Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

 = 0
ĩ 3y(y – 1) – 10(y – 1) = 0
ĩ (y – 1)(3y – 10) = 0
ĩ y = 1 và y = 
* y = 1 ĩ x + = 1
 => x2 – x + 1 = 0
 ĩ > 0 x
Vậy p.t VN.
*y = ĩ x + 
 ĩ 3x2 – 10x + 3 = 0
 ĩ (3x – 1)(x – 3) = 0
P.t có 2 nghiệm là x = và x = 3.
 * BÀI 23:	Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng pp thêm bớt cùng 1 hạng tử)
a4 + 4b4 = a4 + 4a2b2 – 4a2b2 + 4b4
 = (a2)2 + 2.2a2b2 + 4b2 – 4a2b2
	 	= (a2 + 2b2)2 – (2ab)2
	= (a2 + 2b2 – 2ab)(a2 + 2b2 + 2ab)
a4 + a2 + 1 = a4 + a2 + a2 – a2 + 1
 = (a2)2 + 2a2 + 1 – a2
 = (a2 + 1)2 – a2
 = (a2 – a + 1)(a2 + a + 1)
BÀI 24:
Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng pp đặt biến phụ)
Q = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
 Đặt: Y = x2 + x + 1 ta có:
 Q = Y(Y + 1) – 12
 = Y2 + Y – 12
 = Y2 – 3Y + 4Y – 12
 = (Y – 3)(Y + 4)
Trở về biến x ta được:
 Q = (x2 + x + 1 – 3)(x2 + x + 1 + 4)
 = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5)
 = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 5)
P = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
 = (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) – 24
 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 24
 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 4 + 2) – 24
Đặt Y = x2 + 5x + 4 ta được:
 P = Y(Y + 2) – 24
 = Y2 + 2Y – 24
 = Y2 + 6Y – 4Y – 24
 = (Y + 6)(Y – 4)
Trở về biến x ta được:
 P = (x2 + 5x + 4 + 6)(x2 + 5x + 4 – 4)
 P = (x2 + 5x + 10)(x2 + 5x )
 = x(x + 5)(x2 + 5x + 10)
 *BÀI 25:	Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng pp phối hợp nhiều pp)
x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1
 	 = (x10 + x8 + x6) + x4 + x2 + 1)
	 = x6(x4 + x2 + 1) + (x4 + x2 + 1)
 	 = (x4 + x2 + 1)(x6 + 1)
 	 = (x4 + x3 – x3 + x2 + x2 – x2 + x – x + 1)[(x2)3 + 13]
	 = [(x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)][(x2)3 + 1]
	 = [(x2 + x + 1)(x2 – x + 1)][(x2 + 1)(x4 – x2 + 1)]
a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc
 = ab2 + ac2 + bc2 + ba2 + (ca2 + cb2 + 2abc)
 = ab(b + a) + c2(a + b) + c(a2 + b2 + 2ab)
 = (a + b)[(ab + c2) + c(a + b)]
 = (a + b)(ab + c2 + ac + bc)
 = (a + b)(b + c)(c + a)
 *BÀI 26:
Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Tia MN cắt tia AD ở E và cắt tia BC ở F. CM: .
	Giải
Gọi I là trung điểm của BD, ta có: 
 BF // IN => 
 AE // MI => 
Xét MNI có:
IM = IN (2 đường trung bình)
=> MNI cân tại I
=> 
=> 
 * BÀI 27:
	Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Các đoạn thẳng cắt nhau tại I. CM: IA = AD.
	Giải
 Từ A kẻ AP DN cắt DC tại K, cắt DN tại I.
 Xét MCB và NDC có: 
 DC = BC
 NC = BM
 = 900
=> MCB = NDC (c.g.c)
 => Mà: = 900
 => = 900 => MC DN
 Ta lại có:
 AK DN => AK // MC
 Xét ADK và CBM có:
 AD = BC
 = 900
 => ADK = CBM (g.c.g)
 => DK = BM
 Mà M là trung điểm của AB => K là trung điểm của CD
DP = IP ( PK là đường TB DIC)
DAI cân tại A
 AD = AI
*BÀI 28:	Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền thành 2 đoạn có độ dài 9 cm và 16 cm. Tính chu vi tam giác ABC.
	Giải
	Xét ABH và CBA có:
	 chung 
	 Â = = 900
 => ABH ~ CBA (g.g)
 => 
 => AB2 = CB.BH
	 = 25. 9 = 225
AB = 15 (cm)
Aùp dụng ĐL Pitago trong vuông ABC ta có:
	AC2 = BC2 – AB2
	 = 252 – 152 = 625 – 225 = 400
AC = 20 (cm)
Chu vi ABC:
AB + AC + BC = 15 + 20 + 25 = 60 (cm)
BÀI 29:Giải phương trình:
 3x4 – 13x3 + 16x2 – 13x + 3 = 0
	Giải
Chia 2 vế cho x2 ta có:
3x2 – 13x + 16 = 0
 ĩ 3 + 16 = 0
 Đặt: x + = y => x2 + = y2 – 2
 3(y2 – 2) – 13y + 16 = 0
ĩ (y – 1)(3y – 10) = 0 ĩ 
 * y = 1 => x + = 1 PT này VN.
 Vì: x2 – x + 1 = > 0
y = => (3x – 1)(x – 3) = 0 ĩ 
Vậy p.t đã cho có 2 nghiệm là x = và x = 3. 
*BÀI 30: Chứng minh rằng:
	a) (với a, b > 0)
	b) (với a, b, c > 0)
	c) (a2 + b2)c + (b2 + c2)a + (c2 + a2)b ≥ 6abc (với a, b, c > 0)
	 Giải
c)Ta có: (a – b)2 ≥ 0 => a2 + b2 ≥ 2ab
 ĩ (a2 + b2)c ≥ 2abc
Tương tự ta có: (b2 + c2)a ≥ 2abc
	 (c2 + a2)b ≥ 2abc
(a2 + b2)c + (b2 + c2)a + (c2 + a2)b ≥ 6abc
Xảy ra đẳng thức ĩ a = b = c
Ta có:(a - b)2 ≥ 0 a2 + b2 -2ab ≥ 0
 ĩ a2 + b2 ≥ 2ab ĩ ĩ 
Ta có: VT = = 
Theo KQ câu a, ta có:
VT ≥ 6
 *BÀI 31: Giải bất phương trình sau:
 < 0
ĩ < 0
ĩ < 0ĩ < 0
 ĐKXĐ : x ≠ 0 ; x ≠ -5
Nếu x > 0 thì x(x + 5) > 0 ĩ > 0
Vậy BPT vô nghiệm.
Nếu -5 < x < 0 thì x(x + 5) < 0 ĩ < 0
Vậy BPT có nghiệm là -5 < x < 0
*Nếu x 0 ĩ > 0
Vậy BPT vô nghiệm.
Vậy BPT đã cho có nghiệm -5 < x < 0
*BÀI 32: Giải phương trình: = 9
1)Nếu x = -x + 4 và = -x – 1
 P.t trở thành: -x + 4 – x – 1 = 9 (ĐK: x < -1)
	 x = -3 (TMĐK)
 2) Nếu -1 ≤ x ≤ 4 thì x – 4 ≤ 0 và x + 1 ≥ 0 => = -x + 4 và = x + 1
 P.t trở thành: -x + 4 + x + 1 = 9 (ĐK: -1 ≤ x ≤ 4)
	ĩ 0x = 4 VN
 3) Nếu x > 4 thì x – 4 > 0 và x + 1 > 0 => = x – 4 và = x + 1
 P.t trở thành: x – 4 + x + 1 = 9 (ĐK: x > 4)
	ĩ x = 6 (TMĐK)
 Vậy p.t đã cho có tập nghiệm là S = 
BÀI 33: Rút gọn các biểu thức: (n là số nguyên dương)
A = 
Ta có: 
Do đó: 2A = = 1 - 
A = 
B = 
Kết quả: B = 
 *BÀI 34:	Giải và biện luận phương trình:
	 m(x + 3) – 2(m + 1) = 3m – 4x
mx + 3m – 2m – 2 = 3m - 4x
(m + 4)x = 2(m + 1)
Biện luận:
Nếu m + 4 ≠ 0 ĩ m ≠ -4 ta có: x = 
Nếu m + 4 = 0 ĩ m = -4 p.t trở thành: 0x = -6 VN
Không có giá trị nào của m để p.t có VSN.
* BÀI 35: Cho A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 – a4 – b4 – c4
Phân tích A thành nhân tử.
CMR: Nếu a, b, c là 3 cạnh của tam giác thì A > 0.
Giải
A = 4a2b2 – (a4 + 2a2b2 + b4 + c4 – 2b2c2 – 2a2c2 )
 = (2ab)2 – (a2 + b2 – c2 )2
 = (2ab + a2 + b2 – c2 )(2ab – a2 – b2 + c2 )
 = [(a + b)2 – c2][-(a – b)2 + c2 ]
 A = (a + b + c)(a + b – c)(c + a – b)(c – a + b)
b) Nếu a, b, c là các cạnh của tam giác thì:
 a + b + c > 0 ; a + b – c > 0 ; c + a – b > 0 ; c – a + b > 0
=> A > 0
* BÀI 36: Tính giá trị của đa thức:
P(x) = x7 – 80x6 + 80x5 – 80x4 +.+ 80x + 15 tại x = 79
b) Q(x) = x14 -10x13 + 10x12 – 10x11 +..+ 10x2 – 10x + 10 tại x = 9
	Giải
Ta có:
P(x) = x7 – 79x6 – x6 + 79x5 + x5 – 79x4 – x4 +..+79x + x + 15
 = x6(x – 79) – x5(x – 79) + x4(x – 79)- .. –x(x – 79) + x + 15
Thay x = 79 vào ta có:
P(79) = 94
Ta có:
Q(x) = x14 – 9x13 – x13 + 9x12 + x12 – 9x11 - .. + 9x2 + x2 – 9x – x + 10
 = x13(x – 9) – x12(x – 9) + x11(x – 9) - . + x(x – 9) – x + 10
Thay x = 9 vào ta có:
Q(9) = 1
BÀI 37: 	Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Kẻ MD AB ; ME AC.
CM : DE = AM.
CM: ADE ~ ABC.
Giải
Ta có:
 Â = 900 (gt) 
 = 900 ( MD AB)
 = 900 ( ME AC)
Tứ giác ADME là HCN.
DE = AM (2 đường chéo HCN)
Ta có MB = MC (gt)
 MD // AC (2 cạnh đối HCN)
D là trung điểm của AB.
CM tương tự ta có:
 E là trung điểm của AC.
=> DE là đường TB của ABC.
=> DE // BC
=> ADE ~ ABC
 * BÀI 38:	Cho tam giác ABC có AB = AC = 9cm. Tia phân giác góc B cắt đường cao AH ở I. Biết . Tính chu vi tam giác ABC.
	Giải
Ta có: BI là phân giác .
Aùp dụng t/c đường phân giác trong ABH ta có: 
=> 
=> BH = 6 cm
Ta lại có:
ABC cân tại A có AH là đường cao nên cũng là trung tuyến.
BC = 2BH = 2.6 = 12 cm
Chu vi ABC = 9 + 9 + 12 = 30 cm
 *BÀI 39:Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của phân thức sau cũng là số nguyên.
	A = 
 ĐKXĐ: x ≠ -2
 Ta có: A = (3x – 10) + 
	A nguyên ĩ nguyên ĩ 3 (x + 2) ĩ x + 2 Ư (3)
	ĩ x + 2 = ± 1 ; ± 3
	* x + 2 = 1 ĩ x = -1 (TMĐK)
	* x + 2 = -1 ĩ x = -3 (TMĐK)
	* x + 2 = 3 ĩ x = 1 (TMĐK)
	* x + 2 = -3 ĩ x = -5 (TMĐK)
	Vậy với x { -5 ; -3 ; -1 ; 1 } thì A có giá trị nguyên.
 * BÀI 40:Cho x 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:	A = 
Tìm x để A có GTNN.
	Giải
Ta có:
	A = 
 = 
 = 2001 + 
Vì : (x – 1)2 ≥ 0 và x2 > 0
Nên: 2001 + 
GTNN của A là 2001 ĩ x = 1
BÀI 41:Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a, tâm O. Kẻ đường thẳng d bất kì qua O, d không trùng với AC, BD. Kẻ AM, BN, CP, DQ lần lượt vuông góc với d.
Tính AM2 + BN2 + CP2 + DQ2 theo a.
	Giải
Xét vuôngAMO và vuông ONB có:
	OA = OB (t/c đường chéo hình vuông) 
	 (cùng phụ )
=> AMO = ONB (CH-GN)
=> BN = OM
CM tương tự ta có:
	CPO = OQD
CP = OQ
AM2 + BN2 + CP2 + DQ2
 = (OA2 – OM2) + (OB2 – ON2) + (OC2 – OP2) + (OD2 – OQ2)
 = (OA2 + OB2 + OC2 + OD2) – (OM2 + ON2 + OP2 + OQ2)
 = (OA2 + OB2 + OC2 + OD2 ) – [(BN2 + (OB2 – BN2) + (OC2 – CP2) + CP2 ]
 = OA2 + OB2 + OC2 + OD2 – OB2 – OC2
 = OA2 + OD2
 = AD2 = a2
 * BÀI 42:Cho tam giác nhọn ABC, M là điểm thuộc miền trong của tam giác, các đường thẳng AM, BN, CM lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại Q, N , P.
CM: .
CMR: Tổng không phụ thuộc vào vị trí của điểm M thuộc miền trong tam giác ABC.
Giải
Kẻ MH BC ; AK BC
MH // AK
MHQ ~ AKQ
Ta lại có:
=> 
b) CM tương tự câu a ta có:
=> 
 = = = 1 (hằng số)
Vậy: tổng không phụ thuộc vào vị trí của điểm M thuộc miền trong tam giác ABC.
 *BÀI 43: 	Cho x ≠ 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:	B = 
 Ta có:B = 
 Đặt: y = x + 1 => x = y – 1
B = = = = 
Đặt: t = 
B = 1 – t + t2 = t2 – t + 1 = (t - )2 + ≥ 
GTNN của B là ĩ t = 
t = ĩ ĩ y = 2
y = 2 ĩ x + 1 = 2 ĩ x = 1
 Vậy GTNN của B là ĩ x = 1
 *BÀI 44:Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Lấy 2 điểm M , N trên 2 cạnh BA, CA thoả mãn: BM.BN = OB2 = OC2.CM: Ba tam giác MBO, OCN và MON đồng dạng.
	Giải
 *Xét MBO và OCN có: 
 (gt)
 => 
 => MBO ~ OCN (c.g.c) (1)
 * Xét OCN và MON có:
 ( do MBO ~ OCN) => 
 Ta lại có:	
 Và: 
 Mà : 
 => => OCN ~ MON (c.g.c) (2)
 Từ (1) và (2) => MBO ~ OCN ~ MON
BÀI 45:Phân tích đa thức sau thành nhân tử:x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
 = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 = (xy2 – yx2) + (yz2 – xz2) + (zx2 – zy2)
 = xy(y – x) + z2(y – x) –z(y2 – x2) = (y – x)[xy + z2 – z(y + x)]
 = (y – x)(xy + z2 – zy – zx) = (y – x)[x(y – z) – z(y –