Tài liệu Ôn tập Tốt nghiệp môn Toán năm 2012 - Nguyễn Đồng Thuận

+
∫ 
 Đặt 
2 2 21 1t x t x= + ⇒ = + 
2 . 2 . . .t dt x dx t dt x dx⇒ = ⇒ = 

 Đổi cận: 3x = ⇒ 2t = 
0x = ⇒ 1t = 

 Vậy, ( )
2 2 2
11 1
3.
3. 3 6 3 3
tdt
A dt t
t
= = = = − =∫ ∫
Câu b: 
22
1
3 . .xB x e dx
−
= ∫ 
 Đặt 2t x= 122dt xdx xdx dt⇒ = ⇒ = 

 Đổi cận: 2x = ⇒ 4t =
1x = − ⇒ 1t = 

 Vậy, ( )
44 43 3 3
2 2 21 1
3 .
2
t
te dtB e e e= = = −∫
Câu c: 2 2
3 3
2
1 cos sin
sin (1 cos ) (1 cos )
x x
C dx dx
x x x
π π
π π
−
= =
+ +∫ ∫
 Đặt 1 cos sin .t x dt x dx= + ⇒ =− sin .x dx dt⇒ =− 

 Đổi cận: 
2
x π t = = ⇒ 1
3
x π= ⇒ 3
2
t = 

 Vậy, ( )
33
22
3
2
1
1
2 21 1
1
.
t
dt
C dt
t t
= − = = −∫ ∫ ( )2 1 13 1 3= − − = 
Câu d: 
4
2
ln 1
. ln
x
D dx
x x
+
= ∫ 
 Đặt 
1
lnt x dt dx
x
= ⇒ = 

 Đổi cận: 4x = ⇒ 2 ln 2t = 
x = ⇒ ln 22 t = 

 Vậy, ( )
ln 4ln 4 ln 4
ln2 ln2 ln2
1 1
1 ln
t
D dx dt t t
t t
 +  = = + = +   ∫ ∫ 
( ) ( )ln 4 ln ln 4 ln 2 ln ln 2 ln 4   = + − + =      
- 37 - 
Bài 2 : Tính các tích phân sau đây: 2
0
( 1)sinE x xdx= −∫
π
2
1
3 . xF x e dx
−
= ∫ 
2
2
1
(3 1) ln .G x x dx= −∫ 
Bài giải 
Câu e: 2
0
( 1)sinE x xdx= −∫
π
 Đặt 
1
sin cos
u x du dx
dv xdx v x
  = − = ⇒  = = −  

 Suy ra, ( ) ( )22 2
0 00
( 1)cos cos 0 1 sinE x x xdx x= − − + = − − +∫
ππ π
2
1 sin sin 0 0= − + − =π 
Câu f: 
2
1
3 . xF x e dx
−
= ∫ 
 Đặt 
3 3
x x
u x du dx
dv e dx v e
  = = ⇒  = =  

 Như vậy, ( ) ( )
2 22
2 1
11 1
3 . 3 6 3 3x x xF x e e dx e e e−
−− −
= − = + −∫ 
2 2 1 2 2 23 3 3 66 3( ) 6 3 3e e e e e e
e e e e
−= + − − = + − + = + 
Câu g: 
2
2
1
(3 1) ln .G x x dx= −∫ 
 Đặt 2
3
1ln
(3 1)
u x du dx
x
dv x dx v x x
  = = ⇒  = −  = − 
( ) ( )
2 223 2 31 4
3 311 1
ln ( 1). 6 ln 2 6 ln 2G x x x x dx x x= − − − = − − = −∫ 
Bài 3 : Tính các tích phân sau đây 
2
1
1xH x e dx
x
  = −  ∫ 
2
2
0
( 1).I x x xdx= + +∫ 
3
21
2 1e t t
J dt
t
− + 
= ∫ 20 (1 2 sin )sinK a ada
π
= +∫
Bài giải 
Câu h: 
2 2 2 2
1 1 1 1
1
( 1) 1.x x xH x e dx xe dx xe dx dx
x
  = − = − = −  ∫ ∫ ∫ ∫ 

 Xét 
2
1 1
:xH xe dx= ∫ Đặt x x
u x du dx
dv e dx v e
  = = ⇒  = =  
Tài liệu tham khảo Ôn tập tốt nghiệp môn Toán 
Tài liệu tham khảo - 38 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán 
( ) ( )
2 22
2 2
1 11 1
. 2x x xH xe e dx e e e e⇒ = − = − − = =∫ ⋯ 

 Xét ( )
2 2
2 11
1 2 1 1H dx x= = = − =∫

 Vậy, 2
1 2
1H H H e= − = − 
Câu i: 
2 2 2
2 2 2
0 0 0
( 1). . 1.I x x x dx x dx x xdx= + + = + +∫ ∫ ∫

 Xét ( )
22 2 31 8
1 3 30 0
I x dx x= = =∫ 

 Xét 
2
2
2 0
I 1.x xdx= +∫ . Đặt 2 1t x tdt xdx= + ⇒ = 
Đổi cận: 2x = ⇒ 5t = 
0x = ⇒ 1t = 
( )
55 5 2 31
2 31 1 1
.I t tdt t dt t⇒ = = =∫ ∫ 5 5 13
−= 

 Vậy, 5 5 71 2 3
I I I += + = 
Câu j:
3 2
2 2
2 1 2 1 1
1 1 2 1
2 ln
ee et t t
t tt t
J dt t dt t− +
   = = − + = − −     ∫ ∫
( ) ( )2 21 1 1 1 32 2 1 2 22 ln 2 ln 1e ee ee= − − − − − = − − 
Câu k: 2 2 2
0 0
(1 2 sin )sin (sin 2 sin )K a ada a a da
π π
= + = +∫ ∫
2
0
(sin 1 cos 2 )a a da
π
= + −∫ ( ) 2sin22 0cos
aa a
π
= − + − 
( ) ( )sin sin 02 2 2 2 2cos cos 0 0 1= − + − − − + − = +π π π π 
Bài 4 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây: 
a) 3 3 2y x x= − + , trục hoành, 1x = − và 3x = 
b) 24y x= − − và 2 42y x x= − 
c) 3 2y x x= − và tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành độ bằng –1 
d) 3y x x= − và 2y x x= − 
- 39 - 
Hướng dẫn giải và đáp số 
Câu a: 
 Xét 
3
3( ) 3 2 ( ) ( ) 3 2
( ) 0
f x x x
f x g x x x
g x
 = − + ⇒ − = − + =

 Diện tích cần tìm là 
2
3
1
3 2S x x dx
−
= − +∫

 Bảng xét dấu của 3 3 2x x− + trên đoạn [ 1;2]− 
x 1− 1 2
3 3 2x x− + + 0 + 
Vậy, ( )2 3
1
3 2S x x dx
−
= − +∫ ( )4 2
2
3 21
4 2 4
1
2x x x
−
= − + = 
Câu b:
 Xét 
2
4 2
2 4
( ) 4
( ) ( ) 3 4
( ) 2
f x x
f x g x x x
g x x x
 = − − ⇒ − = − − = −

 Cho 4 23 4 0x x− − = 2x⇔ ⇔ = ± ⋯ 

 Diện tích cần tìm là 
2
4 2
2
3 4S x x dx
−
= − −∫

 Bảng xét dấu của 4 23 4x x− − trên đoạn [ 2;2]− 
x 2− 2 
4 23 4x x− − − 
( )
22 4 2 5 31 96
5 52 2
( 3 4) 4S x x dx x x x
− −
⇒ = − − − = − − − =∫
Câu c: 
 HD: viết phương trình tiếp tuyến thoả đề (đáp số: 2y x = + ) 

 Xét 
3
3( ) 2 ( ) ( ) 3 2
( ) 2
f x x x
f x g x x x
g x x
 = − ⇒ − = − − = +

 Cho 3 3 2 0 1x x x− − = ⇔ =− hoặc 2x = 

 Diện tích cần tìm là: 
2
3
1
3 2S x x dx
−
= − −∫

 Bảng xét dấu của 3 3 2x x− − trên đoạn [ 1;2]− 
x 1− 2 
3 3 2x x− − − 
( )
22 3 4 2 271 3
4 2 41 1
( 3 2) 2S x x dx x x x
− −
= − − − = − − − =∫
–1
Tài liệu tham khảo Ôn tập tốt nghiệp môn Toán 
Tài liệu tham khảo - 40 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán 
Câu d:
 Xét 
3
3 2
2
( )
( ) ( ) 2
( )
f x x x
f x g x x x x
g x x x
 = − ⇒ − = + − = −

 Cho 3 2 2 0 2; 0; 1x x x x x x+ − = ⇔ =− = = . 

 Diện tích cần tìm là 
1
3 2
2
2S x x x dx
−
= + −∫

 HD: xét dấu 3 2 2x x x+ − và đưa đến công thức 
0 1
3 2 3 2
2 0
( 2 ) ( 2 )S x x x dx x x x dx
−
= + − − + −∫ ∫
( ) ( )
0 1
4 3 2 4 3 2 371 1 1 1
4 3 4 3 122 0
x x x x x x
−
= + − − + − = 
Bài 5 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình (H) quanh
trục Ox biết (H) giới hạn bởi: siny x= ,Ox, 0x = và 3
2
x π= 
Bài giải 

 Ta có, ( ) sinf x x= . Xét đoạn [ ]3
2
0; π 

 Thể tích cần tìm là:
3
2 2
0
(sin )V x dx
π
π= ∫
3 3 3
2 2 22
0 0 0
1 cos 2 1 cos 2
sin
2 2 2
x x
V xdx dx dx
π π π
π π π
 −  = = = −  ∫ ∫ ∫ 
( ) ( ) 
3
221 1 3 1 3
2 4 4 4 40
sin 2 sin 3 .0x x
π
π ππ π π π= − = − − = 
BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN 
Bài 6 : Tính các tích phân sau đây 
a)
1
2
0
.(2 1)x x dx−∫ b)
ln2
0
(3. 5)x xe e dx− −∫ c)
1
3
1
(2 3 )x dx
−
−∫
d)
2
1
1 tte t
dt
t
+ −
∫ e)
2
1
(1 ) x
x
x e x
dx
xe
+ −
∫ f)
23
1
3 2t t
dt
t
+ −
∫ 
g) ( )
22
1
1 t 
t dt−∫ h) ( )
21
2
2
x x dx
x
−
−∫ + i)
1
3
0
(1 )x x dx −∫
j) 4
6
cos 4 .cos 3x xdx
π
π∫ k) 6
4
sin 3 . sin .t t dt
π
π−∫ l)
4 2
0
tan xdx
π
∫
m)
1
20
1 .
cos
x
x ee dx
x
−   +   ∫ n)
2 1ln2
0
1x
x
e
dx
e
+ +
∫ o)
2
0
1 x dx −∫
- 41 - 
p) 
32
1
2 5t t
dt
t
−
∫ q)
22
0
3 1
1
x x
dx
x
− −
+∫ r) 1
2
1 3 1
( 1)
x
dx
x x
+
+∫ 
m) 3
6
2 2
2
tan cos
sin
x x
dx
x
π
π
−
∫ n) 3 20
2 cos 2 1
cos
x
dx
x
π −
∫ o) 4 20 sin .x dx
π
∫
Bài 7 : Tính các tích phân sau đây 
a) 2
0
sin
1 3 cos
x
dx
x
π
+∫ b)
2
21
1
2 3
x
dx
x x
− 
− −∫
 c)
21 1
0
. xx e dx−∫ 
d)
1/2
21
xe
dx
x
∫ e) 2
6
2
cos
(1 sin )
xdx
x
π
π− +∫
 f)
20
41 (1 )
x
dx
x− −∫
g) 2
0
sin .
8 cos 1
x dx
x
π
+
∫ h)
19
0 3 2
3
8
xdx
x +
∫ i)
2
1
1e ln x
dx
x
+
∫
j)
1
1
(1 ln )
e
e
dx
x x−∫ k)
3
1 . 4 ln
e dx
x x−
∫ l) 1
ln .
.(ln 3)
e
e x dx
x x +∫ 
m)
1
2012
0
( 1)x x dx−∫ n)
1
2
0
1x x dx+∫ o)
7
3
0
. 1x x dx+∫
p) 2
2
3sin .cos .x x dx
π
π−∫ q)
4
0
sin2 . cos 2xe xdx
π−∫ r)
0
5
4 .x x dx
−
−∫ 
s)
2
2
sin 2
1 cos
x
dx
x
π
π
+∫
 t)
1
2 20
4
(2 1)
x
dx
x +∫
 u)
ln 3
0 1 x
dx
e−+∫
Bài 8 : Tính các tích phân sau đây 
a)
1
0
( 1) x x e dx +∫ b)
1
0
(2 1) x x e dx −∫ c)
1
2 1
0
. xx e dx−∫ 
d)
ln 5
ln2
2 ( 1)xx e dx−∫ e)
ln2
0
( 1) xx e dx−−∫ f) 20 2 .cos .x x dx
π
∫
g) 4
0
(2x 1)cos
π
xdx−∫ h)
0
(1 )cosx xdx
π−
−∫ i) 20 2 . sinx xdx
π
∫
j) 4
0
(x 1)sin 2
π
xdx+∫ k) 40 x xdxsin 2
π
∫ l) 1 ln .
e
x dx∫
m)
1
2 .(ln 1)
e
x x dx−∫ n)
3
2
2 ln( 1)x x dx−∫ o)
2
21
ln xdx
x
∫ 
p)
3
2 2
0
( 1). xx e dx +∫ q) 40 sin
xe xdx
π
∫ r)
4
1
xe dx∫ 
Tài liệu tham khảo Ôn tập tốt nghiệp môn Toán 
Tài liệu tham khảo - 42 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán 
Bài 9 : Tính các tích phân sau đây 
a)
1
0
(3. 5 )x xe e x dx− −∫ b) ( )0 x x cos
π
x dx +∫ c)
2
2
0
( )xx x e dx +∫
d)
2
1
lnx x
dx
x
+
∫ e)
4
1
xx e
dx
x
+
∫ f) 21
1e lnx x
dx
x
+
∫ 
g) ( )
1
ln 1
e
x x dx+∫ h) 40 (x x xdxcos )sin
π
+∫ i)
2
1
( 2 )xx xe dx +∫
j)
1
0
1
1
x
x
xe x
dx
e
+ +
+∫
 k) 2
0
1 sin
1 cos
x
dx
x
π −
+∫ l)
2
21
( 1). lnx x
dx
x
−
∫ 
Bài 10 : Tính các tích phân sau đây 
1) ( )0 2 11 xx ee dx−∫ − 2)
2
1 ( 1)
dx
x x +∫ 3)
6
0
cos
2 sin 1
xdx
x
π
+∫
4)
1
0
3 1.x dx+∫ 5)
2
1
(2 1) ln .x x dx +∫ 6) 1 ln( 1)
e
x dx+∫
7)
22
1
1 ln x
dx
x
+
∫ 8)
4
1
lne .x dx
x∫ 9)
2 22
1
lnx x
dx
x
+
∫
10)
1
0
2 1
1
x
dx
x
−
+
∫ 11)
4
1 ( 2)
dx
x x +
∫ 12)
32 2
0 2 1
x dx
x +
∫ 
13) 4
tan
20 cos
xe dx
x
π
∫ 14) 20
cos sin
1 cos
x x
dx
x
π −
+∫ 15)
2ln2
30 ( 4)
x
x
e dx
e +∫
16)
0
ln6
3.x xe e dx+∫ 17) 0 ( cos )
xx e
π
x dx +∫ x xdx18) 0 2 sin
π
∫
19) 3
4
30
cos sin
cos
x x
dx
x
π +
∫ 20) 21 (ln 1)
e dx
x x +∫
 21)
2
1
ln .
(ln 2)
e x dx
x x +∫ 
22) 2 2
0
sin 2 . sin .x x dx
π
∫ 23) 2 20 sin .cosx xdx
π
∫ 24)
1
0
(4 1) x x e dx +∫
25)
2
1
ln 1e x x
dx
x
+
∫ 26) 20
sin 2 .
1 cos
x dx
x
π
+∫ 27)
2
0
sin 2 .
3 sin 1
x dx
x
π
+
∫ 
28)
0
(1 cos )cos .x x dx
π−
−∫ 29) ( )
2
0
4 1x x dx− +∫ 30)
1
0
( 3)xxe dx+∫
31) ( cos 2)x x dx
π
π−
−∫ 32) 1 ( ln 2)
e
x x x dx+∫ 33)
21 3
0
xx e dx∫
- 43 - 
BÀI TẬP VỀ ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN 
Bài 11 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây 
a) 3 21 2
3 3
y x x= − + − , trục hoành, x = 0 và x = 2. 
b) 2 1, 1, 2y x x x= + = − = và trục hoành. 
c) 3 12y x x= − và 2y x= . 
d) 2 2y x x= − + và 2y x + = . 
e) 3 1y x = − và tiếp tuyến của nó tại điểm có tung độ bằng –2. 
f) 3 3 2y x x= − + và trục hoành. 
g) 2 2y x x= − và 2 4y x x= − + 
h) 2 2y x x= − và y x= 
i) 3 2y x x= − và ( )
9
1y 1x= − 
j) ( ) : 1 , 1C xy x x = + = và tiếp tuyến với ( )C tại điểm ( )322; . 
k) 
3 1
, , 0
1
x
y Ox x
x
+
= =
−
l) 1ln , ,
e
y x x x e= = = và trục hoành. 
m)
ln
1