Sử dụng sự đơn điệu để giải các phương trình, bất phương trình và hệ phương trình chứa tham số

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Bài toán “Tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình và hệ phương trình có nghiêm” là một bài toán quan trọng và thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào các trường Đạị học và Cao đẳng. Qua thực tế giảng dạy tôi thấy học sinh thường lúng túng khi gặp bài toán này hoặc gặp khó trong lúc giải quyết bài toán vì thường gặp khó bởi điều kiện phát sinh khi giải toán. Trong chuyên đề này tôi trao đổi cách vận dụng đạo hàm để giải những bài toán thuộc dạng trên
II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI.
Cơ sở lí thuyết:
Trước tiên ta xét các mệnh đề sau được suy luận từ định nghĩa hàm số đơn điệu và các kinh nghiệm trong giải toán:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập D
1) Phương trình: 	f(x) = m có nghiệm xD 
2) Bất phương trình: 	 có nghiệm xD 
3) Bất phương trình: 	 nghiệm đúng 
4) Bất phương trình: 	 có nghiệm xD 
5) Bất phương trình: 	 nghiệm đúng 
6) hàm số y = f(x) đơn điệu trên tập D thì 	
	2. Phương pháp giải toán:
Để giải bài toán tìm giá trị của tham số m để phương trình(PT), bất phương trình(BPT) có nghiệm ta có thể thực hiện theo các bước sau:
Biến đổi PT(BPT) về dạng: f(x) = g(m) (hoặc )
Tìm tập xác định D của hàm số f(x)
Lập bảng biến thiên của hàm số f(x)
Xác định: 
Vận dụng một trong các mệnh đề đã nêu ở mục 1 rút ra kết luận cho bài toán.
Lưu ý: 
Trong trường hợp PT(BPT) chứa các biểu thức phức tạp ta làm như sau
Đặt ẩn số phụ t = Từ điều kiện ràng buộc của ẩn x ta tìm điều kiện cho ẩn t
Đưa PT(BPT) ẩn số x về PT(BPT) theo ẩn số t Ta được f(t) = g(m) hoặc 
Lập bảng biến thiên của hàm số f(t)
Từ bảng biến thiên của hàm số f(t) và các mệnh đề đã nêu ở mục 1 rút ra kết luận của bài toán
Một số ví dụ minh họa
Thí dụ 1: Chứng minh rằng: phương trình luôn có 2 nghiệm thực phân biệt. (trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2007)
Giải
Điều kiện: 
ta có: 
đặt f(x) = x3 + 6x2 – 32 
ta có f’(x) = 3x2 + 12x > 0 với mọi x > 2
bảng biến thiên 
x
 2 
f’(x)
+
f(x)
 0
 Từ bảng biến thiên và mục 1) ta có m > 0 (*) luôn có một nghiệm x > 2
Vậy bài toán được chứng minh
Thí dụ 2 : Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm(trích đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2007)
Giải
Điều kiện : 
Đặt với ta có thay vào phương trình ta được ta có : ta có : 
t
0 
f’(t)
 + 0 --
f(t)
0 
Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có nghiệm khi 
Thí dụ 3 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt : (*) (trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2006)
Giải :
Điều kiện : vì x = 0 không là nghiệm nên
Xét ta có 
Bảng biến thiên
x
 0 
f’(x)
 + +
f(x)
Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm thì 
Thí dụ 4: Cho phương trình : 
Giải phương trình khi m = 2
Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm trên 
(Trích đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2002)
Giải 
Đặt điều kiện : ta được : khi 
khi m = 2 ta được : 
khi ta có : 
Bảng biến thiên
t
 1 2
f’(t)
 +
f(t)
 2
 0 
Từ bảng biến thiên ta có : 
Thí dụ 5 : Tìm m để bất phương trình : nghiệm đúng với mọi 
Giải 
Đặt khi thay vào bất phương trình ta được
t
 0 
f’(t)
 +
f(t)
 0 
Từ bảng biến thiên ta có : 
Thí dụ 6 : Giải hệ phương trình :
Giải
(Đk :)xét hàm sốta có 
Vậy f(t) luôn đồng biến trên R vậy kết hợp với (2) ta có : 
Vậy hệ phương trình có nghiệm là
Thí dụ 7 : Tìm m để bất phương trình được nghiệm đúng với mọi 
Giải :
Đặt 
Với 	Thay vào bất phương trình ta được : 
Xét hàm số 
t
 2 
f’(t)
 -- 
f(t)
 -2 
Từ bảng biến thiên ta có thỏa đề bài
Thí dụ 8 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 
Giải: 
	Với ĐK , phương trình đã cho 
	x3 – 4x2 – 3x – 1 = – m f(x) = - m.	(1)
	Xét hàm số f(x) trên , ta có
	f ’(x) = 3x2 – 8x – 3 ; f ‘(x) = 0 x
f’(x)
f(x)
1/2
3
+
_
0
-
+
-27/8
-19
+
_
	f(3) = - 19, f(1/2) = - 27/8.
	* BBT (hình bên).
Từ BBT suy ra (1) có hai nghiệm trên (tức phương trình đã cho có hai nghiệm) 
Thí dụ 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
Hướng dẫn: 
* ĐK: 	
* Đặt 	,	
	Suy ra: 
	Nên (1) trở thành: 	
* Khảo sát sự biến thiên của hàm số g(t) trên đoạn , 
* Lập BBT và từ BBT suy ra các giá trị cần tìm.
Bài tập làm thêm :
Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình 
	1) có nghiệm thực duy nhất,	2) có nghiệm thực.
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất:
 .
Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.
Bài 4. Tìm m để phương trình : có nghiệm 
Bài 5. Tìm m để phương trình có nghiệm thực.
Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm thực.
Bài 7. Tìm a để phương trình : có nghiệm duy nhất
Bài 8. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm thực
Bài 9. Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt (A-2008)
Bài 10. Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm thực.
Bài 11. Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm thực.
Bài 12.. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm thực
Bài 13. Tìm m để phương trình có nghiệm thực.
Bài 14. Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm thực với mọi giá trị của m.
Bài 15. Tìm m để phương trình có nghiệm thực.
Bài 16. Tìm m để phương trình có nghiệm thực.
Bài 17 (trích đề thi ĐH khối B – 2004). Tìm điều kiện của m để phương trình:
 có nghiệm thực.
Bài 18. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.
Bài 19: Tìm giá trị lớn nhất của a để bất phương trình : có ít nhất một nghiệm
Bài 20 : Tìm m để mọi đều thỏa mãn bất phương trình :
Bài 21 : Tìm m để bất phương trình : nghiệm đúng với mọi 
Bài 22 : Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình : nghiệm đúng với mọi : 
	Giáo viên thực hiện
	Đinh Văn Thắng