Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A) Phương pháp :
Đối với loại phương trình có 3 hướng để giải quyết:
†Hướng 1: 
	Bước 1: Đưa phương trình về dạng : 	(1)
	Bước 2 : Xét hàm số 
	 Dùng lập luận để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến 
	Bước 3 : Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất ( mà ta nhẩm được)
†Hướng 2:
	Bước 1 : Đưa phương trình về dạng : (1)
	Bước 2 : Xét hai hàm số và 
Dùng lập luận để khẳng định là hàm đồng biến (nghịch biến) và là hàm nghịch biến (đồng biến)
	Bước 3 : Lúc đó nếu phương trình (1) có nghiệm là nghiệm duy nhất 
†Hướng 3:
	Bước 1: Đưa phương trình về dạng (1)
Bước 2 : Xét hàm số : .
 Dùng lập luận để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến 
Bước 3 : Khi đó từ (1) suy ra : 
Đối với loại bất phương trình có 2 hướng để giải quyết:
 †Hướng 1:
	Bước 1: Đưa phương trình về dạng : 	 (1)
	Bước 2: Xét hàm số .Dùng lập luận để khẳng định hàm số tăng (giảm)
	Bước 3: Từ (1) ta thấy 
Bước 4: Dựa vào định nghĩa về đơn điệu suy ra nếu hàm số tăng hay nếu hàm số giảm
 †Hướng 2:
	Bước 1: Đưa phương trình về dạng : 	(1)
	Bước 2: Xét hàm số .
Dùng lập luân để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến 
Bước 3: Khi đó từ (1) suy ra: nếu đồng biến , nếu nghịch biến
B) Bài tập ứng dụng :
Loại 1: Giải các phương trình 
	1. 
	2. 
	3. 
	4. 
	5. 
	6. 
	7.
P Bài làm: 
1. 
Điều kiện: 
Nhận xét : số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hàm số và 
Xét hàm số 
Miền xác định : 
Đạo hàm 
Suy ra hàm số đồng biến 
Do đó hàm số có nghiệm duy nhất và đó là 
	2. 
	Đặt , điều kiện 
	Khi đó phương trình có dạng : 
	 (*)
	Xét hàm số :
Hàm số là hàm đồng biến trên 
Hàm số là hàm nghịch biến trên 
Từ (*) suy ra : nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất
Ta thấy là nghiệm phương trình (*), do đó :	
	3. 	(*)
	Điều kiện : 
	Xét hàm số là hàm đồng biến trên 
	Xét hàm số 
Miền xác định 
Đạo hàm : hàm số nghịch biến trên 
Từ (*) ta có : 	.
Do đó phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.Ta thấy thoả mãn phương trình 
Vậy phương trình có nghiệm 
4. 	(*)
Điều kiện :
	Đặt 
	Lúc đó : 
	Khi đó : (*)	(**)
	Xét hàm số : 
Miền xác định: 
Đạo hàm : ,
Suy ra hàm số tăng trên D
Mặc khác : . Do đó (**) có dạng : 
Với 	
Vậy phương trình có nghiệm 	
5. 
Biến đổi phương trình về dạng : 	(*)
Xét hàm số 	
Miền xác định : 
Đạo hàm : 
Suy ra hàm số đồng biến 
Từ (*) có dạng 
Vậy là nghiệm của phương trình 
6. 
Điều kiện : 
Biến đổi phương trình về dạng : 
 (*)
Xét hàm số 
Miền xác định : 
Đạo hàm : 
Suy ra hàm số đồng biến.
Từ (*) có dạng : 
7. 
Điều kiện :
Với 
Với 
Vậy 
Biến đổi phương trình về dạng : 
 (*)
Xét hàm số 
Miền xác định 
Đạo hàm : 
Nhận xét : hàm số đồng biến
Khi đó :
	(*) vô nghiệm 
Vậy phương trình vô nghiệm
Loại 2:Giải các bất phương trình 
PBài làm: 
1. 	(1)
Điều kiện: 
	(*)
Xét hàm số 
Miền xác định : 
Đạo hàm 
Suy ra hàm số đồng biến trên 
Ta có : ,do đó :
Nếu thì , nên là nghiệm
Nếu thì nên không là nghiêm.
Vậy với là nghiệm của (1)
2. 
Điều kiện: 
 (*)
Biến đổi bất phương trình thânh: 
 	(1)
Xét hàm số .Ta thấy hàm số đồng biến trên 
Từ (1) ta có 
So sánh với (*) ta có : là nghiệm của bất phương trình 
Loại 3: Giải các hệ phương trình 
PBài làm: 
Điều kiện :
 Biến đổi tương đương hệ về dạng : 
Từ phương trình : 
	(*)
 Ta thấy hàm số là hàm đồng biến trên 
 Xét hàm số 
Miền xác định : 
Đạo hàm 
Suy ra hàm số nghich biến 
Từ (*) ta thấy là nghiệm của phương trình và đó là nghiệm duy nhất
Vậy hệ có nghiệm 
 2. 
Điều kiện:
Biến đổi hệ 
Cộng vế theo vế ta có : (*)
Xét hàm số 
Miền xác định : 
Đạo hàm : 
Suy ra hàm số đồng biến 
Từ (*) ta có 
Lúc đó : 
VT là hàm số hàm tăng
VP là hàm hằng 
Ta thấy là nghiệm 
Suy ra phương trình có nghiệm là nghiệm duy nhất
Vậy hệ có nghiệm 
3.
Xét hàm số 
Lúc đó hệ có dạng 
Miền xác định: 
Đạo hàm : .Suy ra hàm số đồng biến trên 
Ta giả sử là nghiệm của hệ và khi đó ta suy ra:
Vậy .Thay vào hệ ta có : 
Ta thấy là nghiệm duy nhất của phương trình (vì VT là đồng biến )
C) Bài tập tự luyện:
Giải các phương trình,bất phương trình và các hệ sau: