Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp môn Toán - Ứng dụng của đạo hàm

số giao điểm của (C) với đường thẳng 
. 
Từ đồ thị (C) ta thấy : 
+ Với 
phương trình (*) có 1 nghiệm . 
+ Với 
phương trình (*) có 2 nghiệm . 
+ Với 
phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt . 
10. Cho hàm số (m là tham số ) 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 6 
b. Với những giá trị nào của m thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt . 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 
-. TXĐ : R 
-. Sự biến thiên : 
Xét dấu y' 
hàm số đồng biến 
hàm số nghịch biến 
Hàm số có cực đại tại x = - 3, 
Hàm số có cực tiểu tại x = 1, 
Trang 15 
đồ thị hàm số lõm 
đồ thị hàm số lồi 
Đồ thị hàm số có 1 điểm uốn U (- 1; 17) 
Bảng biến thiên 
x -∞ 1 3 +∞
y' + - 0 + 
y 
-∞ 
 1 
33
 +∞
Đồ thị 
b. Tìm m 
Phương trình : có 3 nghiệm phân biệt 
 có 3 nghiệm phân biệt 
Trang 16 
Đặt có đồ thị vừa khảo sát (C) 
y = 6 - m có đồ thị là đường thẳng (d) song song với Ox 
Để (*) có 3 nghiệm phân biệt (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt 
11. Cho hàm số 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1) 
c. Dựa vào đồ thị (C) xác định m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt : 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 
-. TXĐ : 
-. Chiều biến thiên : 
Xét dấu y' : 
y' > 0 trong khoảng hàm số đồng biến trong khoảng đó 
y' < 0 hàm số nghịch biến trong khoảng đó. 
CĐ (- 2; 6) , CT (0; 2) 
y'' đổi dấu qua nghiệm x = - 1 và U(- 1; 4) 
Bảng biến thiên : 
x -∞ -2 0 +∞
y' + - 0 + 
y 
-∞ 
 2 
6 
 +∞
Đồ thị : 
Trang 17 
b. Viết phương trình tiếp tuyến 
Đường thẳng (d) đi qua A(0; 1) với hệ số góc k có phương trình y = k (x - 0) + 1 = kx + 1 
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) nếu hệ phương trình sau có nghiệm : 
Với có phương trình tiếp tuyến 
Với có phương trình tiếp tuyến 
c. Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt 
Phương trình (*) 
Đặt có đồ thị (C) 
y = m có đồ thị là đường thẳng song song với Oy. 
Nhìn vào đồ thị (C) ta có : 
Nếu thì cắt (C) tại 3 điểm phân biệt phương trình (*) có 3 nghiệm phân 
biệt . 
12. Cho hàm số : (1) (m là tham số ). 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 
b. Tìm k để phương trình có ba nghiệm phân biệt . 
Trang 18 
a. 
TXĐ : 
. 
Bảng biến thiên 
x -∞ 0 2 +∞
y' - + 0 - 
y +∞ 
4 
0 
-∞ 
Đồ thị 
 b. Cách 1 : Ta có 
Đặt . 
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình : có 3 nghiệm phân biệt 
Trang 19 
. 
Cách 2 : Ta có 
 có 3 nghiệm phân biệt 
có 2 nghiệm phân biệt khác k 
13. Cho hàm số: 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 
b) Tìm giá trị của để phương trình có 6 nghiệm phân 
14. Cho hàm số (*) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (*). 
2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình sau : 
15. Cho hàm số 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . 
b. Với giá trị nào của m phương trình có 3 nghiệm phân biệt . 
Trang 20 
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP 
Bài 1 : Cho hàm số 
1
3
+
+=
x
xy gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
b) Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên 
c) Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt 
MN ;xác định m để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất 
d) Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ 
được hai tiếp tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ 
e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng 
bé nhất 
f) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J 
chứng minh rằng S là trung điểm của IJ 
g) Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C) 
Bài 2: 
 Cho hàm số )4()1( 2 xxy −−= 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 
b) Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng 
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5) 
d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau 
e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt 
 3 26 9 4 0x x x m− + − − = 
Bài 3: 
 Cho hàm số mmxxmxy 26)1(32 23 −++−= 
 a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C) 
b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình 
đường thẳng qua điểm cực trị đó 
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞) 
Bài 4 : 
 Cho hàm số 3 2 5- 2
3
= + +y x x x 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x3-6x2-5x+m=0. 
c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M. 
d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx. 
e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. 
f) Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng. 
Trang 21 
HÀM SỐ BẬC BA Y=AX3+BX2+CX+D 
Bài 1. Cho hàm số y=f(x)=-x3-3x2+4. 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 
b. Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng. 
c. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(-1; 2). 
d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành. 
Trang 22 
Bài 2. Cho hàm số y=f(x)=x3+3x2-4. 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 
b. Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng. 
c. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(-3;-4). 
d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành. 
Trang 23 
Bài 3. Cho hàm số y=f(x)=x3-3x2+4. 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 
b. Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng. 
c. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(1; 2). 
d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành. 
Trang 24 
Bài 4. Cho hàm số y=f(x)=x3+6x2+9x+3 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 
b. Chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng. 
c. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M(-2; 1). 
d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành. 
Trang 25 
HÀM SỐ PHÂN THỨC DẠNG 
DCX
BAX
Y +
+= 
Bài 5. Cho hàm số 
2x
43x
f(x)y +
+== . 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 
b. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng. 
c. Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nó đều là những số nguyên. 
d. Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ 
thị tại M. 
e. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nói trên 
và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích 
không đổi. 
Trang 26 
Bài 6. Cho hàm số 
1-x
1x
f(x)y
+== . 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 
b. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng. 
c. Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nó đều là những số nguyên. 
d. Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ 
thị tại M. 
e. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nói trên 
và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích 
không đổi. 
Trang 27 
Bài 7. Cho hàm số 
1x
2
f(x)y +== . 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 
b. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng. 
c. Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nó đều là những số nguyên. 
d. Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ 
thị tại M. 
e. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nói trên 
và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích 
không đổi. 
Trang 28 
Bài 8. Cho hàm số 
2x
f(x)y +==
x . 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 
b. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng. 
c. Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nó đều là những số nguyên. 
d. Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ 
thị tại M. 
e. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nói trên 
và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích 
không đổi. 
Trang 29 
Bài 9. Cho hàm số 
3-x
42x
f(x)y
−== . 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 
b. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng. 
c. Tìm trên đồ thị những điểm mà tọa độ của nó đều là những số nguyên. 
d. Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị. Viết phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến với đồ 
thị tại M. 
e. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận; A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) nói trên 
và hai tiệm cận. Chứng minh M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích 
không đổi. 
Trang 30 
Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
1. Giải phương trình : . 
 (1) 
Đặt 
Khi đó (1) trở thành : 
( Vì t > 0). 
Vậy . 
Do đó nghiệm của phương trình là 
2. Giải phương trình : 
Chia 2 vế của phương trình cho 
 Ta có: 
(1) 
Đặt , với 
(1) trở thành 
=> 
=> (Thoả mãn )=> 
=> 
3. Giải phương trình : 
Phương trình đã cho tương đương với : 
Đáp số : . 
4. Giải phương trình: 
Đặt 
pt 
Trang 31 
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 & x = -1 
5. Giải phương trình: 
6. Giải phương trình : 
 ( chia hai vế cho ). 
Đặt ( điều kiện y > 0) 
7. Giải phương trình: . 
Phương trình đã cho tương đương với : 
Giải phương trình 
Đặt 
Khi đó phương trình trở thành: 
 (vì ) 
Giải phương trình 
Đặt ,phương trình đã cho trở thành 
Giải phương trình : 
Đặt ta có : 
Giải khác 
TXD: D=R 
(1) 
Trang 32 
Giải phương trình : 
Đặt 
Giải phương trình sau: 
Nhận xét: là nghiệm 
Nhận xét: là nghịch biến trên 
Do đó cũng là hàm nghịch biến trên 
là nghiệm duy nhất của (*) 
Giải phương trình : 
Đặt 
Giải phương trình : 
Chia hai vế của phương trình trên cho ta được: 
Đặt 
8. Giải phương trình 
Trang 33 
 ( do ). 
9. Giải phương trình sau : 
Vậy nghiệm của phương trình là 
10. Giải phương trình sau : 
Vậy phương trình có nghiệm . 
11. Giải phương trình : 
12. Giải phương trình 
Đặt thì phương trình tương đương với : 
13. Giải phương trình