Tài liệu bổ trợ luyện thi Đại học môn Toán - Một số bài toán cực trị trong không gian tọa độ Bài 1

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ
 TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ 
(Tài liệu bổ trợ luyện thi Đại Họcmôn Toán )
-------------------------
Bài toán 1.
 Bài tập:Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A(- 1; 3;-2) ; B( -9; 4; 9), mặt phẳng 
 (P):2x-y+z+1 = 0 .Tìm điểm M trên (P) sao cho:
 1/ Tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất. 2/ lớn nhất. 3/ nhỏ nhất
Lời giải tham khảo
1/ M thuộc (P) sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất:
	Ta có CV(ABC) = AB + MA+ MB , do AB không đổi nên CV(ABC) nhỏ nhất khi và chỉ khi 
(MA+MB) nhỏ nhất.
	P(A)=2(-1)-3-2+1= -6< 0 và P(B)= -12< 0 nên A và B nằm một bên mặt phẳng (P); do
đó điểm M cần tìm là giao điểm của đường thẳng (A’B) và mặt phẳng (P) ; với A’ là điểm đối xứng của A qua (P).
	Thật vậy , ta có :MA+MB = MA’+ MB = A’B ; với điểm N bất kỳ trên (P) thì 
NA+NB= NA’+NB A’B ( Xét tam giác A’NB) , dấu đẳng thức xãy ra khi N (đpcm).
 Giải:
	Phương trình của đương thẳng AA’: 
	Hình chiếu vuông góc H của M trên (P) là giao điểm của AA’ và (P) : H(1; 2; -1)
	H là trung điểm của AA’ nên: A’(3;1;0)
	Phương trình đường thẳng A’B:
	Điểm M là giao điểm của đường thẳng A’B và (P) : M(-1; 2; 3)
 Kết quả :M(-1; 2; 3)
 Ghi Chú: Bài toán vô nghiệm nếu A và B nằm hai bên mặt phẳng (P) hoặc đường thẳng AB
	vuông góc với mặt phẳng (P)
2/ Tìm M thuộc (P) sao cho có giá trị lớn nhất.
Ta có A và B nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P) và AB không song song với (P) nên điểm M
 	 cần tìm chính là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).
 	 Thật vậy vì (cố định) nên max = AB đạt được khi và chỉ khi ba điiểm 
 	A, B , M thẳng hàng.
	Phương trình tham số của AB: 
Tọa độ giao điểm M của AB và (P) ứng với giá trị t thỏa:2(-1-8t)-(3+t)+(-2+11t)+1=0
	t= -1 . Vậy M( 7;2;-13)
Trang1
Ghi chú:1/ Nếu đường thẳng A B song song với mặt phẳng (P) thì không tồn tại điểm M .
2/ Nếu hai điểm A và B năm ở hai phía của mặt phẳng (P) thì điểm M cần tìm được thực hiện
như sau: Lấy điểm A’ đối xứng với A qua (P) . Khi ấy (cố định) ( A’
 và B lại nằm cùng phía với (P) ) .Do đó đạt được khi ba điểm M,A’, B thẳng
hàng, nghĩa là điểm M cần tìm trong trường hợp nầy là giao điểm của đường thẳng A’B và (P).
3/ Tìm M thuộc (P) sao cho có giá trị nhỏ nhất.
 Cách 1: Phương pháp giải tích
	Đặt M0(x0;y0;z0) (P) 2x0-y0+z0+1=0. =(-1-x0 ; 3-y0 ; -2-z0) ; =(-9-x0 ;4-y0 ; 9-z0)
	Do đó: (-10 –x0 ; 7-2y0 ; 9-z0 ) 
	 = 2
	Ta biến đổi : 
	Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki:
	 Ta được: 
	Vậy : đạt được khi : 
	Đáp số : M(-2 ; 2 ; 5 )
 Cách 2: Phương pháp hình học:
	Gọi I là trung điểm của AB thì với điểm M bất kỳ trên (P) ta có : 
	Do đó : .Vậy nhỏ nhất MI nhỏ nhất 
	Ta có : . Ta lại có 
	Do đó : Đáp số : M(-2 ; 2 ; 5 ) 
Hết bài tóan 1 ( GV: Nguyễn ngọc Ấn Trường THPT Vĩnh Long)
Trang 2