
 Chú ý : Có ba dạng tích phân thường áp dụng tích phân từng phần.
Nếu tính tích phân mà là các đa thức còn là một trong các hàm số 
Đặt : 
Nếu tính tích phân mà là các đa thức còn là hàm số 
 Đặt : 
Nếu tính tích phân hoặc 
 Đặt : Hoặc đặt 
Trong trường hợp này ta phải tích tích phân hai lần sau đó trở lại tích phân ban đầu.Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.
ƒ Tính các tích phân sau :	1/.; Đáp số : 
2/. ; Đáp số : 	3/. ; Đáp số : 	
4/. ; Đáp số : 9/28	5/. Đáp số 
„Tính các tích phân sau :	1/. 	; Đáp số :	
2/. ; Đáp số :	3/. 	; Đáp số :	
4/. ; Đáp số :8/15	5/. ; Đáp số :2/63	
6/. ; Đáp số :ln2	7/. 	; Đáp số :
… Tính các tích phân sau :	1/. ; Đáp số :e−1	
2/. ; Đáp số :	3/. ; Đáp số :2e2 – 2e	
4/. ; Đáp số :	5/. ; Đáp số :
6/. ; Đáp số :−1	7/. ; Đáp số : 
8/. ; Đáp số :	9/. ; Đáp số :2ln2−1
10/. ; Đs: 11/. ; Đáp số :
12/. ; Đáp số :	13/. ; Đáp số :0
14/. ; Đáp số :	15/. ; Đáp số :1/2
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
I) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : 
a) y = x2 − 3x + 2 ; y = x −1; x = 0 ; x = 2. 	ĐS: 2
b) y = x.ex ; x = 1 ; y = 0.	 	ĐS: S= 1
c) y = sin2x + x ; y = x; x = 0; x = π . 	ĐS: S= 
d) y2 = 2x và y = 2x −2 .	 	ĐS : S= 
e) đồ thị hàm số y = và đường thẳng y = 0.	ĐS: S = 63 −16 ln 8
f) y2 = 2x +1 và y = x – 1.	ĐS: 16/ 3
g) (P): y = – x2 + 4x và trục Ox. 	ĐS:S = đvdt
h) (P): y = – x2 và y = – x – 2 .	ĐS:S = đvdt
i) (C): y = 5x4 – 3x2 – 8; trục Ox trên [1; 3]	ĐS: S = 200 đvdt
II)Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Ox của hình giới hạn bởi :
a) (C): y= ; các trục toạ độ .	ĐS : V= ( 3− 4 ln2 )
b) (P): y 2 = 8x và x = 2	ĐS : 16 đvtt
c) y = x2 và y = 3x	ĐS : đvtt	
d) y = ; y = 0; x = 0; x =	ĐS : đvtt
ƒ Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Oy của hình giới hạn bởi Parabol và trục Oy
Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân:
(2001 – 2002 ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 2x +1 và y = x −1 
(2002 – 2003) 1.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số y = ; biết F(1) = 
2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= và trục Ox. 
HD: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 
và y = 0 là = 0 Û x = –1; x = 6. vì £ 0 "xÎ . 
Do đó S = = (đvdt)
(TNTHPT năm 2003 – 2004 ) Cho hàm số y = x3 – x2 (C). Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường y = 0; x =0; x = 3 quay quanh trục Ox. 
HD: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = ; y = 0
là = 0 Û x = 0; x = 3. Ta có: V = . 
V = (đvtt)
(TNTHPT năm 2004 – 2005) Tính tích phân: I = 	 
Hướng dẫn: I = .
Ÿ Tính J: Đặt u = x Þ du = dx; dv = cosx dx Þ v = sinx 
Ÿ Tính K: Đặt t = sinx Þ dt = cosxdx. 
Đổi cận: . Do đó K = . Vậy I = 
 (TNTHPT năm 2005– 2006)
 a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số : y = ex; y = 2; x = 1.
 b. Tính tích phân: I = 	
( THPT năm 2005− 2006 Ban A). Tính tích phân I = . 
Hướng dẫn: Đặt t = Þ . 
Đổi cận: . Do đó I = 
(TN.THPT năm 2005 − 200 6 Ban C). Tính tích phân I = . 
Hướng dẫn: Đặt u = 2x + 1 Þ du = 2dx; dv = exdx Þ v = ex. Do đó
I = 
(TNTHPT năm 2006– 2007) 
1. Tính tích phân J = .	 HD: Đặt t = lnx Þ dt = . 
Đổi cận: . Do đó I = .
2. Tính tích phân I = . 
 Đặt t = + 1 Þ dt = 3dx. Đổi cận: . Do đó I = 
(THPT năm 2006 − 20007 Phân ban). 
1. Tính tích phân I = . HD : Đặt t =Þ. 
Đổi cận: . I = .
2. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = sinx; y = 0; x = . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành. 
Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là sinx = 0 Þ x = 0. 
Do đó V = . (đvtt)
(TNTHPT năm 2007– 2008) 
1. Tính tích phân I . Đặt t = 1 – Þ dt = –3dx. 
Đổi cận: . Do đó I = 
2. Tính tích phân I = . HD: I = . Đặt Þ I = 
(TNTHPT năm 2008– 2009) Tính tích phân I = .
HD: I = .
Đặt . I = 
(TNTHPT năm 2009– 2010) Tính tích phân I .
I = = = 	.
Chủ đề 4 SỐ PHỨC 
1. Định nghĩa số phức
Mỗi biểu thức dạng , trong đó a, b Î R, đgl một số phức.
a: phần thực, b: phần ảo.
Tập số phức: C.
Chú ý: Phần thực và phần ảo của một số phức đều là những số thực.
2. Số phức bằng nhau
Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
Chú ý:
· Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0:	a = a + 0i
Như vậy, a Î R Þ a Î C
· Số phức 0 + bi đgl số thuần ảo và viết đơn giản là bi:
	bi = 0 + bi
Đặc biệt, i = 0 + 1i.
Số i : đơn vị ảo
VD1: Tìm các số thực x, y để z = z':
a) b) c) 
Giải
a) Û b) Û c) Û 
VD2: Cho số phức
Tìm a, b để:
a) z là số thực b) z là số ảo
Giải
a) Û b) Û 
3. Môđun của số phức
 Độ dài của đgl Modul của số phức kí hiệu 
VD2: Tính môđun của các số phức sau:
a) b) c) d) e) 
Giải: 
4. Số phức liên hợp
Cho số phức . Ta gọi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là .
Chú ý:
· Trên mặt phẳng toạ độ, các điểm biểu diễn z và đối xứng nhau qua trục Ox.
· 	· 
5. Phép cộng và phép trừ
Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo qui tắc cộng, trừ đa thức.
*
*
VD1: Thực hiện phép tính:
a) b) c) d) 
Giải: a) A = b) B = c) C = d) D = 
6. Phép nhân
Phép nhân hai số phức được thực hiện theo qui tắc nhân đa thức rồi thay trong kết quả nhận được.
Chú ý: Phép cộng và phép nhân các số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực.
VD2: Thực hiện phép tính:
a) b) c) d) 
Giải: a) b) c) d) 
7. Tổng và tích của hai số phức liên hợp
· Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó:
· Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó.
Nhận xét: Tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực
8. Phép chia hai số phức
Chia số phức c + di cho số phức a + bi khác 0 là tìm số phức z sao cho:
	c + di = (a + bi)z
Số phức z đgl thương trong phép chia c + di cho a + bi.
Kí hiệu: 
VD1: Thực hiện phép chia cho .
Giải:
· Giả sử Þ Þ Þ Þ 
· Tổng quát:
Để tìm thương ta thực hiện các bước sau:
– Đưa về dạng: 
– Nhân cả 2 vế với số phức liên hợp của a + bi