Tài liệu ôn thi ĐH, CĐ − Môn TOÁN (Phần 2)

x3) 2x 1 x. 16 2x 1. 4)x x 12 x 1 36. 5) log (5x 8x 3) 2.− = − + + + + = − + > 
2 2 x y 1 2y 12 2
2 22 4
ln(1 x) ln(1+y) = x yx 4xy y 1 4 3.4 2x 2xy 3y 06) . 7) . 8) . 9) .
x 3y 2 log 3x | x | y | y | 2 x 12xy 20y 0y 4 3xy
+ − − + − − 
− + = + ≤   + − =
   
+ ≥ −+ = − − + = = +  
Bài 13. Tìm m ñể phương trình 2x 3 m 1 x+ = + có nghiệm. 
Bài 14. Tìm m ñể bất phương trình x x 2m.4 (m 1).2 m 1 0++ − + − > nghiệm ñúng với mọi x. 
3. LƯỢNG GIÁC 
Bài 15. Cho 
2 2
1 cosB 2a c
,
sin B 4a c
+ +
=
−
 chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân. 
Bài 16. Giải phương trình lượng giác 
2 2 2 2 24x1) cos cos x. 2) tan 2x.tan 3x.tan 5x tan 2x tan 3x tan 5x.
3
= = − + 
Bài 17. Giải phương trình lượng giác 
4 42
2 2
x x
sin cos
cos x(2sin x 3 2) 2cos x 1 1 sin x2 21) 1. 2) tan x.sin x tan x.
1 sin 2x 1 sin x 2
++ − − +
= − = +
+ −
Bài 18. Giải phương trình lượng giác 
2
2 2
4 4
1)5sin x 2 3(1 sin x) tan x. 2)(2cos x 1)(2sin x cos x) sin 2x sinx.
3)cos 3x.cos 2x cos x 0. 4)1 sin x cos x sin 2x cos 2x 0.
5)1 cos x cos 2x cos3x. 6)cos x sin x cos(x )sin(3x
4 4
− = − − + = −
− = + + + + =
pi pi
+ = + + + − −
3 3 2
2 2 2
3) .
2
x7)sin x(1 tan x tan ) 4 cotx. 8)sin x 3 cos x sin x(cos x 3 sin x cos x).
2
9)2sin 2x sin 7x 1 sinx. 10)(1 sin 2x)cos2x (1 cos 2x)sin 2x 1 2sin 2x cos 2x.
=
+ = − − = −
+ = + + + + = +
Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số 2 − Bắc Ninh 
Tài liệu ôn thi ðH, Cð năm 2010− Môn TOÁN 
13 
2
6 6
11)(sin x cos x) 3 cos 2x 2. 12)2sin x(1 cos 2x) sin 2x 1 2cos 2x.
12(cos x sin x) sin 2x 1 1 15213) 0. 14) 4sin( x).3sin x 42 2sin x sin(x )
2
+ + = + + = +
+ − pi
= + = −
pi
−
−
4. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 
Bài 19. Tính 
ln 24 2
2 x
1 2 3 42 4x
0 0
3
dx dx 1 sinx1)I . 2)I . 3)I ln (x+ 1 x )dx. 4)I e dx.
1 cos x3cos x 2sin 2x 1 1 e
pi pi
pi
−
= = = + =
−+ + +
∫ ∫ ∫ ∫ 
Bài 20. Tuỳ theo tham số m, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường 2y x x; y 3x m;= + = − 
x 0; x 1.= = 
Bài 21. Chứng minh rằng với mọi n *∈ ta có 
2n
1 3 5 2n 1
2n 2n 2n 2n
1 1 1 1 2 1C C C ... C .
2 4 6 2n 2n 1
−
−
+ + + + =
+
Bài 22. Tính 
e 16 4
3 2 2x
3
0 1 0
lnxdx tan xdx1) . 2) . 3) x ln xdx. 4) (x 2)e dx.
cos2xx
pi
−∫ ∫ ∫ ∫ 
Bài 23. Tính 
ln 5 2 2
x x 9 3
ln 3 1
dx xdx x dx dx1) . 2) . 3) . 4) .
1 x 1 1 xe 2e 3 (1 x)− + − ++ − −∫ ∫ ∫ ∫
Bài 24. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai ñồ thị xy (e 1)x; y (1 e )x.= + = + 
Bài 25. Tính tích phân 
1
0
J x x m dx,= +∫ với m là tham số. 
5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP 
Bài 26. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có ñáy là hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M, N lần lượt là 
trung ñiểm của SB, SC. Biết rằng (SBC) (AMND).⊥ 
1. Tính diện tích tứ giác AMND. 
2. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 
3. Tính thể tích khối ña diện NMABCD. 
Bài 27. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có M, N, P lần lượt là trung ñiểm của AB, DD’, B’C’. 
Chứng minh MN//(BDC’) và tính góc giữa hai ñường thẳng MN, A’P. 
Bài 28. Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = b, 
AA’ = c (c2 > a2 + b2). Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với CA’. Xác ñịnh thiết diện của lăng trụ 
cắt bởi (P) và tính diện tích của thiết diện ñó. 
Bài 29. Cho ABC∆ vuông cân có cạnh huyền BC = a. Trên ñường thẳng vuông góc với (ABC) tại A 
ta lấy ñiểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC), (SBC) là 600. Tính SA. 
Bài 30. Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh ñáy bằng a, gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của 
SB, SC, và (SBC) (AMN).⊥ Tính diện tích AMN.∆ 
Bài 31. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, có I, J lần lượt là trung ñiểm của CD, A’D’. 
1. Chứng minh B'I C 'J.⊥ 
N
Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số 2 − Bắc Ninh 
Tài liệu ôn thi ðH, Cð năm 2010− Môn TOÁN 
14 
2. Trên các cạnh AB, B’C’, CC’, D’A’ lần lượt lấy các ñiểm M, N, P, Q sao cho MB xAB,=
B'N xB'C', CP yCC', D 'Q yD'A '.= = =
 Tìm mối liên hệ giữa x và y ñể MN PQ.⊥ 
Bài 32. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA SB SC AB AC a, BC a 2.= = = = = = Tính góc giữa 
hai ñường thẳng AB, SC, và tính thể tích khối chóp S.ABC. 
6. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ðỘ TRONG MẶT PHẲNG 
(Các bài toán ở phần này ñều xét trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy) 
Bài 33. Cho hai ñường tròn 2 2 2 21 2(C ) x y (m 6)x 2my 5 0, (C ) x y 12x 6y 44 0.+ − + + + = + − − + = 
1. Khi m = 0: viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). 
2. Tìm quỹ tích tâm của ñường tròn (C1). 
Bài 34. Cho hai ñiểm A, B di ñộng trên 2(P)y x= sao cho AB = 2. Giả sử xA < xB. 
1. Tìm quỹ tích trung ñiểm của ñoạn AB. 
2. Xác ñịnh A, B ñể diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và ñường thẳng AB ñạt giá trị lớn nhất. 
Bài 35. Cho A là giao của hai ñường thẳng 
x 2 t x 11 4t '
d : ; d ' : .
y 1 9t y 2 3t '
= − = + 
 
= − − = − 
 Viết phương trình ñường 
thẳng ∆ qua M(5; 0), cắt d, d’ lần lượt tại B, C sao cho diện tích ABM∆ bằng 2 lần diện tích ACM.∆ 
Bài 36. Cho elip (E) có hai tiêu ñiểm và hai ñỉnh trên trục Oy cùng nằm trên một ñường tròn. Bốn ñỉnh 
của (E) là bốn ñỉnh một tứ giác có diện tích 2 2. Viết phương trình chính tắc của (E). Gọi M là ñiểm 
di ñộng trên (E), F1 và F2 là hai tiêu ñiểm của (E). Tìm quỹ tích trọng tâm của tam giác MF1F2. 
Bài 37. Viết phương trình ñường thẳng d ñi qua O(0; 0) sao cho khoảng cách từ A(−3; 5) tới d bằng 3 
lần khoảng cách từ B(1; 1) tới d. 
Bài 38. ðường thẳng d1 ñi qua A(1; 4) và cắt d2: 2x + y − 1 = 0 tại B có xB = 1 .4− Viết phương trình 
ñường tròn ñi qua O(0; 0) và tiếp xúc với d1, d2. 
Bài 39. Cho ABC∆ có ñỉnh A(2; 1), ñường cao BH: x − 3y − 7 = 0, ñường trung tuyến CM: 
x y 1 0.+ + = Tìm toạ ñộ ñỉnh B, C. 
Bài 40. Tìm m ñể : y 2x m∆ = − cắt 
2 2
x y(E) : 1
64 9
+ = tại hai ñiểm phân biệt A, B. Tìm quỹ tích trung 
ñiểm I của ñoạn AB. 
7. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ðỘ TRONG KHÔNG GIAN 
(Các bài toán ở phần này ñều xét trong không gian toạ ñộ Oxyz) 
Bài 41. Cho A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1), (P): x + y + z − 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu ñi qua 
A, B, C và có tâm thuộc (P). 
Bài 42. Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua A(−4; −2; 4), vuông góc và cắt 
x 3 2t
d : y 1 t .
z 1 4t
= − +

= −

= − +
Bài 43. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ ñộ O. Biết 
A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ). Gọi M là trung ñiểm của cạnh SC. 
1. Tính góc và khoảng cách giữa hai ñường thẳng SA, BM. 
2. Gọi N SD (ABM).= ∩ Tính thể tích khối chóp S.ABMN. 
Bài 44. Cho A(−1; 2; 4), B(−2; 3; 5). Tìm ñiểm M trên x 2 y 1 z 5d :
1 2 1
− + +
= =
−
 ñể MA + MB nhỏ 
nhất. 
Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số 2 − Bắc Ninh 
Tài liệu ôn thi ðH, Cð năm 2010− Môn TOÁN 
15 
Bài 45. Cho A(1; 4; 2), B(−1; 2; 4), x 1 y 2 z: .
1 1 2
− +∆ = =
−
1. Viết phương trình ñường thẳng d ñi qua trọng tâm G của OAB∆ và vuông góc với (OAB). 
2. Tìm ñiểm M thuộc ∆ ñể MA2 + MB2 nhỏ nhất. 
Bài 46. Cho A(1; 7; 1), B(5; 5; −3). Tìm ñiểm M thuộc mặt phẳng (P): x + 2y − 2z + 1 = 0 sao cho 
MA2 + MB2 nhỏ nhất. 
Bài 47. Cho A(1; −1; 0), B(1; 0; 1). Tìm ñiểm M thuộc 
x 1 t
d : y 1 t
z 2
= − +

= +

= −
ñể diện tích MAB∆ nhỏ nhất. 
Bài 48. Cho hai ñường thẳng 1 2
x 1 2t
x y zd : , d : y t .
1 1 2
z 1 t
= − −

= = =

= +
1. Xét vị trí tương ñối của d1 và d2. 
2. Tìm hai ñiểm M, N lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho MN//(P): x − y + z = 0 và MN = 2. 
Bài 49. Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2 ; 0), A’(0; 0; 2). 
1. Chứng minh A’C vuông góc với BC’, và viết phương trình mặt phẳng (ABC’). 
2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của B’C’ trên (ABC’). 
Bài 50. Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua M(3; 2; 1), vuông góc với 1
x 1 y 2 zd :
3 1 1
− +
= = và 
cắt 2
x t
d : y 2t 1.
z 1 t
=

= +

= − +
Bài 51. Viết phương trình mặt cầu tâm M(1; 2; 3) và cắt (P): 2x + 2y + z + 4 = 0 theo ñường tròn có 
bán kính là 3. Tính diện tích và thể tích khối cầu tương ứng. 
8. TỔ HỢP - XÁC SUẤT - THỐNG KÊ 
Bài 52. Tìm số hạng cứa x5y3z6t6 trong khai triển (x + y + z + t)20. 
Bài 53. Tính tổng 2 1 2 2 2 2 2 nn n n n1 C 2 C 3 C ... n C (n *).+ + + + ∈ 
Bài 54. Một hộp có 10 viên bi, gồm 5 bi xanh, 3 bi ñỏ, 2 bi vàng. 
1. Lấy ngẫu nhiên 5 viên bi từ hộp ñã cho. Tính xác suất ñể 5 bi lấy ra có ñủ cả ba loại xanh, ñỏ, vàng. 
2. Lấy ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp ñã cho. Tính xác suất ñể 6 bi lấy ra có ñủ cả ba loại xanh, ñỏ, vàng. 
Bài 55. Cho khai triển 
n
x x x xx 1 x 1 x 1 x 1
0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n3 3 3 32 2 2 2
n n n n2 2 C (2 ) C (2 ) (2 ) C (2 ) (2 ) ... C (2 ) ,
− − − −
− − − −
− −
 
 + = + + + +
 
 
biết 3 1n nC 5C= và số hạng thứ tư trong khai triển trên bằng 20n. Tìm x và n. 
Bài 56. Tìm n biết 0 1 2 n nn n n nC 2C 4C ... 2 C 243.+ + + + = 
Bài 57. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập ñược bao nhiêu số nguyên dương có 6 chữ số phân biệt 
và chữ số 2 ñứng cạnh chữ số 3? 
Bài 58. Tính tổng 
1 2 2 3 3 4 2n 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
0 1 2 n
n n n n
A C 2.2C 3.2 C 4.2 C ... (2n 1).2 C .
1 1 1B 1.C .C .C ... .C .
2 3 n 1
+
+ + + + += − + − + + +
= + + + +
+
N
Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số 2 − Bắc Ninh 
Tài liệu ôn thi ðH, Cð năm 2010− Môn TOÁN 
16 
Bài 59. Tìm số hạng có hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)n = a0 + a1x +  + anxn biết rằng 
1 2 n
0 n
a a a
a ... 4096.
2 4 2
+ + + + = 
Bài 60a. Cần lập một ñề thi gồm 7 câu ñược lấy ngẫu nhiên từ một ngân hàng gồm 60 câu (trong ñó có 
20 câu dễ, 20 câu trung bình, 20 câu khó). Tính xác suất ñể ñề thi ñược lập thoả mãn cả ba yêu cầu: số 
câu không ít hơn 2, số câu trung bình không ít hơn 1, số câu khó không ít hơn 1. 
9. SỐ PHỨC 
Bài 61. Giải phương trình trên tập số phức 5 4 3 2z z z z z 1 0.− + − + − = 
Bài 62. Tìm số phức z thỏa mãn 
1) |z| = 2 5 , phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó. 
2) (2 i) 10z − + = và . 25z z = . 
3) z2 = 3 – 4i. 
Bài 63. Tìm các số thực x, y biết 2x y +2i 3 1 (x 2)i.y− = + − − 
Bài 64. Tìm tập hợp các ñiểm trên mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z