Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số - Nguyễn Phú Khánh

trên I . 
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. 
Dạng 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số . 
Xét chiều biến thiên của hàm số  y f x ta thực hiện các bước sau: 
 Tìm tập xác định D của hàm số . 
 Tính đạo hàm  ' 'y f x . 
 Tìm các giá trị của x thuộc D để  ' 0f x  hoặc  'f x không xác định 
( ta gọi đó là điểm tới hạn hàm số ). 
 Xét dấu  ' 'y f x trên từng khoảng x thuộc D . 
 Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ suy ra khoảng đơn điệu của hàm số. 
Ví dụ 1 :Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
3 21. 3 24 26y x x x     
3 22. 3 2y x x   
3 23. 3 3 2y x x x    
Giải: 
3 21. 3 24 26y x x x     . 
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu 
-7- 
Ta có : 2' 3 6 24y x x    
2
4
' 0 3 6 24 0
2
x
y x x
x
  
       

Bảng xét dấu của 'y 
x  4 2  
'y  0  0  
 ' 0, 4;2y x y    đồng biến trên khoảng  4;2 , 
   ' 0, ; 4 , 2;y x y      nghịch biến trên các khoảng 
   ; 4 , 2;   . 
Hoặc ta có thể trình bày : 
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có : 2' 3 6 24y x x    
2
4
' 0 3 6 24 0
2
x
y x x
x
  
       

Bảng biến thiên 
x  4 2  
'y  0  0  
y 
 
  
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng  4;2 , nghịch biến trên các khoảng 
 ; 4  và  2; . 
3 22. 3 2y x x   
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có : 2' 3 6 3 ( 2)y x x x x    
0
' 0 3 ( 2) 0
2
x
y x x
x
 
     

Bảng biến thiên. 
Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu 
-8- 
x  0 2  
'y + 0  0 + 
y 
Vậy hàm đồng biến trên mỗi khoảng( ;0) và(2; ) , nghịch biến(0;2) . 
3 23. 3 3 2y x x x    
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có:    22' 3 6 3 3 1f x x x x     
 ' 0 1f x x    và  ' 0f x  với mọi 1x   
Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng  ; 1   và 1;  nên hàm số 
đồng biến trên  . 
Hoặc ta có thể trình bày : 
x  1  
'y  0  
y 
 
1 
  
Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng  ; 1   và 1;  nên hàm số 
đồng biến trên  . 
Ví dụ 2 :Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
4 211. 2 1
4
y x x    
4 22. 2 3y x x   
4 23. 6 8 1y x x x    
Giải: 
4 211. 2 1
4
y x x    . 
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu 
-9- 
Ta có:  3 2' 4 4y x x x x      
 2 0' 0 4 0 2
x
y x x
x
 
      
 
Bảng biến thiên 
x  2 0 2  
'y  0  0  0  
y 
 
  
Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 2  ,  0;2 và nghịch biến 
 trên các khoảng  2;0 ,  2; . 
4 22. 2 3y x x   
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có:  3 2' 4 4 4 1y x x x x    
Vì 2 1 0,x x     nên ' 0 0y x   . 
Bảng biến thiên 
x  0  
'y   
y 
  
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng  0; và nghịch biến trên khoảng 
 ; 0 . 
4 23. 6 8 1y x x x    
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có: 3 2' 4 12 8 4( 1) ( 2)y x x x x      
2
2
' 0 4( 1) ( 2) 0
1
x
y x x
x
  
      

Bảng biến thiên: 
Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu 
-10- 
x  2 1  
'y  0  0  
y 
Vậy,hàm đồng biến trên khoảng ( 2; )  và nghịch biến trên 
khoảng( ; 2)  . 
Nhận xét: 
* Ta thấy tại 1x  thì 0y  , nhưng qua đó 'y không đổi dấu. 
* Đối với hàm bậc bốn 4 3 2y ax bx cx dx e     luôn có ít nhất một 
khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến. Do vậy với hàm bậc bốn 
không thể đơn điệu trên  . 
Ví dụ 3 :Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
2 1
1.
1
x
y
x
 

2
2.
1
x
y
x
 

2 2 1
3.
2
x x
y
x
  


2 4 3
4.
2
x x
y
x
 


Giải: 
2 1
1.
1
x
y
x
 

. 
Hàm số đã cho xác định trên khoảng    ; 1 1;     . 
Ta có: 
 2
3
' 0, 1
1
y x
x
     

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 1  và  1;  . 
2
2.
1
x
y
x
 

Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu 
-11- 
Hàm số đã cho xác định trên khoảng    ;1 1;   . 
Ta có: 
 2
3
' 0, 1
1
y x
x
 -   

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;1 và  1; . 
2 2 1
3.
2
x x
y
x
  


Hàm số đã cho xác định trên khoảng    ; 2 2;     . 
Ta có: 
 
2
2
4 5
' , 2
2
x x
y x
x
      

5
' 0
1
x
y
x
  
  

Bảng biến thiên : 
x  5 2 1  
'y  0   0  
y 
  
  
  
Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng  5; 2  và  2;1 , nghịch biến 
 trên các khoảng  ; 5  và  1; . 
2 4 3
4.
2
x x
y
x
 


Hàm số đã cho xác định trên khoảng    ; 2 2;     . 
Ta có: 
 
2
2
4 5
' 0, 2
2
x x
y x
x
 
    

Bảng biến thiên : 
x  2  
'y   
y 
 
 
  
  
Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu 
-12- 
Vậy , hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 2  và  2;  . 
Nhận xét: 
* Đối với hàm số ( . 0)ax by a c
cx d

 

 luôn đồng biến hoặc luôn nghịch 
biến trên từng khoảng xác định của nó. 
* Đối với hàm số 
2
' '
ax bx c
y
a x b
 


 luôn có ít nhất hai khoảng đơn điệu. 
* Cả hai dạng hàm số trên không thể luôn đơn điệu trên . 
Ví dụ 4 :Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
21. | 2 3 |y x x   
2 32. 3y x x  
Giải: 
21. | 2 3 |y x x   
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có: 
2
2
2 3 khi 1 3
2 3 khi 1 3
x x x x
y
x x x
      
 
     
2 2 khi 1 3
' ' 0 1
2 2 khi 1 3
x x x
y y x
x x
             
Hàm số không có đạo hàm tại 1x  và 3x  . 
Bảng biến thiên: 
x  1 1 3  
'y  0  0  0  
y 
Hàm đồng biến trên mỗi khoảng( 1;1) và (3; ) , nghịch biến trên( ; 1)  
 và (1;3) . 
2 32. 3y x x  
Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu 
-13- 
Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng ( ;3] 
Ta có: 
2
2 3
3(2 )
' , 3, 0
2 3
x x
y x x
x x

   

. 
3, 0 : ' 0 2x x y x      
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm 0, 3x x  . 
Bảng biến thiên: 
x 
 0 2 3  
'y  || + 0  || 
y 
Hàm đồng biến trên khoảng (0;2) , nghịch biến trên ( ;0) và (2;3) . 
Ví dụ 5 : 
Tìm khoảng đơn điệu của hàm số   sinf x x trên khoảng  0;2 . 
Giải: 
Hàm số đã cho xác định trên khoảng  0;2 . 
Ta có :    ' cos , 0;2f x x x   . 
    3' 0, 0;2 ,
2 2
f x x x x
 
     
Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau : 
x 0 
2
 3
2
 2 
 'f x  0  0  
 f x 1 0 
 0 1 
Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu 
-14- 
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 0;
2
 
 
 
và 3 ;2
2


 
 
 
, nghịch biến trên 
khoảng 3;
2 2
  
 
 
. 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
3 211. 3 8 2
3
y x x x    
2 2
2.
1
x x
y
x



2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
3 21. 2 3 1y x x   
4 22. 2 5y x x   
3 24 23. 6 9
3 3
y x x x     
24. 2y x x  
3. Chứng minh rằng hàm số: 
1. 24y x  nghịch biến trên đoạn 0;2   . 
2. 3 cos 4y x x x    đồng biến trên  . 
3. cos2 2 3y x x   nghịch biến trên  . 
4. Cho hàm số  2sin cosy x x . 
)a Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên đoạn 
 
 
 
0;
3
và nghịch biết trên 
đoạn


 
 
 
;
3
. 
)b Chứng minh rằng với mọi   1;1m , phương trình  2sin cosx x m có 
nghiệm duy nhất thuộc đoạn   0; . 
Hướng dẫn 
1. 
3 211. 3 8 2
3
y x x x    
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu 
-15- 
Ta có   2' 6 8f x x x   
 ' 0 2, 4f x x x    
Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau : 
x  2 4  
 'f x  0  0  
 f x  
  
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;2 và  4; , nghịch biến trên 
khoảng  2;4 
2 2
2.
1
x x
y
x



Hàm số đã cho xác định trên tập hợp  \ 1 . 
Ta có  
 
 
 
2
2
2 2
1 12 2
' 0, 1
1 1
xx x
f x x
x x
  
   
 
Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau : 
x  1  
 'f x   
   
 f x 
   
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;1 và  1; 
2. 
3 21. 2 3 1y x x   
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có   2' 6 6f x x x  
Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu 
-16- 
       ' 0, ; 1 , 0;f x x f x      đồng biến trên mỗi khoảng 
 ; 1  và  0; . 
     ' 0, 1;0f x x f x    nghịch biến trên khoảng  1;0 . 
Ngoài ra : Học sinh có thể giải  ' 0f x  , tìm ra hai nghiệm 1, 0x x   , 
kẻ bảng biến thiên rồi kết luận. 
4 22. 2 5y x x   
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có   3' 4 4f x x x  
       ' 0, 1;0 , 1;f x x f x     đồng biến trên mỗi khoảng  1;0 và 
 1; . 
       ' 0, ; 1 , 0;1f x x f x     nghịch biến trên mỗi khoảng 
 ; 1  và  0;1 . 
Ngoài ra : Học sinh có thể giải  ' 0f x  , tìm ra hai nghiệm 
1, 0, 1x x x    , kẻ bảng biến thiên rồi kết luận. 
3 24 23. 6 9
3 3
y x x x     
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có    22' 4 12 9 2 3f x x x x       
  3' 0
2
f x x   và  ' 0f x  với mọi 3
2
x  
Vì hàm số nghịch biến trên mỗi nửa khoảng 3;
2
 
 
 
và 3 ;
2
 

 
nên hàm số 
nghịch biến trên  . 
24. 2y x x  
Hàm số đã cho xác định trên 0;2   . 
Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu 
-17- 
Ta có    
2
1
' , 0;2
2
x
f x x
x x

 

     ' 0, 0;1f x x f x   đồng biến trên khoảng  0;1 ; 
     ' 0, 1;2f x x f x   nghịch biến trên khoảng  1;2 . 
Hoặc có thể trình bày : 
     ' 0, 0;1f x x f x   đồng biến trên đoạn 0;1   ; 
     ' 0, 1;2f x x f x   nghịch biến trên đoạn 1;2   . 
3. 
21. 4y x  nghịch biến trên đoạn 0;2   . 
Dễ thấy hàm số đã cho liên tục trên đoạn 0;2   và có đạo hàm 
 
2
' 0
4
x
f x
x

 

 với mọi  0;2x  . Do đó hàm số nghịch biến trên 
đoạn 0;2  