Tài liệu ôn tập Tốt nghiệp THPT năm học 2009-2010 - Tích phân và ứng dụng - THPT Lai Vung 2

 .cosx xdx
π
∫ 
b) K2 = 
8
2
0
cos 2xdx
π
∫ 
c) K3 = 
1
2 1
0
1xe dx− −∫ 
Giải: 
a) Ta có: sin3x.cosx = ( )1 s in4 s in2
2
x x+ 
suy ra K1 = 
1
2
4
0
(s in4 sin2 )x x dx
π
+ =∫
4
0
1 1 1
cos 4 cos 2
2 4 2
x x
π
 − −  
= 
1
2
 Vậy: K1 = 
1
2
b) K2 = 
8
2
0
cos 2xdx
π
∫ 
Ta có: cos22x = 
1 cos 4
2
x+
suy ra K2 = 
1
2
8
0
(1 cos 4 )x dx
π
+ =∫
8
0
1 1
sin 4
2 4
x x
π
 +  
= 
1
2
( )1 4sin 0
8 4 8
π π  + −  
  
=
1 1
2 8 4
π + 
 
 Vậy: K2 = 
1
1
8 2
π + 
 
c) K3 = 
1
2 1
0
1xe dx− −∫ 
Ta có : e2x–1 – 1 = 0 ⇔ e2x–1 = 1 = e0 ⇔ 2x – 1 = 0 ⇔ x = 
1
2
[ ]0;1∈ 
Trường THPT Lai Vung 2 
6 
Suy ra K3 = 
1
12
2 1 2 1
10
2
( 1) ( 1)x xe dx e dx− −− + −∫ ∫ = 
1
1
2
2 1 2 1
1
0
2
1 1
2 2
x xe x e x− −   − + −   
   
 = 0 1
1 1 1
0
2 2 2
e e−   − − −   
   
 + 0
1 1 1
1
2 2 2
e e   − − −   
   
 = 1
1
2
e−− + 
1
1
2
e − 
 
 Vậy K3 = 
11 1 1
2 2
e e−+ − 
• Các bài tập tự luyện: 
Tính các tích phân: 
1) L = ∫ +−
1
0
24 )23( dxxx KQ: L = 
5
6
2) I = ∫
−4
6
2
3
sin
sin1
π
π
dx
x
x KQ: I = 
2
223 −+ 
3) J = dx
x
x
∫ −
+1
0 34
2 KQ: J = 
9
4ln103+− 
4) K = dx
x
xx
∫
−2
1
2
23 52
 KQ: K = – 2 
5) M = ∫
12
0
5sin.7sin
π
xdxx KQ: M = 
8
1
6) N = 
4
1
2x dx−∫ KQ: N = 
5
2
7) P = 
3
2
0
sin 3xdx
π
∫ KQ: P = 6
π
8) Q = 
4
2
0
tan xdx
π
∫ KQ: 1 4
π
− 
9) R = 
/4
2 2
/6 sin .cos
dx
x x
π
π
∫ KQ: 
2 3
3
II) Phương pháp ñổi biến số: Cần tính I = ( )
b
a
f x dx∫ 
1) Loại 1: Tiến hành theo các bước 
 + Chọn ñặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt 
 + Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b ñể tìm hai cận mới. 
 + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính. 
Trường THPT Lai Vung 2 
7 
Ví dụ 4: Tính tích phân 
 a) I1 = 
2
2
0
4 x dx−∫ 
 b) I2 = 
3
2
0
1
9
dx
x+∫ 
Giải: 
a) I1 = 
2
2
0
4 x dx−∫ 
 + ðặt x = 2sint , t ;
2 2
π π ∈ −  
(u(t) = 2sint) ⇒ dx = 2costdt 
 + Cận mới: 
 x= 0 ⇒ 2sint = 0 ⇒ sint = 0 ⇒ t = 0 
 x = 2 ⇒ 2sint = 2 ⇒ sint = 1 ⇒ t = 
2
π
 + I1 = 
2
2
0
4 x dx−∫ = 
2
2
0
4 4sin .2cott dt
π
−∫ = 4
2
2
0
1 sin .cott dt
π
−∫ = 4
2
2
0
cos .costt dt
π
∫ =4
2
2
0
cos tdt
π
∫ 
 I1 = 2
2
0
(1 cos 2 )t dt
π
+∫ = 2
2
0
1
s in2
2
t t
π
 + 
 
= π 
 Vậy I1 = π 
Chú ý: 
 + Nếu dùng máy tính 570ES ñể kiểm tra, học sinh chỉ thu ñược kết quả gần ñúng của số π 
là 3,141592654. 
 + Các em học sinh xem thêm bài tập 3b) trang 113 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ ñó có thể 
ghi nhớ cần tính 2 2
0
a
a x dx−∫ , ñặt x = asint , t ;2 2
π π ∈ −  
(u(t) = asint) ⇒ dx = acostdt rồi thực 
hiện các bước tiếp sau tương tự trong ví dụ. 
b) I2 = 
3
2
0
1
9
dx
x+∫ 
+ ðặt x = 3tant, t ;
2 2
π π ∈ − 
 
⇒ dx = 3(1 +tan2t)dt 
 + Cận mới: 
 x = 0 ⇒ 3tant = 0 ⇒ tant = 0 ⇒ t = 0 
 x = 3 ⇒ 3tant = 3 ⇒ tant = 1 ⇒ t = 
4
π
 + I2 = 
3
2
0
1
9
dx
x+∫ = 
24
2
0
3(1 tan )
9 9 tan
t
dt
t
π
+
+∫ = 
24
2
0
3(1 tan )
9(1 tan )
t
dt
t
π
+
+∫ = 
1
3
4
0
dt
π
∫ = 
1
3
4
0
t
π
 = 
1
3
.
4
π
 Vậy I2 = 
12
π
Trường THPT Lai Vung 2 
8 
Chú ý: 
 Học sinh cần xem thêm ví dụ 5 trang 108 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ ñó có thể ghi nhớ 
cần tính 
2 2
0
1a
dx
a x+∫ , ñặt x = atant , t ;2 2
π π ∈ − 
 
⇒ dx = a(1 + tan2t)dt thực hiện các bước tiếp 
tương tự. 
2) Loại 2: Tiến hành theo các bước 
+ Chọn ñặt: u = u(x) rồi suy ra du = u’(x)dx 
 + Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là α và β thì α =u(a) β = u(b) . 
 + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồi tính. 
Ví dụ 5: Tính các tích phân 
a) J1 = 
2
2
1
xxe dx∫ 
b) J2 = 
1
1 lne x
dx
x
+
∫ 
c) J3 = 
1
3 4 5
0
( 1)x x dx−∫ 
d) J4 = 
2
2
0
4 .x xdx−∫ 
e) J5 = 
/2
4
0
cos
(1 sin )
x
dx
x
π
+∫ 
Giải: 
a) J1 = 
2
2
1
xxe dx∫ 
+ ðặt u = x2 ⇒ du = 2xdx ⇒xdx = 
1
2
 du 
+ ðổi cận: x = 1 ⇒ u = 12 = 1; x = 2 ⇒ u = 22 = 4 (α = 1, β = 4) 
+ J1 = 
2
2
1
xxe dx∫ = 
4
1
1
2
ue du∫ = 12
4
1
ue = 
1
2
( e4 – e1) = 
1
2
( e4 – e) 
+ Vậy J1 = 
1
2
( e4 – e) 
b) J2 = 
1
1 lne x
dx
x
+
∫ 
+ ðặt u = 1 ln x+ ⇒u2 = 1 + lnx ⇒2udu = 
1
x
dx 
+ ðổi cận: x = 1 ⇒ u = 1 ln1+ = 1; x = e ⇒ u = 1 ln e+ = 2 
Trường THPT Lai Vung 2 
9 
+ J2 = 
1
1 lne x
dx
x
+
∫ =
2
1
u.2udu∫ = 23
23
1
u = 
2
3
3 3( 2) 1− ) = 
2
(2 2 1)
3
− 
+ Vậy J2 = 
2
(2 2 1)
3
− 
Ghi nhớ: 
• Học sinh có thể ñặt: u = 1 + lnx⇒du = 
1
x
dx 
• ln1 = 0 và lne = 1 
c) J3 = 
1
3 4 5
0
( 1)x x dx−∫ 
+ ðặt u = x4 – 1 ⇒ du = 4x3dx ⇒x3dx = 
1
4
du 
+ ðổi cận: x = 0 ⇒ u = 0 – 1 = –1; x = 1 ⇒ u = 14 – 1 = 0 
+ J3 = 
1
3 4 5
0
( 1)x x dx−∫ = 
0
5
1
1
4
u du
−
∫ = 14
06
1
6
u
−
= 
1
24
− 
+ Vậy J3 = 
1
24
− 
d) J4 = 
2
2
0
4 .x xdx−∫ 
+ ðặt u = 24 x− ⇒u2 = 4 – x 2 ⇒2udu = – 2xdx ⇒xdx = –udu 
+ ðổi cận: x = 0 ⇒ u = 24 0− = 2; x = 2⇒ u = 24 2− = 0 
+ J4 = 
2
2
0
4 .x xdx−∫ =
0
2
u.( )u du−∫ = 
0
2
2
u du−∫ = 13
23
0
u = 
8
3
+ Vậy J4 = 
8
3
e) J5 = 
/2
4
0
cos
(1 sin )
x
dx
x
π
+∫ 
+ ðặt u = 1 + sinx⇒ du = cosxdx 
+ ðổi cận: x = 0 ⇒ u = 1 +sin0 = 1; x = 
2
π
⇒ u = 1 + sin
2
π
 = 2 
+ J5 = 
/2
4
0
cos
(1 sin )
x
dx
x
π
+∫ =
2
4
1
du
u∫ = 
2
4
1
u du−∫ = 
1
3−
23
1
u− = 
7
24
+ Vậy J5 = 
7
24
• Các bài tập tự luyện: 
1) Tính các tích phân: 
Trường THPT Lai Vung 2 
10 
a) I = dxxx∫ +
6
0
cos.sin41
π
 KQ: I = 
6
133 −
b) J = dxxx∫ −
2
0
23 3 .8 KQ: J = –4 
c) K = dxxe
x∫ −
1
0
..
2
 KQ: K = 
e
e
2
1−
d) L = ∫
+e
x
dxx
1
)ln3(
 KQ: L = 
8
13
e) M = ∫ +
21
0
27 x
dx
 KQ: M = 
73
π
g) N = ∫ +
1
0 2
x
x
e
dxe
 KQ: N = ln
3
2 e+
h) P = 
1
2010
0
( 1)x x dx−∫ KQ: P = 
1
4046132
(Kết quả P máy 570ES không biểu diễn ñược, máy chí cho Kq gần ñúng 2.471496234x 10-7) 
2) Tính các tích phân: 
a) I1 = 
2
0
(2sin 3)cosx xdx
π
+∫ KQ: 4 
b) J1 = 
2
2
1
3x x dx+∫ KQ: 
7 7 8
3
−
c) P = 
1
2
0
4 2
1
x
dx
x x
+
+ +∫ KQ: 2ln3 
d) Q= 
24
2
0
5 tan
cos
x
dx
x
π
+
∫ KQ: 16/3 
e) L1 = 
2
1
1 3ln
ln
e x
xdx
x
+
∫ KQ: 116/135 
g) N1 = 
2
1 1
x
x
e
dx
e −∫ KQ: ln(e+1) 
III) Phương pháp tích phân từng phần: 
• Công thức: 
b b
b
a
a a
udv uv vdu= −∫ ∫ 
• Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính ( ). ( )
b
a
I P x Q x dx= ∫ 
Trường THPT Lai Vung 2 
11 
Dạng 
hàm 
P(x): ða thức 
Q(x): sinkx hay 
coskx 
P(x): ða thức 
Q(x):ekx 
P(x): ða thức 
Q(x):ln(ax+b) 
P(x): ða thức 
Q(x):
2
1
sin x
hay 
2
1
cos x
Cách 
ñặt 
* u = P(x) 
* dv là Phần còn 
lại của biểu thức 
dưới dấu tích phân 
* u = P(x) 
* dv là Phần còn 
lại của biểu thức 
dưới dấu tích 
phân 
* u = ln(ax + b) 
* dv = P(x)dx 
* u = P(x) 
* dv là Phần còn lại 
của biểu thức dưới dấu 
tích phân 
Ví dụ 6: Tính các tích phân 
a) I1 = 
/4
0
2 cos 2x xdx
π
∫ 
b) I2 = 
1
2
0
( 1) xx e dx+∫ 
c) I3 = 
3
2
2 ln( 1)x x dx−∫ 
Giải: 
a) I1 = 
/4
0
2 cos 2x xdx
π
∫ 
• ðặt: u = 2x ⇒ du = 2dx; 
 dv = cos2xdx ⇒ v = 
1
2
sin2x 
• I1 = 
/4
0
2 cos 2x xdx
π
∫ = 
/4
0
.s in2x x
π – 
/4
0
sin 2xdx
π
∫ = 
/4
0
1
sin 0 cos 2
4 2 2
x
ππ π
− + 
 = 
1
(cos cos0)
4 2 2
π π
+ − = 
1
4 2
π
− 
Vậy: I1 = 
1
4 2
π
− 
b) I2 = 
1
2
0
( 1) xx e dx+∫ 
• ðặt: u = x +1 ⇒ du = dx; 
 dv = e2xdx ⇒ v = 
1
2
 e2x 
• I2 = 
1
2
0
( 1) xx e dx+∫ = 
1
2
0
1
( 1)
2
xx e+ – 
1
2
0
1
2
xe dx∫ = 
12 0 2
0
1 1
[(1 1) (0 1) ]
2 4
xe e e+ − + − 
 = 2 2
1 1
(2 1) ( 1)
2 4
e e− − − = 
23 1
4
e −
Vậy: I2 = 
23 1
4
e −
c) I3 = 
3
2
2 ln( 1)x x dx−∫ 
Trường THPT Lai Vung 2 
12 
• ðặt: u = ln(x – 1) ⇒ du = 
1
1x −
dx; 
 dv = 2xdx ⇒ v = x2 
• I3 = 
3
2
2 ln( 1)x x dx−∫ = 
32
2
ln( 1)x x − – 
3 2
2 1
x
dx
x −∫ = 9ln2 – 0 – 
3
2
1
( 1 )
1
x dx
x
+ +
−∫ 
 = 9ln2 – 
32
2
( ln 1)
2
x
x x+ + − = 8ln2 – 
7
2
Vậy: I3 = 8ln2 – 
7
2
• Ghi chú: bước giải bài này sẽ ít khó khăn hơn nếu 
ðặt: u = ln(x – 1) ⇒ du = 
1
1x −
dx; 
 dv = 2xdx ⇒ v = x2 – 1 = ( x + 1)( x – 1) 
Cơ sở: Từ dv = 2xdx ta suy ra v =tức là tìm một nguyên hàm thích hợp của 2x. Như ñã biết 
22xdx x c= +∫ , trong ña số các trường hợp của phương pháp từng phần ta chọn c = 0. Trong bài 
tích phân vừa tính, chọn c = -1 thích hợp hơn. 
Ví dụ 7: Tính các tích phân 
a) J1 = ∫
4
0
2cos
π
x
xdx 
b) J2 = 
2
2
1
ln xdx
x∫ 
Giải: 
a) J1 = ∫
4
0
2cos
π
x
xdx 
• ðặt: u = x ⇒ du = dx; 
 dv = 
2
1
cos
dx
x
 ⇒ v = tanx 
• J1 = ∫
4
0
2cos
π
x
xdx = /4
0
. tanx x
π – 
/4
0
tan xdx
π
∫ = 
/4
0
tan 0 ln cos
4 4
x
ππ π
− + = 
2
ln
4 2
π
+ = ln 2
4
π
− 
 Vậy: J1 = ln 2
4
π
− 
Ghi chú: Nếu học sinh không nhớ nguyên hàm tan ln cosxdx x c= − +∫ thì có thể biến ñổi 
tanx = 
sin
cos
x
x
 rồi ñặt u = cosx (ñổi biến loại 2). 
b) J2 = 
2
2
1
ln xdx
x∫ 
• ðặt: u = lnx ⇒ du = 
1
x
dx 
Trường THPT Lai Vung 2 
13 
 dv = 
2
1
dx
x
dx ⇒ v = 
1
x
− (HD: 2
2
1
x
x
−= nên có 1 nguyên hàm là 
1 1
1
x
x
−
= −
−
) 
• J2 = 
2
2
1
ln xdx
x∫ = 
2
1
1
ln x
x
− + 
2
2
1
1
dx
x∫ = 
2
1
1 1
ln 2 ln1
2 x
− + − = 
1 1
ln 2 ( 1)
2 2
− − − =
1
(1 ln 2)
2
− 
 Vậy: J2 = 
1
(1 ln 2)
2
− 
• Các bài tập tự luyện: 
1) Tính các tích phân: 
a) I 1= 
1
1
( 3) xx e dx
−
+∫ KQ: I =
23 1e
e
−
b) I2 = ∫ −
e
xdxx
1
ln)21( KQ: 
2
1 2e−
c) I3 = ∫
4
0
2cos
π
x
xdx
 KQ: M = 
4
π
 – ln 2 
d) I4 = 2
1
2 lne x
dx
x∫ KQ: N = 2(1 – e
2
) 
2) Tính các tích phân: 
a) K1=
2
0
.cos .sinx x xdx
π
∫ KQ: 8
π
b) K2 = 
2
3
1
ln x
dx
x∫ KQ: 
3 1
ln 2
16 8
− 
c) K3 = ∫
1
0
dxe x KQ: J = 2 
d) K4 = 
2
1
ln
e
x xdx∫ KQ: 
32 1
9
e +
IV) Ứn