Tài liệu ôn thi Lượng giác - Logarit - Bất phương trình

có một họ nghiệm: x = a + kp (k Î Z).
	+) Chú ý: +/ Các giá trị đặc biệt: m = 0, ±, ±
 +/ Không được áp dụng công thức nghiệm một cách máy móc.
d) cotgx = m (như ý c,)
2) Phương trình bậc nhất đối với sin và cos.
	a) Dạng: asinx + bcosx = c
	b) Phương pháp giải: Sử dụng khai triển hàm bậc nhất của sin, cos để đưa phương trình về dạng: Asin(x + j) = c sin(x + j) = .
	c) Điều kiện có nghiệm: -1 £ £ 1 £ 1 A2 ≥ c2 hay 
	a2 + b2 ≥ c2.
3) Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
	a) Phương trình đưa về sin. b) Phương trình đưa về cos.
	c) Phương trình có thể đưa về tg.
	+) Phương trình có thể khai triển theo tg góc chia đôi.
	+) Phương trình đẳng cấp với sin và cos.
	d) Phương trình đối xứng với sin và cosin. e) Phương trình đối xứng với tg và cotg.
`	f) Phương pháp đặt ẩn phụ trong góc.
4) Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đánh giá.
5) Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đại số.
II. BÀI TẬP.
1. sin3x.sin3x + cos3x.cos3x = 1 2. cosx + sinx = 
3. sinx + sin2x = 3 + sin3x 4. tgx + cõtg = 1 + 
5. 3cotg2x + 2sin2x = (2 + 3)cosx 6. sin2x + 2sinxcosx + 2cos2x = 
7. sinxcossx - (sinx + cosx) = -1 8. sin2x(sinx + cosx) = ±
9. sin2x + 4(cosx - sinx) = 4 10. = -
11. sin2x + tgx = 2 12. sin2x + tgx + cos2x = 2 13. + sin2x = sinx + 
14. 2(cos2x +)= 9(cosx -) +1 15.+ cotg2x + (tgx + cotgx) + 2 = 0
16. sin3(x - ) = sinx 17. sin( + x) = 2sin3( + ) 18. sin2x + sin22x = 1 
19. sin2x + sin22x + sin23x = 20. sin2x + sin22x + sin23x + sin24x = 2
21. cos2x + cos22x = 22. cosx + cos2x + cos3x = 1
23. cos2x + cos22x + cos23x = 1 24. cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 
25. sinx.cos2x = sin2x.cos3x -sin5x 26. sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x
27. sinx.sin2x.sin5x = 1 28. sin4x + (1 - sinx)4 = 29. sin4x + (1 + sinx)4 = 17
30. cos4x + (1 - cosx)4 = 31. sin4x + cos4x -cos2x + sin22x = 2
32. sin3x + cos3x = 1 33. sin3x + cos7x = 1 34. sin3x + cos7x = 
35. sin3x +cos3x = 36. sinx.sin2x.sin3x = 
37. cosx.cos2x.cos3x = 38. sinx.sin2x.sin3x = sin4x
39. = y2 - 4y +5 40. sin3x.sin3x + cos3x.cos3x = cos34x.
41. sin3x.cos3x + cos3x.cos3x = a.(a = -, , )
42. .cosx + sinx = m.(m = 1, 2) 43. cosx + 2cos2x = + cos3x.
44. 2tg2x + cos2x = (1 + 2)sinx. 45. 3sin2x + cosx = - cos3x.
46. = 0. 47. 4cos2x + sinx.cosx + 3sin2x = 3.
48. sin2x - 4sinx.cosx + 5cos2x =5. 49. (1-
50. sin2x(sinx - cosx) = m.(m = ±) 51. = .
52. cotgx - 2sinx = 1. 53. sinx + cotg = 2. 54. cos2x + tg2x = 1.
55. 9cos2x + = - 2(3cosx - ) + 15. 56.sin2x + = - (sinx + - 2.
57. 3tg2x + + m(tgx + cotgx) = 1.(m = 4) 58. sin3(x - ) = 2sinx.
59. sin(2x - ) + sin( - 8x) + cos6x = 1. 60. sin2x + sin22x = .(a = 1, 3)
61. sin2x + sin22x + sin23x = 2. 62. sin2x + sin22x + sin23x +sin24x = .
63. cos2x + cos22x = a (a = 0, 1, 2) 64. cos2x + cos22x + cos23x = a (a = , 3)
65. cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 66. 2.sin3x + cos22x = sinx
67. sin(x + ) = sin3x + cos3x 68. tgx - sinx = 1 - tgx.sinx
69. 2sin3x = cosx? 70. 6tg2x - 2cos2x = cos2x 71. sin3x + cos7x = 1
72. cosx.cos2x.cos3x = 73. cosx.cos2x.cos3x = sin4x
74. cos2x + cosx.cosy + cos2y = 0 75. 2.(sinx +cosx)cosy = 3 +cos2y 
76. sin2x + sin23x = sinx.sin3x 77. sin24x +cos2x = 2sin4x.cos4x
78. cos23x + cos2x = cos3x.cos4x 79. 2cos3x + cos2x + sin2x = 0
80. cos3x + sin3x = sinx – cosx 81. 2cos3x = sin3x
82. sin22x - cos28x = sin. 83. tg2x = 
84. = -sin3x 85. cosx = cos2 86. cos2x = 2 - cos
87. cos - sin = 2sin - 2sin
88. (ĐHQG-D 99): + = 2
89. (ĐHQG -A 99): 8cos3 = cos3x
90. (ĐHTN -A 99): cotg2x - tg2x = 
91. (ĐHSPII - B 99): 1 - = cosx 92. (KTQD -99): sin2x + sin23x = cos22x + cos24x
93. (ĐHTDTT-99): cos2x - 3cosx - 2 = 0 94. (ĐH MỞ -99): sin3x = 3sin - 2sin2x
95. (ĐH DƯỢC -99): sin24x - cos26x = sin(10,5 + 10x)
96. (ĐHTCKT -99): = 97. (ĐHCĐ -99): 1+sinx+cosx+sin2x + cos2x = 0
98. (HVKTQS -99): ) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x
99. (ĐHY - HN -99): ) sinx - 4sin3x + cosx = 0
100.(HVBCVT -99): sin 
 101.(ĐHGTVT-99): sin4x + cos4x = 
102. (HVNH - 99): cos3x + cos2x + 2sinx - 2 = 0.
103. (CĐGTVT - 99): sin2x(sinx + cosx) = 2.
104. (ĐHTL - 99): tg2x + sin2x =cotgx. 105. (ĐHTS - 99):(sinx +cosx)3 - 4sinx = 0
106. (ĐHKT - 99): 3tg3x - tgx + - 8cos2  = 0.
107. (ĐHNT - A - 99): sin3x.cos3x + sin3x.cos3x = sin34x.
108. (ĐHNN - B - 99): cos6x + sin6x = cos22x + .
109. (ĐHNN - A - 99): 2sin3x - cos2x + cosx = 0.
110. (ĐH LUẬT - HN - 99): 4(sin3x - cos2x) = 5(sinx - 1).
111. (HVKTMM - 99): sin8x + cos8x =.
112. (ĐH MỎ - 99): tgx.sin2x - 2sin2x = 3(cos2x + sinx.cosx).
113. (ĐHAN - 99): cotg= tg+ 2tg.
114. (ĐHQG B - 99): sin6x + cos6x = 2(sin8x + cos8x).
115. ĐHQGHN - A - 01: 2sin2x-cos2x = 7sinx + 2cosx - 4
116. ĐHQGHN - D - 01: sin3x = cosx.cos2x.(tg2x + tg2x)
117. ĐHSP - D - 01: tgx + 2c0tg2x = sin2x.
118. ĐHNN - 01: cos3x.cos3x - sin3x.sin3x = cos34x + 
119. ĐHBK - A - 01: sin2x + 2tgx = 3.
120. ĐH Mỏ - 01: 
121. ĐHTL - 01: 
122. ĐHNNI - B: sin2x - cos2x = 3sinx +cosx - 2
123. ĐH Dược - 01: 
124. ĐHKTẾ - 01: 
125. ĐHTCKT - 01: 
126. ĐHTM - 01: 
127. ĐHCĐ - 01: 
128. ĐH HÀNG HẢI - 01: 
129. ĐHAN - D - 01: sin2x = 2cos2x = 1 + sinx - 4cosx
130. HVKTQS - 01: 
131. HV QUÂN Y - 01: 3sinx + 2cosx = 2+ 3tgx
132. ĐH Y TB - 01: 
133. HVNH - TPHCM - 01: 
134. ĐHAN - A - 01
	1) Giải phương trình: 2cosx
	2) Tính giá trị biểu thức: P = 
135. ĐHQGHN - A - 01 Chứng minh rằng :
136. TSĐH - B – 2002 	
137. TSĐH - A - 2002. Tìm nghiệm thuộc (0, 2p) của phương trình:
138. TSĐH - A – 2003 	
139. TSĐH - B - 2003	cotgx - tgx + 4sin2x = 
140. TSĐH - B - 2004	5sinx - 2 = 3(1 - sinx)tg2x.
DẠNG 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
I - CÁC DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
1) Dạng cơ bản:
a) sinx < m(1)
Nếu m > 1 bất phương trình nhận mọi x là nghiệm.
nếu m £ -1 bất phương trình vô nghiệm.
Nếu -1 < m £ 1 đặt m = sina ( - < a £ ) nghiệm (1) là:
b) sinx > m
Nếu m < -1 nghiệm là mọi x
nếu m ≥ 1 bất phương trình vô nghiệm.
Nếu -1 £ m < 1 đặt đặt m = sina ( - < a £ ) nghiệm (1) là: 
c) cosx m, cosx £ m, cosx ≥m.
d) tgx m, tgx ≥ m
e) cotgx m, cotgx ≥ m
2) Phương pháp đặt ẩn phụ.
Như phương trình lượng giác.
II - BÀI TẬP LUYỆN.
Giải bất phương trình :
1) sin2x > 2) tg . 4) sinx. .
5) sin6x + cos6x . 6) . 7) tg2x 3. 8) 
9) > -2. 10) 2
13) cos2x 0 16) <0
17) tgx + cotgx ≥ 18) > 1+2cosx 19) > 1
20) 4cos12x + 8cos6x + sinx ≥ -7 21) cos2x.sinx > - 22) sin4x + cos4x ≥ 
23) sin3x.sin3x - cos3x.cos3x < - 24) sin6x + cos6x £ 
25) sin6x + cos6x £ 26) cos2x + cos22x + cos23x £ 1
27) 2cos2x + sin2x.cosx + sĩncos2x > 2(sĩn + cosx) 28) 4(sin4x +cos4x) > 2sĩn.cosx + 3
29) sin3x > 1 30) sinx > sin3x; cos2x < 
31) £ 0 32) 33) sinx + cosx > 1
34) sin2x.sin3x -cos2x.cos3x > sin10x 35) sinx + cosx > cos 
36) sinx > 4 37) 3cos2.sinx - sin3x £ 38) 2 + tgx +cotgx < 0
39) tgx + cotgx < tg 40) 41)
42) < 4tgx 
DẠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
I - CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
II - BÀI TẬP LUYỆN.
1. 2. 3. 4. 
5. 6. 7. 
8. 9. 10. 
11. 12. 13. 
14. 15. 16. 
17. Với - < x, y < 
18. 19. Với - < x, y < 
20. Với - < x, y < 
HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT.
A - CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT.
I. HÀM MŨ
1) Định nghĩa:
2) Tính chất:
3) Đồ thị:
II. HÀM NGƯỢC
1) Định nghĩa:
2) Điều kiện đủ để hàm số có hàm ngược:
3) Đồ thị hai hàm số bgược nhau:
III. HÀM LOGARIT
1) Định nghĩa:
2) Tính chất:
3) Bảng biến thiên và đồ thị:
4) Các định lí về logarit:
B - BÀI TẬP.
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
I - CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ:
1) Phương trình mũ cơ bản:
	+ Dạng: af(x) = ag(x) Với (a > 0, a ≠ 1)
	Û f(x) = g(x)
	+ Dạng: f(x)g(x) = f(x)h(x) 
	Û 
	 f(x) = 1 
2) Phương pháp logarit hóa:
3) Phương pháp đặt ẩn phụ:
Nguyên tắc của phương pháp đặt ẩn phụ đối với các loại phương trình và bất phương trình là như nhau. Song tùy theo đặc thù của từng loại phương trình mà ta có những đặc trưng riêng, đối với những phương trình mũ thường có các loại sau:
+) Đặt ax = t Þ Được phương trình đối với biến t.
+) Tích không đổi ( hay cho dưới dạng tích cơ số bằng 1).
+) Đẳng cấp.
4) Phương pháp đánh giá:
a) Phương pháp chung
	Giả sử phải giải phương trình: f(x) = g(x) (1)mà ta đánh giá được:
	 	Thì (1) có nghiệm khi và chỉ khi: 
b) Đánh gia theo đồ thị:
	Giả sử phải giải phương trình: f(x) = g(x).(1)
Mà ta đánh giá được: f(x) là hàm đồng biến còn g(x) là hàm 	nghịch biến. Thì (1) có nghiệm duy nhất ( vì đồ thị hàm đồng biến chỉ cắt đồ thị hàm nghịch biến tại 1 điểm). Thường ta sẽ nhẩm được nghiệm duy nhất này dưới dạng nghiệm nguyên.
5) Phương pháp đại số:
II - BÀI TẬP LUYỆN:
1. 4x + 2x - 6 = 0 2. 5= 3 – x 3. 3x + 4x = 5x 4. 2.3x = 1,5.
5. 5= 500 6. xx + 3 = 1 7. = 1 8. 51 + x + 51 - x = 24
9. 2x + 3 = 5x 10. (x2 - x + 1)= 1 11. 4x + 6x = 9x 12. 2x + 3 = 1
13. 2= 3 14. 4x + 4-x + 2x + 2-x = 10 15. 2= + p 
16. 4x = 2.14x + 3.49x 17. 3.25 + (3x - 10)5+ 3 - x = 0
18. 9x + 2(x - 3).3x = 5 - 2x 19. = 2x + 1 20. ( + 2)= ( - 2)
21. + = 2,5 22. = x 23. 25x - 2(3 - x)5x + 2x - 7 = 0
24. ()+ 3. () = 12 25. 8 - x.2x + 23-x - x = 0 26. 2x + 2-x = 2.cos
27. 2 = sin2x 28. 2x.3x-1.5x-2 = 12 29. (5 - ) + 7(5 + )= 2x+3
30. (26 + 15)+ 2. (7 + 4) - 2. (2 + ) = 1
31. (7 + 3)x + 16. (7 - 3)x = 2x+3 32. 4+ 2= 2 + 
33. 4x = 3.2+ 4 34. 5-7.10+2.4=0 35. (20+14)+(20- 14)= 4x
36. (9 - ) + 2(-) = 2 37. (2 + ) + 2.() = 3
38. - 5.3 = 3 - 4x
39. ĐHQGHN – 00 	(2 + ) + x. (2 - ) = 1 + x2
40. ĐHSP - D – 00 	32x - 8.3 - 9.9 = 0
41. ĐHTL – 00 	2 - 9.2 + 2 = 0
42. ĐH Y HN – 00 	23x - 6.2x - + = 1
43. ĐHBK – 99 	4 - 6= 2.3
44. ĐHCĐ - 99	x = 
45. ĐH MỎ - 01: 46. ĐHSPHN - A - 01: 
DẠNG 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
I - CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
1. Bất phương trình mũ cơ bản:
+Dạng: af(x) > ag(x) (1)Với (a > 0, a ≠ 1)
Khác với phương trình mũ, tùy theo cơ số a ta sẽ áp dụng tính chất đồng biến hay nghịch biến của hàm số mũ để biến đổi (1):
Nếu 0 < a < 1 thì (1) Û f(x) < g(x)
Nếu a > 1 thì (1) Û f(x) > g(x)
+Dạng: [f(x)]g(x) >