Tài liệu bổ trợ luyện thi Đại học môn Toán - Một số bài toán cực trị trong không gian tọa độ Bài 4

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ
 TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ 
(Tài liệu bổ trợ luyện thi Đại Họcmôn Toán )
BÀI TOÁN 4 
Bài tập : Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và tạo với trục Oy góc lớn nhất. 
 Lời giải tham khảo.
 Cách 1: Phương pháp hình học.
	Qua điểm A trên d dựng đường thẳng d’ song song với Oy. Lấy điểm M trên d’ ; gọi K là hình 
chiếu của M trên d. ta có : .Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên
 (P) thì . Như thế : .Trong tam giác 
vuông MHK thì . Vậy mặt phẳng (P) cần tìm
vuông góc với MK tại K.
Giải: A(1;-2;0) thuộc d. Đường thẳng Oy có véctơ chỉ phương ; nên nếu d’ qua A
 và song song với Oy thì d’ có phương trình là . Lấy M(1;-1;0) thuộc d’ thì hình 
chiếu vuông góc của M trên d là ) . Chọn véctơ pháp tuyến
của (P) là .Phưong trình mặt phẳng (P): 
	 Kết quả: (P): x+5y-2z+9= 0.
 Cách 2: Phương pháp giải tích.
	Lấy M(1;-2;0) d ; N(0;-1;2) d. Đặt (P): Ax+By+Cz+D=0 
	Do M và N thuộc (P) nên: .
	Ta có VTPT của (P) là và VTCP của Oy là .
	Gọi thì 
	+Trường hơp1 :Nếu B=0 thì sin = 0
	+ Trường hơp2:Nếu B thì 
 Biến đổi : (Dấu đẳng thức khi x=)
	 Vậy maxsin = ( Do hay lớn nhất khi .
 Ta chọn A=1 và B=5 thì C=-2 , D= 9 Phương trình mặt phẳng (P): x+5y-2z+9=0.
(Dùng chùm mặt phẳng): Ta viết phương trình d dạng .Mặt phẳng (P) chứa d nên
thuộc chùm mặt phẳng:m(x+y+1)+n(2y-z+4)=0 (m2+n2 0) hay mx+(m+2n)y-nz+m+4n=0
VTPT mặt phẳng (P) là: và VTCP của Oy là 
Gọi là góc giữa trục Oy và mặt phẳng (P) thì :
Trường hợp 1: 
Trường hợp 2: 
 (với x= )
Tập xác định :D=R.
 ; 
x
f’(x)
f(x)
-
-2
0
0
+
-
_
0
Bảng biến thiên: 
+
 Ta thấy max f(x)= max sin2= max sin = đạt được khi: 
	Chọn m=1 và n = 2 , ta được phương trình mặt phẳng (P) cần tìm: x+5y-2z+9 = 0
Hết bài toán 4 (GV Nguyễn Ngọc Ấn - Trường THPT Vĩnh Long)