Sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0 ) - Lưu Công Hoàn

 = R 
 Sự biến thiên: 
– Chiều biến thiên: 
 2' 3 2y ax bx c 
12
1 2
2
' 0 3 2 0 ( )
x x
y ax bx c x x
x x
 Xét dấu y’ (trong trái, ngoài cùng hoặc khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu a) 
x 1x 2x 
y’ – 0 + 0 – 
 Hàm số đồng biến trên khoảng 1 2( ; )x x 
 Hàm số nghịch biến trên các khoảng 1( ; )x và 2( ; )x 
 – Cực trị: 
 Hàm số đạt cực đại tại x = x2 ; yCĐ = y(x2) 
 Hàm số đạt cực tiểu tại x = x1 ; yCT = y(x1) 
 – Giới hạn: 
x
lim y ; 
x
lim y 
 – Bảng biến thiên: 
x 1x 2x 
y’ – 0 + 0 – 
y 
yCT 
 yCĐ 
 Đồ thị: 
 – Giao với trục Oy: x = 0 y = y(0) 
 – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) 
 y = 0 3 2ax bx cx d 0 x = ? 
 – Bảng giá trị: 
x 4x 1x 3 1 2x (x x ) / 2 2x 5x 
y y(x4) yCT y(x3) yCĐ y(x5) 
(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm CĐ, CT và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của 
đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x3; y(x3)) làm tâm đối xứng) 
O 
x 
y 
x2 
yCĐ 
x1 
yCT 
I . 
O 
x 
y 
x2 
yCĐ 
x1 
yCT 
I . 
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0 ) (GV: Lưu Công Hoàn) 
Trường hợp 3: y’ = 0 có 1 nghiệm (nghiệm kép) và hệ số a > 0 Trường hợp 4: y’ = 0 có 1 nghiệm (nghiệm kép) và hệ số a < 0 
 Tập xác định: D = R 
 Sự biến thiên: 
– Chiều biến thiên: 
 2' 3 2y ax bx c 
 2 0' 0 3 2 0y ax bx c x x (nghiệm kép) (lưu ý nên sử dụng MTBT) 
 ' 0,y x (Vì =0 y’ cùng dấu với hệ số a, với mọi x x0) 
 Hàm số đồng biến trên R 
 – Cực trị: 
 Hàm số không có cực trị 
 – Giới hạn: 
x
lim y ; 
x
lim y 
 – Bảng biến thiên: 
x x0 
y’ + 0 + 
y 
y(x0) 
 Đồ thị: 
 – Giao với trục Oy: 
 x = 0 y = y(0) 
 – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) 
 y = 0 3 2ax bx cx d 0 x = ? 
 – Bảng giá trị: ( lấy các giá trị là số nguyên bên trái và bên phải điểm x0) 
x x1 x2 x0 x3 x4 
y y(x1) y(x2) y(x0) y(x3) y(x4) 
(lưu ý có thể chỉ cần lấy 3 điểm là đủ để vẽ đồ thị) 
(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm x0 và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị 
như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x0; y(x0)) làm tâm đối xứng) 
 Tập xác định: D = R 
 Sự biến thiên: 
– Chiều biến thiên: 
 2' 3 2y ax bx c 
 2 0' 0 3 2 0y ax bx c x x (nghiệm kép) (lưu ý nên sử dụng MTBT) 
 ' 0,y x (Vì =0 y’ cùng dấu với hệ số a, với mọi x x0) 
 Hàm số nghịch biến trên R 
 – Cực trị: 
 Hàm số không có cực trị 
 – Giới hạn: 
x
lim y ; 
x
lim y 
 – Bảng biến thiên: 
x x0 
y’ – 0 – 
y 
y(x0) 
 Đồ thị: 
 – Giao với trục Oy: 
 x = 0 y = y(0) 
 – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) 
 y = 0 3 2ax bx cx d 0 x = ? 
 – Bảng giá trị: ( lấy các giá trị là số nguyên bên trái và bên phải điểm x0) 
x x1 x2 x0 x3 x4 
y y(x1) y(x2) y(x0) y(x3) y(x4) 
(lưu ý có thể chỉ cần lấy 3 điểm là đủ để vẽ đồ thị) 
(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm x0 và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị 
như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x0; y(x0)) làm tâm đối xứng) 
I 
O 
x 
y 
y(x0) 
) 
x0 
. 
O 
x 
y 
y(x0) 
) 
x0 
. I 
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0 ) (GV: Lưu Công Hoàn) 
Trường hợp 5: y’ = 0 vô nghiệm và hệ số a > 0 Trường hợp 6: y’ = 0 vô nghiệm và hệ số a < 0 
 Tập xác định: D = R 
 Sự biến thiên: 
– Chiều biến thiên: 
 2' 3 2y ax bx c 
 2' 0 3 2 0y ax bx c (vô nghiệm) (lưu ý nên sử dụng MTBT) 
 ' 0,y x (Vì <0 y’ cùng dấu với hệ số a, với mọi x) 
 Hàm số đồng biến trên R 
 – Cực trị: 
 Hàm số không có cực trị 
 – Giới hạn: 
x
lim y ; 
x
lim y 
 – Bảng biến thiên: 
x 

’ + 
y 
 Đồ thị: 
 – Giao với trục Oy: 
 x = 0 y = y(0) 
 – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) 
 y = 0 3 2ax bx cx d 0 x = ? 
 – Bảng giá trị: ( lấy các giá trị là số nguyên bên trái và bên phải điểm x0 = –b/3a) 
x x1 x2 x0 = –b/3a x3 x4 
y y(x1) y(x2) y(x0) y(x3) y(x4) 
(lưu ý có thể chỉ cần lấy 3 điểm là đủ để vẽ đồ thị) 
(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm x0 và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị 
như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x0; y(x0)) làm tâm đối xứng) 
 Tập xác định: D = R 
 Sự biến thiên: 
– Chiều biến thiên: 
 2' 3 2y ax bx c 
 2' 0 3 2 0y ax bx c (vô nghiệm) (lưu ý nên sử dụng MTBT) 
 ' 0,y x (Vì <0 y’ cùng dấu với hệ số a, với mọi x) 
 Hàm số nghịch biến trên R 
 – Cực trị: 
 Hàm số không có cực trị 
 – Giới hạn: 
x
lim y ; 
x
lim y 
 – Bảng biến thiên: 
x 
y’ – 
y 
 Đồ thị: 
 – Giao với trục Oy: 
 x = 0 y = y(0) 
 – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) 
 y = 0 3 2ax bx cx d 0 x = ? 
 – Bảng giá trị: ( lấy các giá trị là số nguyên bên trái và bên phải điểm x0 = –b/3a) 
x x1 x2 x0 = –b/3a x3 x4 
y y(x1) y(x2) y(x0) y(x3) y(x4) 
(lưu ý có thể chỉ cần lấy 3 điểm là đủ để vẽ đồ thị) 
(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm x0 và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị 
như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x0; y(x0)) làm tâm đối xứng) 
I 
O 
x 
y 
y(x0) 
) 
x0 
. I 
O 
x 
y 
y(x0) 
) 
x0 
. 
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax4 + bx2 + c (a 0 ) (GV: Lưu Công Hoàn) 
Trường hợp 1: y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt và hệ số a > 0 Trường hợp 2: y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt và hệ số a < 0 
 Tập xác định: D = R 
 Sự biến thiên: 
– Chiều biến thiên: 
 3 2' 4 2 2 (2 )y ax bx x ax b 
 2 02
0
0
0
' 0 2 (2 ) 0 (x )
2
2
x
x b
y x ax b b
x x ax
a
 Xét dấu y’ (khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu với hệ số a) 
x - 0x 0 0x 
y’ – 0 + 0 – 0 + 
 Hàm số đồng biến trên các khoảng 0( ;0)x và 0( ; )x 
 Hàm số nghịch biến trên các khoảng 0( ; )x và 0(0; )x 
 – Cực trị: 
 Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ; yCĐ = y(0) 
 Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 ; yCT = y( x0 ) 
 – Giới hạn: 
x
lim y ; 
x
lim y 
 – Bảng biến thiên: 
x - 0x 0 0x 
y’ – 0 + 0 – 0 + 
y 
yCT 
 yCĐ 
 yCT 
 Đồ thị: 
 – Giao với trục Oy: 
 x = 0 y = yCĐ 
 – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) 
 y = 0 4 2ax bx c 0 x = ? (đặt 2 2t x at bt c 0 ) 
 – Bảng giá trị: 
x 1x 0x 0 0x 2x 
y y(x1) yCT yCĐ yCT y(x2) 
(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm CĐ, CT và các điểm đặc biệt;lưu ý dáng điệu của đồ thị 
như hình vẽ. Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng) 
 Tập xác định: D = R 
 Sự biến thiên: 
– Chiều biến thiên: 
 3 2' 4 2 2 (2 )y ax bx x ax b 
 2 02
0
0
0
' 0 2 (2 ) 0 (x )
2
2
x
x b
y x ax b b
x x ax
a
 Xét dấu y’ (khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu với hệ số a) 
x - 0x 0 0x 
y’ + 0 – 0 + 0 – 
 Hàm số đồng biến trên các khoảng 0( ; )x và 0(0; )x 
 Hàm số nghịch biến trên các khoảng 0( ;0)x và 0( ; )x 
 – Cực trị: 
 Hàm số đạt cực đại tại x = x0 ; yCĐ = y( x0 ) 
 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yCT = y(0) 
 – Giới hạn: 
x
lim y ; 
x
lim y 
 – Bảng biến thiên: 
x - 0x 0 0x 
y’ + 0 – 0 + 0 – 
y 
 yCĐ 
yCT 
 yCĐ 
 Đồ thị: 
 – Giao với trục Oy: 
 x = 0 y = yCT 
 – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) 
 y = 0 4 2ax bx c 0 x = ? (đặt 2 2t x at bt c 0 ) 
 – Bảng giá trị: 
x 1x 0x 0 0x 2x 
y y(x1) yCĐ yCT yCĐ y(x2) 
(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm CĐ, CT và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị 
như hình vẽ. Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng) 
O 
x 
y 
yCĐ 
-x0 
yCT 
x0 
O 
x 
y 
yCĐ 
-x0 
yCT 
x0 
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax4 + bx2 + c (a 0 ) (GV: Lưu Công Hoàn) 
Trường hợp 3: y’ = 0 có duy nhất 1 nghiệm x = 0 và hệ số a > 0 Trường hợp 4: y’ = 0 có duy nhất 1 nghiệm x = 0 và hệ số a < 0 
 Tập xác định: D = R 
 Sự biến thiên: 
– Chiều biến thiên: 
 3 2' 4 2 2 (2 )y ax bx x ax b 
 2' 0 2 (2 ) 0 0y x ax b x (lưu ý nên sử dụng MTBT) 
 Xét dấu y’ (khoảng bên phải cùng dấu với hệ số a) 
x 0 
y’ – 0 + 
 Hàm số đồng biến trên khoảng (0; ) 
 Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0) 
 – Cực trị: 
 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yCT = y(0) 
 – Giới hạn: 
x
lim y ; 
x
lim y 
 – Bảng biến thiên: 
x 0 
y’ – 0 + 
y 
yCT 
 Đồ thị: 
 – Giao với trục Oy: 
 x = 0 y = yCT 
 – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) 
 y = 0 4 2ax bx c 0 x = ? (đặt 2 2t x at bt c 0 ) 
 – Bảng giá trị: 
x -2 -1 0 1 2 
y y(-2) y(-1) yCT y(1) y(2) 
(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm Cực tiểu và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của 
đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng) 
 Tập xác định: D = R 
 Sự biến thiên: 
– Chiều biến thiên: 
 3 2' 4 2 2 (2 )y ax bx x ax b 
 2' 0 2 (2 ) 0 0y x ax b x (lưu ý nên sử dụng MTBT) 
 Xét dấu y’ (khoảng bên phải cùng dấu với hệ số a) 
x 0 
y’ + 0 – 
 Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0) 
 Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; ) 
 – Cực trị: 
 Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ; yCĐ = y(0) 
 – Giới hạn: 
x
lim y ; 
x
lim y 
 – Bảng biến thiên: 
x 0 
y’ + 0 – 
y 
 yCĐ 
 Đồ thị: 
 – Giao với trục Oy: 
 x = 0 y = yCĐ 
 – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) 
 y = 0 4 2ax bx c 0 x = ? (đặt 2 2t x at bt c 0 ) 
 – Bảng giá trị: 
x -2 -1 0 1 2 
y y(-2) y(-1) yCT y(1) y(2) 
(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm Cực đại và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị 
như hình vẽ. Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng) 
yCT 
O 
x 
y 
-1 1 
yCĐ 
O 
x 
y 
-1 1 
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = (ax+b)/(cx+d) (GV: Lưu Công Hoàn) 
Trường hợp 1: D = ad – bc > 0 Trường hợp 2: D = ad – bc < 0 
 Tập xác định: \
d
D
c
 Sự biến thiên: 
– Chiều biến thiên: 
2
-
' 0,
( )
ad bc d
y x
cx d c
 Hàm số đồng biến trên các khoảng 
d
c
( ; ) và 
d
c
( ; ) 
 – Cực trị: Hàm số không có cực trị 
 – Tiệm cận: 
 lim
d
x
c
y ; lim
d
x
c
y đường thẳng 
d
x
c
 là tiệm cận đứng. 
x
a
y
c
lim ; 
x
a
y
c
lim đường thẳng 
a
y
c
 là tiệm cận ngang. 
– Bảng biến thiên: 
 Đồ thị: 
 – Giao với trục Oy: 
 x = 0 y = b/d 
 – Giao với trục Ox: 
 y = 0 x = –b/a 
 – Lập bảng giá trị tìm 1 số điểm 
mà đồ thị hàm số đi qua (nếu cần) 
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I(–d/c; a/c) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. 
(Vẽ hệ trục Oxy; vẽ 2 đường tiệm cận; lấy điểm đặc biệt; vẽ 1 nhánh của đồ thị, 
rồi lấy đối xứng nhánh đó qua tâm I ta được nhánh còn lại; dáng điệu của đồ thị như 
hình