Tài liệu luyện thi Đại học - Khảo sát hàm số và giới hạn

 và AM = AB . CMR tgB = 3tgC 
Bài 14: G là trọng tâm và 
 CMR : 
Bài 15: Gọi I là tâm vòng tròn nội tiếp , gọi lần lượt là bán kính các vòng tròn ngoại tiếp các IBC, IAC, IAB 
 CMR : 
Bài 16: Cho vuông tại A, BC=a, phân giác thoả 
 1/ CMR : 
 2/ I là tâm vòng tròn nội tiếp . CMR : 
Bài 17: Gọi h,l là đường cao và phân giác xuất phát từ cùng một đỉnh. CMR : 
Bài 18: Cho nhọn, trực tâm H, đường cao thoả : 
 1/ Tính tgB.tgC
 2/ CMR : 
Bài 19: CMR: 
Bài 20: có diện tích S, vòng tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh của tại Gọi là cá cạnh của và là diện tích . CMR : 
 1/ 
 2/ 
Bài 21: có a, b, c lập thành cấp số cộng. CMR : ac=6Rr
Bài 22: Cho có a, b, c là cấp số cộng, công sai d. CMR 
 1/ 2/ 
 3/ là cấp số cộng 
Bài 23: Cho 
 1/ 
 2/ 
Bài 24: CMR : 
Bài 25: CMR : 
Bài 26: CMR : 
Bài 27: Cho 
 Tính cosA + cosB
Bài 28: Cho 
Bài 29: Cho . Tính sinA + sinB 
Bài 30: CMR :
Bài 31: Cho tam giác ABC có I là tâm vòng tròn nội tiếp, G là trọng tâm, biết GI vuông góc phân giác trong góc 
 1/ 
 2/ 
BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC
Bài 1: Chứng minh rằng :
 a/ b/ 
 c/ d/ 
 e/ f/ 
 g/ h/ 
Bài 2: CMR : 
Bài 3: CMR 
Bài 4: CMR : 
Bài 5: CMR : 
Bài 6: CMR : 
Bài 7: Cho 
Bài 8: nhọn . CMR : 
Bài 9: CMR : 
Bài 10: Cho : 
Bài 11: CMR : 
Bài 12: CMR : 
Bài 13: Cho 
Bài 14: Cho 
Bài 15: Cho có 3 góc nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
NHẬN DẠNG TAM GIÁC
Bài 1: Cho . Nhận dạng tam giác 
Bài 2: Cho . CMR cân 
Bài 3: Cho CMR cân
Bài 4: Xác định dạng biết 
Bài 5: . Xác định dạng 
Bài 6: CMR vuông 
Bài 7: CMR vuông 
Bài 8: . CMR vuông 
Bài 9: CMR vuông hoặc cân
Bài 10: . CMR vuông hoặc cân
Bài 11: . CMR cân
Bài 12: . CMR cân
Bài 13: . CMR cân
Bài 14: . CMR cân
Bài 15: . CMR đều 
Bài 16: nhận dạng tam giác 
Bài 17: CMR đều 
Bài 18: Cho nhọn : CMR cân
Bài 19: Cho : CMR đều 
Bài 20: . CMR đều 
 Bài 21: Cho . CMR đều 
Bài 22: . CMR đều 
Bài 23: . CMR vuông 
Bài 24: . CMR vuông 
Bài 25: Tính các góc biết 
Bài 26: Cho Tính A 
Bài 27: . Tính . Biết rằng nhọn 
Bài 28: Cho . CMR đều
Bài 29: . CMR cân 
Bài 30: Cho 
Bài 31: Cho . có tính chất gì 
Bài 32: thoả : . CMR đều
Bài 33: Cho : . CMR đều
Bài 34: Cho nhọn ABC thoả : 
 . CMR đều
Bài 35: . CMR đều
Bài 36: . CMR đều
Bài 37: . CMR đều
Bài 38: . CMR đều
Bài 39: . CMR đều
Bài 40: Cho tam giác ABC nhọn thoả : 
 . CMR đều
Bài 41: CMR đều
Bài 42: . CMR đều
Bài 43: Cho : . CMR đều
Bài 44: . CMR cân 
Bài 45: . CMR vuông 
Bài 46: . CMR vuông 
Bài 47: Cho nội tiếp trong vòng tròn có R=1. CMR : 
 đều 
Bài 48: Cho : . CMR vuông
Bài 49: Cho .
 Tính các góc 
Bài 50: Cho CMR cân tại B
Bài 51: Cho . Hãy xác định tam giác 
Bài 52: Cho : . 
 Xác định dạng tam giác 
Bài 53: . Xác định dạng tam giác
Bài 54: Cho : .
 Xác định dạng tam giác 
Bài 55: Cho : 
 Xác định dạng tam giác
Bài 56: Cho : . Tính các góc của tam giác 
Bài 57: Cho 
 CMR đều 
Bài 58: Cho Nhận dạng tam giác 
Bài 59: Cho CMR có ít nhất 1góc bằng 
Bài 60: Cho . CMR đều
Bài 61: Cho tam giác ABC có bán kính vòng tròn ngoại tiếp R = 2 , cotgA = 2 cotgB = 3cotgC
 a) CMR nhọn 
 b) Tính các cạnh 
bài 62: Cho CMR tam giác ABC cân 
bài 63: Cho . CMR tam giác ABC đều 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Giải hệ : 
Bài 2: Giải hệ: 
Bài 3: Giải hệ: 
Bài 4: Giải hệ: 
Bài 5: Giải hệ : 
Bài 6: Giải hệ : 
Bài 7: Giải hệ : 
Bài 8: Giải hệ : 
Bài 9: Giải hệ : 
Bài 10: Giải hệ : 
Bài 11: Giải hệ : 
Bài 12: Cho hệ : 
 1/ Giải hệ khi m = 1
 2/ Tìm m để hệ có nghiệm 
Bài 13: Cho hệ : 
 1/ Giải hệ khi m = 0
 2/ Tìm m để hệ có nghiệm 
Bài 14: Tìm m để hệ sau có nghiệm : 
Bài 15: Tìm x, y 
Bài 16: Giải hệ : 
Bài 17: Giải hệ : 
GIẢI TÍCH TỔ HỢP
A/ CÁC KIẾN THỨC CĂN BẢN VÀ CHỦ YẾU VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP
HOÁN VỊ : 
 1) Định nghĩa : 
 Coi tập X có n phần tử. Ta nói một hoán vị của n phần tử (của tập x) là một cách sắp xếp các phần tử của X theo một thứ tự nhất định nào đó 
 2) Quy ước : 
 * Ký hiệu để chỉ số các hoán vị của một tập có n phần tử.
 * O ! = 1
 3) Định lý: 
 Số hoán vị của một tập X có phần tử là n ! ta viết 
 4) Thí dụ : 
 các hoán vị là 1 2, 21
 các hoán vị là 123, 123
 213, 231
 312, 321
II. CHỈNH HỢP 
 1) Định nghĩa : 
 Coi tập X vó n phần tử sao cho . Ta nói một chỉnh hợp n chập r là một cách sắp xếp r phần tử của X theo một thứ tự nhất định nào đó .
 2) Hệ quả : 
 Một chỉnh hợp n chập n là một hoán vị của n phần tử 
 3) Quy ước : 
 Ký hiệu là số chỉnh hợp n chập r 
 Giải thích ký hiệu : 
 A: xuất xứ từ chữ Arrange (xắp xếp theo thừ tự) trong tiếng anh .
 : Số cách sắp xếp r phần tử trong n phần tử cho trước , theo một thứ tự định sẵn 
 4) Định lý : 
 Số chỉnh hợp n chập r của tập X có n phần tử là : 
 5) Thí dụ : 
 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau ?
 Mỗi số tự nhiên có 3chữ số khác nhau là một cách sắp đặt theo một thứ tự nhất định chữ số trong 10 chữ số 0,1,29 (không kể các cách sắp xếp có số 0 đứng đầu tiên) 
 Số cách sắp xếp có thứ tự 3 chữ số bất kỳ trong 10 chữ số bất kỳ là : 
 Số các số có 3 chữ số mà có số 0 đứng đầu tiên là : 
 Vậy số các số tự nhiên cần tìm là : 
 con số 
III. TỔ HỢP : 
 1) Định nghĩa : 
 Coi tập X có n phần tử .
 Ta nói một tổ hợp n chập r là một tập hợp con gồm r phần tử của tập X.
 2) Thí dụ minh hoạ : 
 Các tổ hợp 3 chập 2 của X là :
 Tổ hợp 3 chập 3 của X chính là : 
 3) Quy ước : 
 - Số các tổ hợp n chập r ký hiệu là 
 - Chú ý ký hiệu C xuất sứ từ chữ Compose.
 4) Định lý : 
 Coi tập X có n phần tử, số các phần tử n chập r là : 
 5) Vài tính chất của 
 * 
 * 
 6) Định lý : 
 Coi tập X có n phần tử. Số các tập con của X là 
 Bằng ngôn ngữ tổ hợp, ta có thể viết là : 
IV.1/ CÔNG THỨC NEWTON: 
 1) Công thức khai triển nhị thức Newton: 
 2) Tam giáac Pascal 
 Để dễ nhớ các hệ số trong khai triển của công thức Newto, ta có thể dùng bảng các hệ số sau đây gọi là tam giác pascal
 1 
 1 1 
 1 2 1 
 1 3 3 1 
 1 4 6 4 1 
 Cách nhớ : a b a + b
 c c
IV.2/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP :
 Trong khi thực hiện việc giải bài toán loại : “giải tích tổ hợp” học sinh có thể phải sử dụng : 
Nguyên lý nhân 
Hoán vị lặp 
Chỉnh hợp lặp 
Tổ hợp lặp 
 Ở dây, ta phát biểu “nguyên lý nhân” , các phát biểu (2) , (3) và (4) sẽ được đề cập trong một tài liệu khác 
º NGUYÊN LÝ NHÂN :
 Nêu một sự kiện (hay một công việc) xảy ra (hay thực hiện) qua k bước 
 Bước 1: có cách xảy ra (hay thực hiện) 
 Bước 2: có cách xảy ra (hay thực hiện)
 ..
 Bứơc k có n cach xảy ra (hay thực hiên) 
 Thì toàn bộ sự kiện (hay công việc) đó có thể xảy ra (hay thực hiện) theo cách khác nhau 
B. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP 
NGUYÊN LÝ ĐẾM
Bài 1: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt 
Bài 2: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số mà 2 chữ số cuối khác nhau .
Bài 3: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, chữ số 1 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần 
Bài 4: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt, trong đó phải có mặt chữ số 5 
Bài 5: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số phân biệt, trong đó có chữ số 0 và chữ số 1
Bài 6: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8 lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt không bắt đầu bởi 123.
Bài 7: Hai dãy ghế đối diện, mỗi dãy 6 ghế. Muốn xếp 6 học sinh trường A, 6 học sinh trường B. Có bao nhiêu cách , nếu :
 1/ Ngồi cạnh và ngồi đối diện phải khác trường 
 2/ Ngồi đối diện phải khác trường .
Bài 8: Cho A = 0 {0,1,2,3,4,5,6,7} . Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt 
 1/ Là số chẵn 
 2/ một trong 3 chữ số đầu = 1 
Bài 9: Xét dãy gồm 7 chữ số thoả : chẵn ; không chia hết cho 5; , , đôi một khác nhau. Có bao nhiêu dãy như vậy 
Bài 10: Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số phân biệt nhỏ hơn 600.000
Bài 11: Từ các chữ số : 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt nhỏ hơn 45.000.
Bài 12: Từ các chữ số 1,2,5,7,8 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số phân biệt < 278.
Bài 13: X = {1,2,3,4,5,6} có bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số phân biệt , lớn hơn 4300.
Bài 14: Có bao nhiêu số chẵn > 5000, gồm 4 chữ số phân biệt .
Bài 15: Một đa giác lồi n cạnh, có bao nhiêu đường chéo 
Bài 16: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số , trong đó : 
 1/ Có một chữ số 
 2/ có chữ số 1 và các chữ số phân biệt 
Bài 17: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số phân biệt không chia hết cho 10
Bài 18: Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số phân biệt chia hết cho 5
Bài 19: Từ các chữ số : 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số phân biệt không chia hết cho 3.
Bài 20: có bao nhiêu số gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi lần là số chẵn 
Bài 21: Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số chia hết cho 9 
Bài 22: Có bao nhiêu số chẵn gồm 3 chữ số phân biệt