Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp năm 2008-2009 - Đại số và giải tích - Đào Phú Hùng

g ®iĨm cđa AC. CM: OI ^ (ABC).
 c) X¸c ®Þnh t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn OABC
16) Cho DABC c©n cã gãc BAC = 1200 vµ ®­êng cao AH = a. Trªn ®­êng th¼ng D vu«ng gãc (ABC) t¹i A lÊy hai ®iĨm I, J ë hai bªn ®iĨm A sao cho DIBC ®Ịu vµ DJBC vu«ng c©n.
 a) TÝnh c¸c c¹nh cđa DABC.
 b) TÝnh AI, AJ vµ CM: DBIJ, DCIJ lµ tam gi¸c vu«ng. 
 c) T×m t©m vµ b¸n kÝnh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp c¸c tø diƯn IJBC, IABC.
Câu11: Cho DABC vu«ng c©n t¹i B (AB = a). Gäi M lµ trung ®iĨm cđa AB. Tõ M dùng ®­êng th¼ng vu«ng gãc (ABC) trªn ®ã lÊy ®iĨm S sao cho DSAB ®Ịu.
 a) Dùng trơc cđa c¸c ®­êng trßn ABC vµ SAB.
 b) TÝnh b¸n kÝnh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn SABC.
Câu12: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng ở A và D; AB = AD = a; CD = 2a; SD ^ (ABCD). Từ trung điểm E của CD, kẻ trong mặt phẳng đường vuơng gĩc với SC cắt SC tại K. Chứng minh rằng sáu điểm S, A, D, E, K, B ở trên một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đĩ. Biết SD = h
Câu13: Cho tứ diện SABC cĩ SA ^ (ABC), (SAB) ^ (SBC). Biết SB = a, = a (0 < a < 900). Chứng minh rằng: BC ^ SB. Từ đĩ xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC 
Câu14: Cho hình chĩp SABC cĩ SA = a, SB = b, SC = c và SA, SB, SC đơi một vuơng gĩc. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp
Câu15: Mặt cầu tâm O, bán kính R = 13dm. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu sao cho giao tuyến đi qua ba điểm A, B, C mà AB = 6dm, BC = 8dm, AC = 10dm. Tính khoảng cách từ O đến (P)
Câu16: Cho hình chĩp S.ABC cĩ SA ^ (ABC) và tam giác ABC vuơng ở B. Kẻ các đường cao AH, AK lần lượt của tam giác SAB, SAC. Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K nằm trên một mặt cầu. Biết AB = 10cm, BC = 24cm, xác định tâm và bán kính mặt cầu đĩ 
MẶT TRỤ
Câu1: Một hình trụ cĩ bán kính đáy R và cĩ thiết diện qua trục là một hình vuơng.
Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
Tính thể tích của khối trụ
Tính thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ đĩ
Câu2: Cho hình trụ cĩ các đáy là hai hình trịn tâm O và O’, bán kính đáy bằng 2cm. Trên đường trịn đáy tâm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2cm. Biết rằng thể tích tứ diện OO’AB bằng 8cm3. Tính chiều cao của hình trụ, suy ra thể tích của hình trụ. 
Câu3: Cho hình trụ cĩ các đáy là hai hình trịn tâm O và O’, bán kính đáy bằng 2cm. Trên đường trịn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường trịn chiều cao và bằng a. Trên đường trịn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO’AB 
 MẶT NĨN 
Câu1: Cho hình chĩp D.ABC cĩ gĩc = a (a < 900) và các cạnh bên DA, DB, DC tạo với mặt đáy (ABC) các gĩc nhọn bằng nhau
 1) Chứng minh rằng chân đường cao DH của hình chĩp trùng với tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính AH theo a biết AC = a
 2) Tính tỷ số thể tích hình chĩp D.ABC và thể tích hình nĩn đỉnh D ngoại tiếp hình chĩp đĩ.
Câu2: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy a chiều cao 2a. Biết rằng O’ là tâm của A’B’C’D’ và (T) là đường trịn nội tiếp đáy ABCD . Tính thể tích hình nĩn cĩ đỉnh O’ và đáy (T).
Câu3: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy a chiều cao 2a. Biết rằng O’ là tâm của A’B’C’ và (T) là đường trịn nội tiếp đáy ABC . Tính thể tích hình nĩn cĩ đỉnh O’ và đáy (T).
Câu4: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một gĩc 600. Gọi (T) là đường trịn ngoại tiếp đáy ABCD. Tính thể tích hình nĩn cĩ đỉnh S và đáy (T).
Câu 6: Cho ba ®iĨm kh«ng th¼ng hµng: H·y t×m täa ®é träng t©m G cđa tam gi¸c ABC.
Câu 7: Cho bèn diĨm kh«ng ®ång ph¼ng : A( 2;5;-3) ; B(1;0;0); C( 3;0;-2) D(-3;-1;2) . H·y t×m täa ®é träng t©m G cđa tø diƯn ABCD.
Câu 8: Cho ®iĨm M(1; 2; 3). T×m täa ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa ®iĨm M:
a) Trªn c¸c mỈt ph¼ng täa ®é: Oxy, Oxz, Oyz.	
 b) Trªn c¸c trơc täa ®é: Ox, Oy, Oz.
Câu 9: Cho ®iĨm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cđa ®iĨm ®èi xøng víi ®iĨm M:
a) Qua gèc täa ®é O 	 b) Qua mỈt ph¼ng Oxy	 c) Qua Trơc Oy.
Câu 10: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). T×m täa ®é cđa c¸c ®Ønh cßn l¹i.
Câu 11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). §­êng th¼ng AB c¾t mỈt ph¼ng Oyz t¹i ®iĨm M.
a) §iĨm M chia ®o¹n th¼ng AB theo tØ sè nµo ? 	b) T×m täa ®é ®iĨm M. 
HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
Câu1: ViÕt täa ®é cđa c¸c vect¬ say ®©y: ; 	 ; ; 
Câu 2: Cho ba vect¬ = ( 2;1 ; 0 ),= ( 1; -1; 2) , = (2 ; 2; -1 ).
a) T×m täa ®é cđa vect¬ : = 4- 2+ 3	
b) Chøng minh r»ng 3 vect¬ ,,kh«ng ®ång ph¼ng .
c) H·y biĨu diĨn vect¬ = (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vect¬ ,,.
Câu 3: Cho 3 vect¬ = (1; m; 2),= (m+1; 2;1 ) ,= (0 ; m-2 ; 2 ) .§Þnh m ®Ĩ 3 vect¬ ®ã ®ång ph¼ng . 
Câu 4: Cho: . T×m täa ®é cđa vect¬: 
 a) b) 
Câu 5: T×m täa ®é cđa vect¬ , biÕt r»ng: 
a) vµ b) vµ 
c) vµ , 
Câu 13 . Cho ba vect¬ T×m:
 .
Câu 14. TÝnh gãc gi÷a hai vect¬ vµ : 
Câu 15. a) Trªn trơc Oy t×m ®iĨm c¸ch ®Ịu hai ®iĨm: A(3; 1; 0) vµ B(-2; 4; 1).
b) Trªn mỈt ph¼ng Oxz t×m ®iĨm c¸ch ®Ịu ba ®iĨm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1).
Câu 16. XÐt sù ®ång ph¼ng cđa ba vect¬ trong mçi tr­êng hỵp sau ®©y:
Câu 17. Cho ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C lµ ba ®Ønh cđa mét tam gi¸c. 
b) TÝnh chu vi vµ diƯn tÝch DABC.
c) T×m täa ®é ®Ønh D ®Ĩ tø gi¸c ABDC lµ h×nh b×nh hµnh. 
d) TÝnh ®é dµi ®­êng cao DABC h¹ tõ ®Ønh A.
e) TÝnh c¸c gãc cđa DABC.
Câu 18. Cho bèn ®iĨm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
	a) Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cđa mét tø diƯn. 
	b) T×m gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®èi diƯn cđa tø diƯn ABCD.
	c) TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD vµ tÝnh ®é dµi ®­êng cao cđa tø diƯn h¹ tõ ®Ønh A.
Câu 19. Cho D ABC biÕt A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). H·y t×m ®é dµi ®­êng ph©n gi¸c trong cđa gãc B.
Câu 20. Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho bèn ®iĨm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).
	a) Chøng minh r»ng A, B, C, D t¹o thµnh tø diƯn. TÝnh thĨ tÝch cđa khèi tø diƯn ABCD.
 b) TÝnh ®é dµi ®­êng cao h¹ tõ ®Ønh C cđa tø diƯn ®ã.
	c) TÝnh ®é dµi ®­êng cao cđa tam gi¸c ABD h¹ tõ ®Ønh B.
	d) TÝnh gãc ABC vµ gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng AB, CD. 
Câu 21. Cho 3 ®iĨm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
	a) X¸c ®Þnh ®iĨm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh .
	b) T×m täa ®é giao ®iĨm cđa hai ®­êng chÐo.
	c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC, ®é dµi BC tõ ®ã ®­êng cao tam gi¸c ABC vÏ tõ A. T×m täa ®é träng t©m cđa tam gi¸c ABC .
Câu 22. Cho 4 ®iĨm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a) Chøng minh 4 ®iĨm A, B , C , D kh«ng ®ång ph¼ng.TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD
b) T×m täa ®é träng t©m cđa tø diƯn ABCD .
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC , tõ ®ã suy ra chiỊu cao cđa tø diƯn vÏ tõ D.
d) T×m täa ®é ch©n ®­êng cao cđa tø diƯn vÏ tõ D . 
Câu 23. Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho ba ®iĨm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) T×m ®é dµi c¸c c¹nh cđa tm gi¸c ABC. b) TÝnh cosin c¸c gãc A,B,C .
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
C©u 1: C¸c ph­¬ng tr×nh sau cã lµ ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu kh«ng? :
	a/ x2 + y2 + z2 – 8x + 2y + 1 = 0
	b/ x2 + y2 + z2 +4x + 8y – 2z – 4 = 0
	c/ 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 3y + 15z – 2 = 0
	d/ x2 + y2 + z2 – 2mx – 4y + 2mz + 8 = 0
	e/ x2 + y2 + z2 – 2mx + my + 3z – 2 = 0 
C©u 2: Lập phương trình mặt cầu (S) biết:
	a/ Có tâm I(2; 1; –2) và qua A(3; 2; –1).
	b/ Có đường kính AB, với A(6; 2; –5) và B(–4; 0; 7).
	c/ Qua ba điểm A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm nằm trên mặt phẳngOxy.
	d/ Có tâm I(6; 3; –4) và tiếp xúc với Oy.
	e/ Ngoai tiếp tứ diện ABCD với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(1; 1; 1)
	f/ Qua ba điểm A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) và có tâm nằm trên mặt phẳngOyz. 
C©u 3: Cho S(–3;1;–4), A(–3;1; 0), B(1; 3; 0), C(3;–1; 0), D(–3;–3;0).
	a/ CMR: ABCD là hình vuông và SA là đ/cao của h/chóp S.ABCD.
	b/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 
Bài tập 1. LËp ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu t©m I(2; 2; -3) b¸n kÝnh b»ng 3.
2. LËp p.tr×nh mỈt cÇu ®i qua ®iĨm A(3; 1; 0), B(5; 5; 0) vµ t©m .
3. LËp ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu ®i qua ®iĨm A(3; 1; -1) vµ t©m I(1; 2; -1).
4. Cho hai ®iĨm A(-5; -1; 2), B(3; -1; -4). ViÕt p.tr×nh mỈt cÇu ®­êng kÝnh AB.
5. LËp ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) biÕt:
a. T©m I(2; 1; -1), b¸n kÝnh b»ng 4. b. §i qua ®iĨm A(2; 1; -3) vµ t©m I(3; -2; -1).
c. §i qua ®iĨm , vµ t©m .
d. Hai ®Çu ®­êng kÝnh lµ , .
6. LËp ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu ®i qua ®iĨm vµ t©m I n»m trªn mỈt ph¼ng (P): .	
7. Cho mỈt cÇu (S) cã ph­¬ng tr×nh: .
 a. X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh cđa mỈt cÇu.
 b. Gäi A, B, C lÇn l­ỵt lµ giao ®iĨm (kh¸c gèc to¹ ®é) cđa mỈt cÇu víi c¸c trơc Ox, Oy, Oz. ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (ABC).
 c. Gäi H lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ t©m mỈt cÇu (S) ®Õn mỈt ph¼ng (ABC). X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iĨm H.
8. Cho hä mỈt cong : 
 a. T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ lµ mét hä mỈt cÇu.
 b. CMR t©m cđa hä lu«n n»m trªn mét parabol (P) cè ®Þnh trong mỈt ph¼ng Oxy khi m thay ®ỉi.
9. Cho hai ®­êng th¼ng : và : 
 a. Chøng minh r»ng (d1) và (d2)chÐo nhau.
 b. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1) và (d2).
 c. LËp p.tr×nh mỈt cÇu (S) cã ®­êng kÝnh lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cđa (d1) và (d2)
10. Cho hai ®­êng th¼ng (d1) và (d2) 
 a. Chøng minh r»ng (d1) và (d2) chÐo nhau.
 b. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1) và (d2)
 c.LËp p.tr×nh mỈt cÇu (S) cã ®­êng kÝnh lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cđa (d1) và (d2)
 d. ViÕt ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng c¸ch ®Ịu (d1) và (d2)..
11. ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) biÕt:
 a. T©m I (1; 2; 3) vµ tiÕp xĩc víi mỈt ph¼ng (P): 3x-4y-10=0.
 b. B¸n kÝnh b»ng 3 vµ tiÕp xĩc víi mỈt ph¼ng (P): 2x+2y+z+3=0 t¹i ®iĨm M(-3; 1; 1).
12. ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) biÕt:
a. T©m I (1; 2; -2) vµ tiÕp xĩc víi mỈt ph¼ng (P): 6x-3y+2z-11=0.
b. B¸n kÝnh b»ng 9 vµ tiÕp xĩc víi mỈt ph¼ng (P): x+2y+2z+3=0 t¹i ®iĨm M(1; 1; -3).
c. T©m I (1; 4; -7) vµ tiÕp xĩc víi mỈt ph¼ng (P): 6x+6y-7z+42=0.
13. Cho (d): vµ hai mỈt ph¼ng (P1): , 
 (P2) :
ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu cã t©m I thuéc (d) vµ tiÕp xĩc víi hai mỈt ph¼ng (P1); (P2)
14. LËp ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu cã t©m thuéc ®­êng th¼ng (d) vµ tiÕp xĩc víi (P1); (P2)
hai