Tài liệu luyện thi: Giải tích (phần 1)

rị cực trị theo công thức và phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là .
	ð Ví dụ 1: Cho hàm số 
	ⓐ Xác định để hàm số có cực đại và cực tiểu.
	 ⓑ Khi hàm số có cực đại và cực tiểu . CMR:	
	ð Ví dụ 2: Cho hàm số 
	Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông. (ĐH khối A − 2007)
	ð Ví dụ 3: Cho hàm số . Chứng minh rằng với mọi m hàm số có hai cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là một hằng số không phụ thuộc vào m.
	Bài tập:	① Cho hàm số . Chứng minh rằng với mọi m đồ thị hàm số luôn có điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa chúng bằng . (ĐH khối B − 2005).
	② Gọi là đồ thị của hàm số . Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của đến tiệm cận xiên của bằng .
	③ Cho hàm số . Tìm m để hàm số có hai cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 10.
	④ Cho hàm số . Gọi yCĐ và yCT là các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số. Tìm m để |yCĐ − yCT| = 4.
	⑤ Cho hàm số . Tìm m để |yCĐ − yCT| < 12.
	⑥ Cho hàm số . Tìm m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số nằm hai phía của trục Ox.
§4 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Ⓐ Lý thuyết:
	1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) có tập xác định là D.
	▪ Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của f trên tập D nếu: 
	i.) f(x) M, x D.
	ii.) x0 D: f(x0) = M.
	▪ Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f trên tập D nếu:
	i.) f(x) m, x D.
	ii.) x0 D: f(x0) = m.
	2. Các phương pháp:
	① Sử dụng đạo hàm:
	a) Lập bảng biến thiên rồi dựa vào đó để kết luận.
	b) Nếu tìm GTLN-GTNN của hàm số trên đoạn thì ta có thể thực hiện như sau: 
	+ Tìm đạo hàm .
	+ Tìm các điểm tới hạn của trên đoạn .
	+ Tính các giá trị 
	+ Số lớn nhất trong các số là GTLN cần tìm. Số nhỏ nhất trong các số là GTNN cần tìm.
	② Tìm tập giá trị:
	Để tìm GTLN−GTNN của hàm số trên tập D ta có thể tìm tập giá trị của trên D Þ GTLN−GTNN.
	③ Sử dụng bất đẳng thức:
	▪ Bước 1: Xác lập bất đẳng thức dạng M ( m) với m, M là hằng số.
	▪ Bước 2: Xét xem dấu đẳng thức xảy ra khi nào.
	▪ Bước 3: Kết luận.
	F Để xác lập bất đẳng thức ta có thể sử dụng:
	+ Bất đẳng thức Cô−si: Với hai số không âm a, b ta có: 
	Với ba số không âm a, b, c ta có: 
	+ Các hằng đẳng thức: .
	+ Phương pháp tam thức bậc hai: 
	+ Các bất đẳng thức tam giác, véctơ: . 
	3. Chú ý: Một số sai lầm khi tiến hành giải bài toán tìm GTLN - GTNN:
	1. Tìm GTNN của hàm số y = (x2 + 1)2 + 4.
	Nếu giải: Vì (x2 + 1)2 0 nên y 4. Vậy GTNN của y là 4.
	F Ở đây, kết luận như thế là sai. Trong định nghĩa chỉ có i.) được thỏa còn ii.) thì không: dấu đẳng thức không tồn tại vì phương trình (x2 + 1) = 0 vô nghệm.
	2. Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm GTNN của T = .
	Một học sinh giải như sau: Vì x, y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta được: T = . Vậy GTNN của T là 2.
	F Sai lầm ở đây tương tự như câu 1. vì đẳng thức xảy ra khi (xy)2 = 1 xy = 1 x(1 − x) = 1 x2 − x + 1 = 1 vô nghiệm.
	3. Cho x 6. Tìm GTNN của y = .
	Một học sinh giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có: 
	 y = . mà x 6 y . Vậy GTNN của y là .
	F Sai lầm ở đây là dấu “=” của hai lần sử dụng bất đẳng thức không đồng thời xảy ra (x2 = và x = 6).
	4. Tìm GTNN của y = sin2x − 6sinx + 5. 
	Một học sinh giải: Đặt t = sinx thì y = f(t) = t2 − 6t + 5. Do đồ thị của f(t) là một parabol lõm nên f đạt GTNN tại đỉnh S(3;−4) khi t = 3. Vậy GTNN của y là − 4.
	F Sai lầm ở đây là do lúc đặt ẩn mới, học sinh đã để thiếu điều kiện t [−1;1]. Để ý rằng t = 3 sinx = 3 vô nghiệm.
Ⓑ Các dạng toán:
	1. Tìm GTLN − GTNN của hàm số:
	ð Ví dụ 1: 
	①Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
	.
	②Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 
	.
	③ Trong tam giác ABC, tìm GTNN của .
	④ Cho . Tìm GTLN−GTNN của .
	→ Sử dụng 
	⑤ Cho , tìm GTNN của 
	→ Đặt ; xét hàm số .
2. Ứng dụng GTLN − GTNN giải bài toán về đơn điệu:
	ð Ví dụ và bài tập: 
	① Cho hàm số . Tìm m để hàm số nghịch biến trên .
	② Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trên .
	③ Xác định m để hàm số đồng biến trên .
	④ Xác định m để hàm số nghịch biến trên .
	3. Ứng dụng GTLN − GTNN để biện luận số nghiệm của phương trình và bất phương trình: 
y
x
O
a
b
m
m
m
	µ Mệnh đề bổ sung: 
	Giả sử hàm số liên tục trên D và đạt GTLN, GTNN trên miền D. Khi đó: 
	① Phương trình có nghiệm trên D Û ≤ m ≤ .
	② Hệ có nghiệm Û 
 m ≤ .
	③ Bất phương trình 
 nghiệm đúng với mọi Û 
	m ≤ .
	④ Hệ có nghiệm Û 
	m ≥ . 
	⑤ Bất phương trình nghiệm đúng với mọi Û m ≥ .
ð Ví dụ và bài tập: ① Tìm m để phương trình có nghiệm.
	② Cho phương trình . Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. (ĐH khối B − 2004)
	③ Cho phương trình . Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt.
	④ Cho phương trình . Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
	⑤ Cho bất phương trình . Tìm m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi .
	⑥ Cho bất phương trình . Tìm m để bất phương trình đã cho có nghiệm.
	⑦ Cho bất phương trình . Tìm m để bất phương trình đã cho đúng với mọi x. 
§4 PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
	● Đồ thị của hàm số: Đồ thị của hàm số trên tập D là tập hợp tất cả các điểm , của mặt phẳng tọa độ.
	ð Cho (C): ; M(x;y) thuộc (C) .
	● Công thức chuyển tọa độ: Cho I(x0;y0) công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo là: 
	● Vài phép biến đổi đồ thị đơn giản: 
	ð Đồ thị hàm số và đồ thị hàm số đối xứng nhau qua trục hoành.
	ð Biết đồ thị hàm số , suy ra được đồ thị hàm số như sau: 
	+ Vẽ thêm đồ thị hàm số (lấy đối xứng đồ thị hàm số qua trục hoành)
	+ Xóa bỏ phần đồ thị của hai hàm số phía dưới trục hoành. 
	ð Biết đồ thị hàm số , suy ra đồ thị hàm số như sau: 
	+ Giữ nguyên phần đồ thị ứng với Bỏ phần đồ thị hàm số phần bên trái trục tung.
	+ Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung. 
	● Ví dụ và bài tập: 
	① C/ minh rằng đồ thị hàm số: nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
	② Cho hàm số 
	ⓐ Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
	ⓑ Vẽ đồ thị hàm số 
	ⓒ Vẽ đồ thị hàm số 
	③ Cho hàm số 
	ⓐ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
	ⓑ Vẽ đồ thị hàm số 
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
§5 CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I. Giao điểm của hai đồ thị: 
	● Lý thuyết:
	Gọi là đồ thị của hai hàm số . Điểm là điểm chung của khi & chỉ khi tọa độ của điểm thỏa hai phương trình và , tức là hay là nghiệm của hệ phương trình: . Nên hệ phương trình (1) được gọi là hệ phương trình tọa độ giao điểm của.
	Khi đó là nghiệm của phương trình . Phương trình (2) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của . Số nghiệm của phương trình (2) là số điểm chung của .
	● Các dạng toán:
	① Số điểm chung của hai đường:
	Cho hai đường . Hãy tìm số giao điểm của hai đường .
	F Số điểm chung của là số nghiệm của phương trình .
	ð Ví dụ: Cho . Xác định m để và cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
	② Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình F(x,m)=0:
	F + Viết phương trình F(x,m)=0 lại dưới dạng: .
	+ Vẽ (thường là đã được vẽ trong các câu trước); 
	 ((d) cùng phương với Ox).
	+Cho m thay đổi → (d) thay đổi → số giao điểm của (C) và (d) là số nghiệm của phương trình F(x,m)=0. (Chú ý đến cực trị của (C)).
	ð Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình .
Bài tập:
	① Gọi là đồ thị hàm số . Chứng minh rằng đường thẳng (d): y=2x + m luôn cắt tại hai điểm phân biệt M và N. Xác định m sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất.
	②Gọi (dk) là đường thẳng đi qua điểm M(0;−1) và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng (dk) cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt.
	③ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Dựa vào đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình: .
	④ Với giá trị nào của m đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm M, N phân biệt? Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m biến thiên. 
II. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG: 
	● Lý thuyết: 
	F Hai đường cong tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình có nghiệm và nghiệm của hệ PT trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó.
	F là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị h.số tại điểm , trong đó .
	F Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là: hay .
	● Các dạng toán: 
	 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm: (Biết tọa độ tiếp điểm)
	F Sử dụng phương trình tiếp tuyến là 
	 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc của tiếp tuyến là k: 
	F Giải phương trình để tìm hoành độ tiếp điểm → → ptttt.
	Ü Chú ý: Cho hai đường thẳng ; ta có: 
	 và .
	 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA;yA):
	F Phương trình đường thẳng Δ đi qua có hệ số góc k là hay . Khi Δ tiếp xúc đồ thị hàm số để tìm hoành độ tiếp điểm và hệ số góc k ta giải hệ: thay (b) vào (a) → , thay vào (b) → k, thay vào (1) được pttt.
ð Ví dụ: 
	① Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng và tiếp xúc với đồ thị hàm số .
	② Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm .
	③ Tìm các tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến đi qua .	
	④ Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số tiếp xúc nhau. Hãy tìm tọa độ tiếp điểm.
	⑤ Viết phương trình tiếp tuyến với tại điểm uốn của . Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn của là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của . 
	⑥ Cho , viết phương trình tiếp tuyến của biết rằng tiếp tuyến này vuông góc đường thẳng .
	⑦ Cho hàm số có đồ thị là . Viết phương trình tiếp tuyến với biết rằng tiếp tuyến đi qua .
 Bài tập: 
 ① Cho hàm số: y = (1) (m là tham số) 
 	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = 1.
 	b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x
	② Cho hàm số: y = 
 	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
 	b) Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số. 
 ③ Cho hàm số: y = (1) (m là tham số)
 	a) Khảo sát sự biến