Tài liệu học tập Hình học 10 - Chương I: Vectơ

AC BD b). + + + =



 


 


 


 
0OA OB OC OD 
 c). + + + =



 


 



 



 




4MA MB MC MD MO (M là điểm bất kỳ) 
Bài 8: Gọi M,N là trung điểm AB và CD của tứ giác ABCD. Cmr: 
 = + = +




 


 


 


 



2MN AC BD BC AD 
Bài 9: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. 
 CMR: + + =




 


 


 
0AM BN CP . 
Bài 10: CMR: nếu G và G’ là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’ 
thì + + =



 


 



 




' ' ' '3AA BB CC GG . Suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm. 
Bài 11: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 
 G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ + + =



 


 


 
0GA GB GC 
 ⇔ + + =



 


 



 




3MA MB MC MG . 
Bài 12: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là 
điểm đối xứng của A qua O. 
WW
W
.
V
N
M
A
T
H
.
C
O
M
 Hình Học 10 - 9 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
a). Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành. 
b). Chứng minh: 
 + =



 


 



2HA HD HO , + + =



 


 


 



2HA HB HC HO , + + =



 


 


 



OA OB OC OH . 
c). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. CMR: =



 



3OH OG . 
 Từ đó có kết luận gì về 3 điểm O,H,G. 
Bài 13: Cho tứ giác ABCD. 
a). Gọi M,N là trung điểm AD, BC, chứng minh: ( )= +



 


 


1
2
MN AB DC 
b). Gọi O là điểm nằm trên đoạn MN và OM = 2ON. 
 CMR: − − + =



 


 


 


 
2 2 0OA OB OC OD 
Bài 14: Cho tam giác A, B, C. G là trọng tâm của tam giác và M là một điểm tuỳ ý 
trong mặt phẳng. CMR: 
a). 0+ + =



 


 


 
GB GB GC b). 3+ + =



 


 



 




MB MB MC MG . 
Bài 15: Cho hình bình hành ABCD tâm I. ;= =



  


 
AO a BO b 
a). Chứng minh rằng: 2+ =



 


 


AB AD AI 
b). Tính ; ; ; ; ;



 


 


 


 


 



AC BD AB BC CD DA theo ;
 
a b . 
Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D; M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh 
rằng: 4+ + + =



 


 


 


 




AD BD AC BC MN . 
Bài 17: Gọi O; H; G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng tâm của tam 
giác ABC. Chứng minh rằng: a) 2+ + =



 


 


 



HA HB HC HO b) 2=



 



HG GO . 
Bài 18: Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác; D, E, 
F lần lượt là hình chiếu của nó trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng: 
3
2
+ + =




 


 



 




MD ME MF MO . 
Bài 19: Cho 4 điểm A, B, C, D; I, F lần lượt là trung điểm của BC, CD. CM: 
 ( )2 3+ + + =


 

 


 


 


AB AI FA DA DB . 
Bài 20: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm; H là điểm đối xứng với B qua G. CM: 
a). 2 1AC AB
3 3
= −




 


 



AH ; ( )1 AB AC3= − +



 


 



CH . 
b). M là trung điểm của BC. CM: 1 5AC AB
6 6
= −




 


 



MH . 

Dạng 2: Tìm một điểm thỏa một đẳng thức vecto cho trước. 
* Phương pháp tìm điểm M thỏa một đẳng thức vecto cho trước: 
• B1: Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng: =




 
AM u , trong đó A là điểm cố định, 

u cố định. 
• B2: Dựng điểm M thỏa =




 
AM u . 
 Hình Học 10 - 10 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
Bài Tập: 
Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. tìm điểm K sao cho: + =



 


 
3 2 0KA KB . 
Bài 2: Cho tam giác ABC. 
a). Tìm điểm I sao cho + =


 

 
2 0IA IB 
b). Tìm điểm O sao cho + + =



 


 


 
0OA OB OC 
c). Tìm điểm K sao cho + =



 


 



2KA KB CB 
d). Tìm điểm M sao cho + + =



 


 



 
2 0MA MB MC 
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm O sao cho + + + =



 


 


 


 
0OA OB OC OD 
Bài 4: Cho tam giác ABC. 
a). Tìm điểm I sao cho + =


 

 
2 3 0IB IC 
b). Tìm điểm J sao cho − − =


 

 


 
2 0JA JB JC 
c). Tìm điểm K sao cho + + =



 


 


 



KA KB KC BC 
d). Tìm điểm K sao cho + + =



 


 


 



2KA KB KC BC 
e). Tìm điểm L sao cho − + =


 


 


 
3 2 0LA LB LC 

 HD: 
c). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó với mọi K ta có: + + =



 


 


 



3KA KB KC KG 
e). − + = − + +


 


 


 

 


 

 



3 2 ( ) 2( )LA LB LC LA LB LA LC . Sau đó áp dụng quy tắc 3 điểm và 
hệ thức trung điểm. 
Bài 5: Cho hai điểm A, B. Xác định điểm M biết: 2 3 0− =



 


 
MA MB 
Bài 6: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh 
AC sao cho NC=2NA. 
a). Xác định điểm K sao cho: 3 2 12 0+ − =



 


 


 
AB AC AK 
b). Xác định điểm D sao cho: 3 4 12 0+ − =



 


 


 
AB AC KD 
Bài 7: Cho các điểm A, B, C, D, E. Xác định các điểm O, I, K sao cho: 
). 2 3 0
). 0
). 3( ) 0
+ + =
+ + + =
+ + + + =



 


 


 


 

 

 

 



 


 


 


 


 
a OA OB OC
b IA IB IC ID
c KA KB KC KD KE
Bài 8: Cho tam giác ABC. Xác định các điểm M, N sao cho: 
a). 2 0+ =



 


 
MA MB b). 2+ =



 


 



NA NB CB . 
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. Xác định điểm M thoả mãn: 
 3 = + +




 


 


 



AM AB AC AD . 
Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm O thoả mãn: 0+ + + =



 


 


 


 
OA OB OC OD 
WW
W
.
V
N
M
A
T
H
.
C
O
M
 Hình Học 10 - 11 - 
 Gv : Trần Duy Thái 

 Dạng 3: Phân tích một vecto theo hai vecto không cùng phương. 
* Phương pháp: Áp dụng các kiến thức: 
* Quy tắc 3 điểm: = +



 


 



AB AO OB (phép cộng) 
 = −



 


 



AB OB OA (phép trừ) 
* Quy tắc đường chéo hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì 
 = +



 


 



AC AB AD 
* Tính chất trung điểm: I là trung điểm AB ⇔ + =


 

 
0IA IB 
 ⇔ + =



 


 



2MA MB MI (M bất kỳ) 
* Tính chất trọng tâm: G là trọng tâm ∆ABC ⇔ + + =



 


 


 
0GA GB GC 
 ⇔ + + =



 


 



 




3MA MB MC MG (M bất kỳ) 
Bài Tập: 
Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D,E,F lần lượt là trung điểm 
các cạnh BC, CA, AB. I là giao điểm AD và EF. Hãy phân tích các vecto 


 


 


 



, , ,AI AG DE DC theo hai vecto 



 



,AE AF . 
Bài 2: Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho =



 




3MB MC . Hãy phân tích 
vecto 





AM theo hai vecto 



 



,AB AC . 
Bài 3: Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích 
vecto 





AM theo hai vecto 



 



,AB AC . 
Bài 4: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vecto 



 


 



, ,AB BC CA theo hai vecto 



 



,AK BM . 
Bài 5: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của đoạn AG, K là 
điểm trên cạnh AB sao cho =
1
5
AK AB . Hãy phân tích 


 


 

 



, , ,AI AK CI CK theo 



 



,CA CB . 
Bài 6: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a. 
a. Phân tích vecto 




AD theo hai vecto 



 



,AB AF . 
b. Tính độ dài = +
 


 


1 1
2 2
u AB BC theo a. 
Bài 7: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Phân tích 





AM theo hai vecto 



 



,AB AC . 
Bài 8: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho 
NA = 2NC. Gọi K là trung điểm MN. Phân tích vecto 




AK theo 



 



,AB AC . 
 Hình Học 10 - 12 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
Bài 9: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho 
NC = 2NA. Gọi K là trung điểm MN. 
a. Phân tích vecto 




AK theo 



 



,AB AC . 
b. Gọi D là trung điểm BC. Cm: = +



 


 


1 1
4 3
KD AB AC . 
Bài 10: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P là trung điểm BC,CA,AB. Tính các vecto 



 


 



, ,AB BC CA theo các vecto 



 



,BN CP 
Bài 11: Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm CD. Hãy phân tích 




AE theo hai 
vecto 



 



,AD AB . 
Bài 12: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng của B qua G. 
a). Chứng minh: = −



 


 


2 1
3 3
AH AC AB , ( )= − +


 


 


1
3
BH AB AC . 
b). Gọi M là trung điểm BC, chứng minh: = −




 


 


1 5
6 6
MH AC AB . 
Bài 13: Cho hình bình hành ABCD, tâm O. đặt = =



  


 
,AB a AD b . Hãy tính các vecto 
sau đây theo 
 
,a b . 
a). 



AI (I là trung điểm BO). 
b). 




BG (G là trọng tâm tam giác OCD). 
 * ĐS: = + = − +


   


  3 1 1 5
4 4 2 6
AI a b BG a b 
Bài 14: Cho tam giác ABC và G là trọng tâm. B1 đối xứng với B qua G. M là trung 
điểm BC. Hãy biểu diễn các véc tơ 





AM , 



 


 


 



 




1 1 1, , , ,AG BC CB AB MB qua hai véc tơ 



 



,AB AC . 
Bài 15: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J thuộc 
BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. 
a). Tính 


 


,AI AJ theo hai véc tơ 



 



,AB AC . Từ đó biểu diễn 



 



,AB AC theo 


 


,AI AJ . 
b). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính 




AG theo 


 


,AI AJ . 

 Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng: 
* Phương pháp: Ba điểm A,B,C thẳng hàng ⇔ =



 



.AB k AC 
 Để chứng minh được điều này ta có thể áp dụng một trong hai phương pháp: 
 + Cách 1: Áp dụng các quy tắc biến đổi véctơ. 
 + Cách 2: Xác định hai véctơ trên thông qua tổ hợp trung gian. 
WW
W
.
V
N
M
A
T
H
.
C
O
M
 Hình Học 10 - 13 - 
 Gv : Trần Duy Thái 
Bài Tập: 
Bài 1 : Cho 4 điểm O, A, B, C sao cho 3 2 0OA OB OC− − =



 


 


 
. CMR: A, B, C thẳng 
hàng. 
Bài 2 : Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM và K là một 
điểm trên cạnh AC sao cho AK = 
1
3
AC. 
a). Phân tích vecto 



 


,BK BI theo hai vecto 



 



,BA BC 
b). Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. 
Bài 3: Cho ∆ ABC. I là điểm trên cạnh AC sao cho = 1
4
CI AC , J là điểm mà 
= −


 


 


1 2
2 3
BJ AC AB 
a). Chứng minh rằng = −


 


 


3
4
BI AC AB 
b). Chứng minh B, I, J thẳng hàng. 
Bài 4: Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC; D và E là hai điểm sao cho: 
= =



 


 



BD DE EC 
a). Chứng minh: + = +



 


 


 



AB AC AD AE . 
b). Tính véctơ: = + + +



 


 


 


 



AS AB AD AC AE theo 



AI . 
c). Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng. 
Bài 5: Cho tam giác ABC. Đặt ;= =



  


 
AB u AC v 
a). Gọi P là đi