Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình mũ và logarit - Giang Xuân Chiêm

Chuyên đề:
SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số là một phương pháp hiệu quả khi giải các phương trình và bất phương trình. Ở chuyên đề này tôi trình bày ứng dụng tính đơn điệu của hàm số trong khi giải các phương trình mũ và logarit. Ta có thể đưa về ba dạng bài toán như sau:
I. DẠNG I:
A. Phương pháp:
* Bước 1: Đưa phương trình ban đầu về dạng: f(x)=c	(1)	với c là hằng số.
* Bước 2: Xét hàm số f(x) trên tập xác định D.
- Lập luận để chỉ ra hàm số f(x) đơn điệu trên D. (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên D).
* Bước 3: Nhận xét:
- Với x=x0 thoả mãn phương trình (1): f(x0)=c.
Þx0 là một nghiệm của phương trình (1).
- Sử dụng tính đồng biến (nghịch biến) để chứng minh:
x>x0 và x<x0 thì phương trình (1) vô nghiệm.
* Bước 4: Kết luận. 
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x=x0.
B. Bài tập:
Giải các phương trình sau:
1)	3x+4x=5x	(1)
Bài làm:
- Xét hàm số là hàm số nghịch biến trên R
Vì là các hàm số mũ có cơ số nhỏ hơn 1, nên chúng nghịch biến trên R.
* Ta có:
- Với x=2 Þ f(2)= Þ x=2 là một nghiệm của phương trình (1).
- Với x>2 Þ f(x)<f(2)=1 Þ phương trình (1) vô nghiệm.
- Với xf(2)=1 Þ phương trình (1) vô nghiệm.
* Kết luận: Vậy phương trình (1) có duy nhất nghiệm x=2.
2)	(1)
Bài làm:
	Phương trình Û	
- Xét hàm số là hàm số nghịch biến trên R
Vì là các hàm số mũ có cơ số nhỏ hơn 1, nên chúng nghịch biến trên R.
* Ta có:
- Với x=2 Þ f(2)= Þ x=2 là một nghiệm của phương trình (1).
- Với x>2 Þ f(x)<f(2)=1 Þ phương trình (1) vô nghiệm.
- Với xf(2)=1 Þ phương trình (1) vô nghiệm.
* Kết luận: Vậy phương trình (1) có duy nhất nghiệm x=2.
3)	(1)
Bài làm:
Điều kiện x>0
Đặt t=log6x Þ x=6t
Phương trình (1) trở thành: 	(2)
* Hàm số đồng biến trên R.
* Ta có: 
- Với t=-1, ta có f(-1)= Þ t=-1 là một nghiệm của phương trình (2).
- Với t>-1 Þ f(t)>f(-1)=1 Þ phương trình (2) vô nghiệm.
- Với t<-1 Þ f(t)<f(-1)=1 Þ phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy phương trình (2) có nghiệm duy nhất t=-1.
* Với t=-1, ta có 
Vậy phương trình có nghiệm x=
4) 	3	(1)
Bài làm:
Điều kiện: x>0.
Phương trình (1) Û 	
Đặt t= 
(1) trở thành: 	(2)
* Xét hàm số f(t)=là hàm số nghịch biến trên R. Vì các hàm số là các hàm số mũ có cơ số nhỏ hơn 1.
* Ta có:
- Với t=4 Þ f(4)= Þ t=4 là một nghiệm của (2);
- Với t>4 Þ f(t)<f(4)=1 Þ phương trình (2) vô nghiệm.
- Với tf(4)=1 Þ phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy phương trình (2) có nghiệm duy nhất t=4.
* Với t=4 Þ x=84.
Vậy phương trình có nghiệm x=84
5) 	ln(1+x)=x-	(1)
Bài làm:
Điều kiện: x>-1
Phương trình (1) Û ln(1+x)- x+=0
* Xét hàm số f(x)=ln(1+x)-x+ trên D=(-1; +¥).
Ta có f’(x)= với mọi x thuộc D.
Þ f(x) đồng biến trên D.
* Ta có:
- Với x=0 Þ f(0)=ln1=0 Þ x=0 là nghiệm của (1).
- Với x>0 Þ f(x)>f(0)=0 Þ phương trình (1) vô nghiệm.
- Với x<0 Þ f(x)<f(0)=0 Þ phương trình (1) vô nghiệm.
* Kết luận:
Vậy phương trình (1) có duy nhất nghiệm x=0.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
6) 	
7)	
8)	
9)	
II. DẠNG II:
A. Phương pháp:
* Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f(x)=g(x)	(1)
* Bước 2: Xét các hàm số f(x) và g(x) trên tập D.
Lập luận để chứng minh rằng:
f(x) đồng biến trên D, g(x) nghịch biến hoặc không đổi trên D.
f(x) nghịch biến trên D, g(x) đồng biến hoặc không đổi trên D.
Khi đó đồ thị hai hàm số f(x), g(x) nếu cắt nhau thì tại duy nhất 1 điểm Þ Phương trình (1) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất.
* Bước 3: Nhận xét.
Ta có x=x0 thoả mãn phương trình (1): f(x0)=g(x0)
KL: Vậy x=x0 là nghiệm duy nhất của phương trình (1).
B. Bài tập:
Giải các phương trình sau:
1)	3.25x-2+(3x-10).5x-2 +3-x=0	(1)
Bài làm:
Đặt t=5x-2	(t>0)
Khi đó phương trình (1) có dạng: 3t2+(3x-10)t+3-x=0 Û
* Với t=Þ
* Với t=3-xÞ 5x-2=3-x 	(2)
Ta có hàm f(x)=5x-2 là hàm số đồng biến trên R (vì cơ số a>1), hàm g(x)=3-x có hệ số a<0 là hàm số nghịch biến trên R. Nên phương trình (2) có nghiệm duy nhất.
Ta thấy x=2 là một nghiệm của phương trình (2): 52-2=3-2=1.
Þ x=2 là nghiệm duy nhất của (2).
Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm: x=2-log53 và x=2.
2) 	(1)
Bài làm: 
	Điều kiện: 
Phương trình (1) có dạng: 	(2)
Ta thấy:
Hàm số f(x)=log2(x-2) là hàm số đồng biến trên D=(2;+¥)
Hàm số g(x)=3-x là hàm số nghịch biến trên D=(2;+¥)
Ta có x=3 là một nghiệm của phương trình (2) vì log2(3-1)=3-3=0.
Þ x=3 là nghiệm duy nhất của phương trình (2).
Kết luận: Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x=3.
3) 	
Bài làm:
Điều kiện: x+1>0Ûx>-1
Đặt t=log3(x+1)
Phương trình (1) có dạng: (x+2)t2+4(x+1)t-16=0
Û 
* Với t=-4 Þ log3(x+1)=-4Û x+1=.
* Với t= Þ 	(2)
Ta có: 
Hàm số f(x)=log3(x+1) là hàm số đồng biến trên D=(-1; +¥).
Hàm số g(x)= có g’(x)=Þ g(x) nghịch biến trên D.
Ta có x=2 là một nghiệm của phương trình (2). Vì log3(2+1)=
Þ x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình (2).
Kết luận: Vậy phương trình (1) có hai nghiệm: 
III. DẠNG III:
A. Phương pháp:
Chuyển phương trình ban đầu về dạng f(u)=f(v)	(1)
Xét hàm số y=f(x) trên tập xác định D. Dùng lập luận chỉ ra rằng hàm số y=f(x) luôn đơn điệu trên tập xác định.
Khi đó (3) Û u=v từ đó suy ra x.
B. Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình sau
1) 	
Bài làm:
Điều kiện: 
Đặt y=log2(3x-1)
Khi đó ta có hệ: 
Cộng vế (1) và (2) ta có : 	(3)
* Xét hàm số f(t)= có TXĐ: D=
f’(t)=
Khi đó (3) Û y=x.
Phương trình (1) có dạng: log2(3x-1)=x Û 2x=3x-1	(4)
* Giải phương trình (4):
(4)Û 2x-3x+1=0.
Xét hàm số g(x)=2x-3x+1 trên D=
g’(x)=2x.ln2-3
g’’(x)=2x.ln22>0 "xÎD Þg’(x) đồng biến trên D.
Þ g(x) có không quá hai nghiệm trên D (Theo định lí Rôn).
- Nhận xét thấy g(1)=g(3)=0. vậy x=1 và x=3 là nghiệm của (4) thoả mãn điều kiện.
Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm x=1 và x=3.
2) 	(1)
Bài làm:
Điều kiện: 
Đặt Ta có 	(2)
* Xét hàm số f(t)=log3t+t (với t>0): 
f’(t)= nên hàm số f(t) đồng biến trên (0;+¥)
Do đó (2)Û u=v Û 2x2+4x+5=x2+x+3 Û x2+3x+2=0Û
Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm x=-1 và x=-2.
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
	a) 
Bài làm:
Thế (2) vào (1) ta được:
Gọi f(t)=2t+t3 trên R. Có: f’(t)=2t.ln2+3t2 >0 với mọi tÎR
(3)Û x=y
Khi đó hệ Û
Kết luận: Vậy hệ có nghiệm (1;1) và (-1;-1)
	b) 
Bài làm:
Điều kiện: cosx>0 và siny>0
Trừ vế (1) cho (2) ta có phương trình:
	(3)
Gọi f(t)=log2(1+3t)+log3t 	trên (0;+¥)
f’(t)= Þ f(t) đồng biến trên (0;+¥)
Từ (3) Þ cosx=siny Thế vào (1) ta được: log2(1+3cosx)-log3(cosx)=2	(4)
Xét g(u)=log2(1+3u)-log3u 	(với u=cosx, 0<x≤1)
g’(u)=
g’(u)=0Ûu=u0=
BBT: 
u
0
u0
1
g’(u)
-
0
+
g(u)
+¥
g(u0)
2
Vậy phương trình (4) có cosx=1 hoặc cosx=.
Hệ ban đầu tương đương: 
* Giải hệ (I)Û
* Giải hệ (II)Û
Kết luận:
Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm:
 hoặc hoặc