Tài liệu ôn tập Phương trình lượng giác

1. Phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Trong mục này,ta xét các phương trình có dạng như : (phương trình bậc nhất đối với tan2x ),
hay (phương trình bậc 2 đối với ) ...
Để giải các phương trình dạng này,ta chọn một biểu thức lượng giác thích hợp có mặt trong phương trình làm ẩn phụ và quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc 2 đối với ẩn phụ đó (có thể nêu hoặc không nêu kí hiệu ẩn phụ).
a) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau :
1) ; 
2) 
Giải
1) .
2) Để ý rằng : 
Ta có 
.
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là và (riêng họ nghiệm thứ 2 cũng có thể viết là ).
b) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau :
1) ;
2) .
Giải
1) Đặt (với ), ta được phương trình .
Phương trình này có hai nghiệm là và ,trong đó bị loại do không thỏa mãn điều kiện .
Do đó: .
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm và 
2) Đặt ,ta có phương trình .
Phương trình này có hai nghiệm là và .
Do đó 
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là và 
Giải phương trình 
Ví dụ 3: Giải phương trình 
Giải 
.
(Phương trình vô nghiệm vì ).
Kết luận : Phương trình đã cho có các nghiệm là 
Giải phương trình rồi biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.
2. Phương trình bậc nhất đối với và 
Trong mục này, chúng ta sẽ nghiên cứu cách giải các phương trình dạng ,
trong đó a,b và c là những số đã cho với a khác 0 hoặc b khác 0.Chúng được gọi là phương trình bậc nhất đối với và .
Sử dụng đẳng thức ,hãy giải phương trình 
Để giải phương trình (a,b khác 0) ta biến đổi biểu thức thành dạng hoặc dạng ( là những hằng số ).
Ví dụ4: Giải phương trình (1)
Giải
Ta có .
Vậy (1) 
Một cách tổng quát ta có thể biến đổi biểu thức (a và b khác 0) thành dạng như sau :
.
Do nên điểm M với tọa độ nằm trên đường tròn lượng giác 
Vậy có số để và 
Từ đó ta có .
Bằng cách biến đổi như thế , , việc giải phương trình được đưa về giải phương trình lượng giác cơ bản .
CHÚ Ý
Nếu trong phép biến đổi trên,ta chọn số để thì ta có 
Ví dụ 5: Giải phương trình (2)
Giải
Ta có : 
Trong đó và 
Do đó (2) .
Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với và 
Trong mục này ,chúng ta sẽ nghiên cứu cách giải phương trình dạng 
trong đó a,b và c là những số đã cho, với hoặc hoặc .Chúng được gọi là phương trình thuần nhất bậc hai đối với và 
Để giải phương trình dạng này,ta chia hai vế cho (với điều kiện ) để đưa về phương trình đối với hoặc chia hai vế cho (với điều kiện ) để đưa về phương trình đối với .
Ví dụ 6: Giải phương trình (3)
Giải
Khi thì nên dễ thấy các giá trị của x mà không phải là nghiệm của (3).
Vậy chia hai vế của (3) cho ,ta được phương trình tương đương 
Do đó 
Vậy các nghiệm của phương trình (3) là và 
Giải phương trình (3) bằng cách chia hai vế cho 
Nhận xét
1) Phương trình khi hoặc có thể giải gọn hơn bằng cách đưa về phương trình tích.
Chẳng hạn,đối với phương trình ,ta có .
2) Đối với phương trình (4)
ta có thể quy về giải phương trình thuần nhất bậc hai đối với và bằng cách viết d dưới dạng 
Chẳng hạn,đối với phương trình ,ta có thể làm như sau :
.
Ngoài ra ta cũng có thể quy phương trình (4) về phương trình bậc nhất đối với và bằng cách sử dụng các công thức hạ bậc và công thức nhân đôi :
.
Chẳng hạn,
Giải phương trình bằng hai cách đã nêu trên.
4. Một số ví dụ khác
Thực tế,chúng ta còn gặp nhiều phương trình lượng giác mà khi giải cần phải thực hiện các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa chúng về các phương trình dạng quen thuộc.Trong mục này,chúng ta chỉ nêu một số ví dụ đơn giản
Ví dụ 7: Giải phương trình (4)
Giải
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
Ta có (4) 
Kết luận : Phương trình đã cho có các nghiệm là và .(Dễ thấy họ nghiệm bao gồm cả họ nghiệm nên có thể nói phương trình (4) có các nghiệm là ).
Ví dụ 8: Giải phương trình (5)
Ta có thể sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tổng thành tích.
Cụ thể ta có 
(5) (6)
Chú ý rằng khi giải phương trình lượng giác,ta cần lưu ý đến điều kiện xác định của nó để loại bỏ các nghiệm ngoại lai.
Ví dụ 9: Giải phương trình .
Giải
Với điều kiện và ,ta có 
Để là nghiệm của phương trình đã cho,các giá trị của x còn phải thỏa mãn các điều kiện và .
Để kiểm tra các điều kiện này, ta có thể làm như sau :Các giá trị gồm có bốn họ 
(A) : (ứng với điểm A);
(B) : (ứng với điểm B);
(A') : (ứng với điểm A');
(B') : (ứng với điểm B')
Bằng cách thử trực tiếp,dễ thấy các họ (A) và (A') thỏa mãn ,còn (B) và (B') không thỏa mãn các điều kiện ( và .Vậy phương trình có các nghiệm là và (hay còn có thể viết gọn là ).
Giải phương trình .