Tài liệu bổ trợ luyện thi Đại học môn Toán - Một số bài toán cực trị trong không gian tọa độ Bài 5

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ
 TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ 
(Tài liệu bổ trợ luyện thi Đại Họcmôn Toán )
BÀI TOÁN 5
Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: và mặt phẳng 
(P):x+2y-z+5=0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất.
Lời giải tham khảo
Cách 1: Phương pháp hình học:
	Gọi d’= (P)(Q) và A=d (P) thì A d’.Lấy K d,kẻ KH (P) và HI d’thì :
 . Trong tam giác vuông KIH :, do KH không đổi nên:
	 tan nhỏ nhất HI lớn nhất I (do HI HA)
.
	Khi ấy thì d’ vuông góc với d . Vậyd’đi qua A vuông góc với d và nằm trong (P).
	Mặt phẳng (Q) cần tìm là mặt phẳng chứa d và d’.
	VTCP của d là ; VTPT của (P) là suy ra VTCP của d’ là 
 . Do đó VTPT của mặt phẳng (Q) là:
	 .
	Điểm M(-1;-1;3)d M (Q).
	Mặt phẳng (Q) cần tìm có phương trình: 0(x+1)+1(y+1)-1(z-3) = 0
	 y-z+4 = 0
 Cách 2: Phương pháp giải tích.
	Đặt phương trình mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz +D = 0 
	M(-1;-1;3) d ; N(1;0;4) d M;N (Q) Ta được: 
	Do đó (Q): . VTPT của (Q) là .
	Ta có VTPT của mặt phẳng (P) là :.Gọi là góc giữa (P) và (Q) thì:
	.
	Ta xét hai trường hợp của A.
	Trường hợp 1: A=0. Ta được cos = 
	Trường hợp 2: A Ta có 
	 Xét hàm số: f(x) = 
	 ; f’(x) = 0 x= -1.	
	x
+
-1
f’(x)
f(x)
0
-
+
0
-
	 Vậy cos2 < ( Do hàm cosin x nghịch biến trên đọan ) 	 
	 Trường hợp (1) và (2) (Trường hợp 1 )
	 Khi ấy thì A=0 , ta chọn B=1 C= =1 và D= 4.
 Phương trình mặt phẳng (Q) : y-z+4 = 0.
	Cách khác: ( Dùng chùm mặt phẳng)
	Ta viết phương trình d dạng: . Mặt phẳng (Q) chứa d nên thuộc chùm mặt
	phẳng : m(x-2y-1) +n(y-z+4)=0 hay mx + (-2m+n)y –nz –m + 4n = 0.
	VTPT của hai mặt phẳng là: 
	Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) thì 
	Trường hợp 1: n=0 thì 
	Trường hợp 2: 
	Xét hàm số 	
	Tập xác định : D=R.
Bảng biến thiên:
x
-
0
1
0
0
f’(x)
f(x)
-
+
+
3/4
0
3/10
3/10
	Ta có : 
	Trường 1 và 2 ( nghịch biến trên
	) đạt được khi . Chọn m=0 và n=1 ta được (Q) : y-z+4=0
Hết bài toán 5 (GV Nguyễn Ngọc Aán -Trường THPT Vĩnh Long)