Tài liệu luyện thi Đại học - Cực trị của hàm số Y = F(x) - Nguyễn Minh Triết

CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ Y = F(X)
Daïng 1: Tìm cöïc trò cuûa haøm soá y = f(x)
	+ MXÑ D
	+ Tìm y’ ,Cho y’ = 0 Þ cöïc trò (x,y)
+ Baûng bieán thieân 
X
-¥ +¥
Y’
Y
	Töø baûng bieán thieân ta coù theå keát luaän cöïc trò cuûa haøm soá.
Chuù yù :Ñeå tính giaù trò cưïc trò y0
+ Ñoái vôùi caùc haøm ña thöùc y=f(x): baäc 3 , baäc 4
	f(x) = ax3 + bx2 + cx + d 
f (x) = ax4 + bx2 + c
Laáy y chia cho y’
y
y’
px
R(x)
R(x) laø phaàn dö cuûa y chia y’
 y0 = f(x0 ) = R(x0)
+ Ñoái vôùi caùc haøm höõu tyû: 
 (haøm nhaát bieán)
	Tính giaù trò cöïc trò y0 = 
Chuù yù: Cho haøm soá y = f(x)
x0
x0
x0 laø cöïc tieåu Û 
x0 laø cöïc tieåu Û 
Ví duï: Tìm cöïc trò caùc haøm soá sau:
a) y = x3 – 3x2 + 3x – 4 	b) 
c) 	d) 	e) 
Ví duï 2: Tìm m ñeå haøm soá y = (m+2)x3 + 3x2 + mx – 5 coù cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu.
Daïng 2: Tính taêng (giaûm) cuûa haøm soá y = f(x) "xÎÂ 
Haøm soá y = f(x) ñoàng bieán (taêng) "xÎÂ Û y’ ³ 0 "xÎÂ 
 Haøm soá y = f(x) nghòch bieán (giaûm) " xÎÂ Û y’ £ 0 "xÎÂ 
Ví duï: Tìm caùc khoaûng taêng, giaûm cuûa caùc haøm soá sau: 
a) y = x3 – 3x + 9x – 2 	b) 
c) 	d) y = x – ex 
Ví duï: Ñònh m ñeå haøm soá: 
a) taêng treân mieàn xaùc ñònh 
b) giaûm treân töøng khoaûng xaùc ñònh cuûa noù
c) taêng treân töøng khoaûng xaùc ñònh cuûa noù.
Daïng 3: Tính taêng (giaûm) cuûa haøm soá y = f(x) "xÎD 
 	D = (-¥ ; a) 
D = (a ; b )
D = (b ; +¥).
Tính taêng (giaûm) cuûa haøm soá y = f(x) "xÎ(-¥ ; a )
TH1: Haøm soá y = f(x) ñoàng bieán (taêng) "xÎÂ Û y’ ³ 0 "xÎÂ
TH2: y = f(x) = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät (x 1 ¹ x2 )
X
-¥ (-¥ ; a ) x1 x 2 +¥
f(x)
 +a 0 -a 0 +a
a<x1<x2
Caùc tröôøng hôïp (a ; b ); (b ; +¥).giaûi töông töï.
Ví duï: Ñònh m ñeå haøm soá:
 taêng trong khoaûng ( - ¥ ; -2 )
Ví duï: Cho haøm soá y = . Tìm a ñeå haøm soá ñoàng bieán treân 
khoaûng ( 1; +¥)
Daïng 4: Söû duïng tính taêng (giaûm) cuûa haøm soá chöùng minh baát ñaúng thöùc:
+ Muoán chöùng minh: f(x) > g(x) vôùi x Î D, ta coi haøm soá: 
	h(x) = f(x) – g(x)
Tính h’(x) = f ’(x) – g ‘(x)
Chöùng minh h ‘(x) > 0 , x Î D. Vaäy h(x) laø haøm soá taêng.
Ta duøng tính chaát " x1,x2 Î D : x1 < x2 Û h(x1) < h(x2) 
Ví duï: Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc: 
ex > 1 + x , " x > 0	c) (x+1)lnx > 2x – 2 , " x > 1
x > ln(1+x) , " x > 0	d) Cho x > 0, x ¹ 1 . Chöùng minh: 
BAØI TAÄP
1) Tìm tham số m để hàm số:
a) y = x3-3mx2+4mx-1 luôn đồng biến
b) y = -x3+2x2-mx+m2+4 luôn nghịch biến
c) giảm trên từng khoảng xác định
d) tăng trên từng khoảng xác định
e) giảm trên từng khoảng xác định
f) tăng trên từng khoảng xác định.
2) Tìm m để hàm số:
a) y = x3-(m+1)x2-(2m2-3m+2)x +2m(2m-1) tăng 
b) y =-x3+mx2-m tăng trên (1,2) 
c) tăng trên (0,3)
d) giảm trên 
3) Chứng minh các bất đẳng thức:
a) ln(1+x)< x 	b) 	
c) 	d) 	
	e)
4) Tìm caùc ñieåm tôùi haïn cuûa haøm soá :y = f(x) = 3x+.
5) Xeùt tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá 
a) y = f(x) = x3-3x2+1.	b) y = f(x) = 2x2-x4.
c) y = f(x) = .	d) y = f(x) = .
e) y = f(x) = x+2sinx treân (-p ; p).	f) y = f(x) = xlnx.
g) y = f(x) = .	h) y= f(x) = x3-3x2.
	i) .	j) y= f(x) = x4-2x2. 
k) y = f(x) = sinx treân ñoaïn [0; 2p].
6) Cho haøm soá y = f(x) = x3-3(m+1)x2+3(m+1)x+1. Ñònh m ñeå haøm soá :
a) Luoân ñoàng bieán treân khoaûng xaùc ñònh cuûa noù.	Kq:1 £ m £ 0
b) Nghòch bieán treân khoaûng (-1;0).	Kq: m £ 
c) Ñoàng bieán treân khoaûng (2;+¥ ).	Kq: m £ 
7) Ñònh mÎZ ñeå haøm soá y = f(x) = ñoàng bieán treân caùc khoaûng xaùc ñònh cuûa noù.	Kq: m = 0
8) Ñònh m ñeå haøm soá y = f(x) = nghòch bieán treân nöûa khoaûng [1;+¥).	 	Kq: m £ 
9) Chöùng minh raèng : , "x > 0.
10) Chöùng minh raèng : haøm soá luoân luoân taêng treân khoaûng xaùc ñònh (treân töøng khoaûng xaùc ñònh) cuûa noù :
a) y = x3-3x2+3x+2.	b) . 	c) . 	
11) Tìm m ñeå haøm soá :
a) Luoân luoân ñoàng bieán treân khoaûng xaùc ñònh cuûa noù.
b) Luoân luoân ñoàng bieán treân khoaûng (2;+¥)
12) Tìm m ñeå haøm soá : luoân ñoàng bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh cuûa noù. 
13) Tìm m ñeå haøm soá : luoân ñoàng bieán treân khoaûng (1;+¥).	Kq: 
14) Tìm m ñeå haøm soá y = x2.(m-x)-m ñoàng bieán treân khoaûng (1;2). Kq: m³3
15) Chöùng minh raèng : 
	a) ln(x+1) 0.	b) cosx >1-, vôùi x > 0 .