Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng tam thức bậc hai để giải phương trình và bất phương trình đại số có chứa tham số

có nghiệm duy nhất
	Lời giải: Ta có	 
nên nếu đặt f(x) = (m – 6)x2 + 3x thì bài toán chuyển về tìm m để f(x) có nghiệm duy nhất trên 
D = (-, 1]. Ta xét hai trường hợp sau đây:
	1) Nếu m – 6 = 0 m = 6 thì f(x) = 3x và có nghiệm duy nhất x = 0 D. Tức là 
m = 6 thoả mãn.
	2) Nếu m – 6 0 m 6 thì f(x) = (m – 6)x2 + 3x có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng 0. Lúc này f(x) có nghiệm duy nhất trên D = (-, 1] khi nó có hai nghiệm thoả mãn x1 = 0 1 (m – 6)(m – 3) < 0 3 < m < 6).	
	Vậy với 3 < m Ê 6 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
	Bài toán 1b
	Tìm điều kiện để bất phương trình ax2+ bx + c > 0 (,, <) có đúng một nghiệm thuộc tập hợp D cho trước.
	Phương pháp giải 
	- Tìm điều kiện để bất phương trình có nghiệm. Khi đó tập nghiệm T của nó có dạng
 (-, x1)(x2, + ), hoặc (x1, x2), hoặc (-, x1), hoặc ( x2 , +), hoặc (-, x1][x2,+ ), hoặc [x1, x2] , hoặc (-, x1], hoặc [x2,, + ) .
	- Tìm điều kiện để TầD chỉ có một phần tử. Chuyển bài toán về so sánh các số với nghiệm của f(x) = ax2 + bx + c.
	Ví dụ 5: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất
	Lời giải: Vì 2x2 + 4x +8 +m2 = 2(x+1)2 +m2 +6 > 0 x R, nên bất phương trình đã cho tương đương với hệ sau:
Đặt f(x) = x2 +6x + 7 + m2. Bài toán chuyển về tìm m để bất phương trình f(x) 0 có nghiệm duy nhất trên tập D = [1, + ). Giả sử bất phương trình f(x) 0 có tập nghiệm T ặ. Khi đó nó có dạng T = [x1, x2], với x1 x2 là hai nghiệm của f(x). Theo định lí Viét thì 
S = x1 + x2 = - 6 < 0 nên trong hai số x1, x2 có ít nhất một số âm. Mặt khác, ta nhận thấy nên không xảy ra khả năng x1 = x2 D. Do đó TầD có một phần tử khi và chỉ khi
Nhưng hệ này vô nghiệm. Do đó không có giá trị nào của m để bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
	Ví dụ 6: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất
	Lời giải: Ta có x2 - 10 x 1 hoặc x Ê -1. Đặt f(x) = 2x2 + (m-1)x + 2 . Bài toán chuyển về tìm m để bất phương trình f(x) Ê 0 có nghiệm duy nhất thuộc tập
D = (-, -1] [1, + ). Nhận thấy nếu bất phương trình f(x) Ê 0 có nghiệm thì tập nghiệm của nó có dạng T = [x1, x2] với x1 Ê x2 là nghiệm của f(x). Vì vậy TầD có một phần tử khi 
x1 = -1 Ê x2 < 1 hoặc -1 < x1 Ê x2 =1. Ta xét các khả năng sau:
	- Nếu f(-1) = 0 thì m = 5. Với m = 5 thì f(x) có nghiệm kép x1 = x2 =-1 ị T = {-1}. Vậy m = 5 thỏa mãn vì TầD = {-1} có đúng một phần tử.
	- Nếu f(1) = 0 thì m = -3. Với m = -3 thì f(x) có nghiệm kép x1 = x2 =1 ị T = {1}. Vậy m = -3 thỏa mãn vì TầD = {1} có đúng một phần tử.
	Vậy với m = 5 hoặc m = -3 thì hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
	Bài tập áp dụng
1. Tìm điều kiện để phương trình sau có nghiệm duy nhất trên tập D đã chỉ ra.
 1) (2m +1)x2 - 4x -2m + 4 = 0, D = (-,].
 2) mx2 +(3 - m)x +1 = 0, D = (-1,0).
 3) x2 + mx + m - 3 = 0, D = (-2,-1) (1,2).
 4)(3-m)x2 + 2mx +m +2 = 0, D = (-1,3).
 5)(m-1)x2 -2(m+1)x +m+2 = 0, D = (0,+ ).
 6)(m-1)x2 +2(m-3)x +m+3 = 0, D = (- ,0).
 7)mx2 +(1-m2)x -m =0, D = [2,+ ).
 8) 2x4 -2mx2 +m2 -3m -3 = 0, D = R.
 9)(m +1)x2 -3mx +4m = 0, D = (1,+ ).
 10)(m+2) -2(m-1) +m -2 = 0, D = (0,+ ).
 2. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất.
3. Tìm m để phương trình mx2 - 2(m+1)x + 1 = 0 có đúng một nghiệm nằm trong khoảng 
 D = (0, 1)	 (ĐHSP Vinh - 2000).
4. Tìm m để phương trình - x = m có nghiệm duy nhất.
5. Tìm m để bất phương trình có nghiệm duy nhất.
6. Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất
 7. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất
(m + 1)x2 - 2(m2 - 2m - 2)x + 3m ³ 0.
2.2. Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình bậc hai có nghiệm và mọi nghiệm của nó đều thuộc tập hợp D cho trước
	Bài toán 2
	Cho phương trình f(x) = ax2 +bx +c = 0 (hoặc bất phương trình f(x) > 0 (³,<,Ê) ). Tìm điều kiện để phương trình (bất phương trình) có nghiệm và mọi nghiệm của nó đều thuộc tập hợp D è R cho trước.
	Phương pháp giải
	- Tìm điều kiện để phương trình (bất phương trình) có nghiệm. Giả sử tập nghiệm của nó là T.
	- Tìm điều kiện để T è D. Chuyển bài toán về so sánh các số với nghiệm của f(x).
	Ví dụ 7: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:
x2 - 2ẵx - mẵ - 2mx + m + 1 = 0 .
	Lời giải: Đặt t =ẵx - mẵ ³ 0, ta có t2 = x2 - 2mx + m2. Phương trình đã cho trở thành 
t2 - 2t - m2 + m + 1 = 0. Bài toán chuyển về tìm m để f(t) = t2 -2t-m2 +m + 1 có hai nghiệm dương phân biệt. Tam thức f(t) = t2 - 2t - m2 + m + 1 có hai nghiệm 0 < t1 < t2 
(cũng có thể dựa vào định lí Viet để đưa ra điều kiện , từ đó tìm ra m như trên). 
Vậy những giá trị cần tìm của m là < m < 0 Ú 1< m < .
	Ví dụ 8: Cho hai bất phương trình x - x2 > 0 (1), mx2 - x + 1 - m < 0 (2).
Tìm m để (2) có nghiệm và (1) là hệ quả của (2).
	Lời giải: Ta thấy (1) Û 0 0. Và cần tìm m để f(x) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 0 Ê x1 < x2 Ê 1. Điều kiện là: 
.
	Vậy những giá trị cần tìm của m là < m Ê 1.
	Bài tập áp dụng
 8. Tìm m để phương trình có nghiệm và mọi nghiệm đều thuộc tập D đã chỉ ra.
 a) (x - 3)(x + 1) + 4(x - 3) = m, D = (-Ơ , -1). 
 b) x2 – 2mx + 5m – 4 = 0, D = [0, 1].
 9. Tìm m để phương trình x2 +mx + m m –3 = 0 có nghiệm và mọi nghiệm đều thoả mãn 
 1 < ẵxẵ < 2.
10. Tìm m để mọi nghiệm của bất phương trình x2 – m(m2 + 1)x + m4 > 0 đều là nghiệm của 
 bất phương trình x2 + 4x + 3 > 0.
2.3. Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình bậc hai có nghiệm thuộc tập hợp D cho trước
	Bài toán 3 
	Cho f(x) = ax2 + bx + c. Tìm điều kiện để phương trình f(x) = 0 (hoặc bất phương trình f(x) > 0 (³,<,Ê)) có nghiệm thuộc tập hợp D è R cho trước.
	Phương pháp giải 
	- Gọi T là tập nghiệm của phương trình (bất phương trình) đã cho. Tìm điều kiện để 
T ầ D ạ ặ. Chuyển về bài toán so sánh nghiệm của f(x) = ax2 + bx + c với các số.
	- Cũng có thể tìm điều kiện để phương trình (bất phương trình) vô nghiệm trên D, rồi suy ra điều kiện để nó có nghiệm trên D.
	Ví dụ 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
 (ĐH Y Dược TP.HCM -1997).
	Lời giải: Phơng trình đã cho tương đương với
Đặt t = ³ 0 (3). Từ (1) và (3) ta có:
 (4).
Phương trình (4) giải ra được nghiệm x theo t khi và chỉ khi 92 – 4t2 ³ 0 Û ẵtẵÊ. Từ đây và 
t ³ 0 suy ra 0 Ê t Ê. Thế (3) vào (2) ta được t2- 2t + m - 9 = 0. Bài toán chuyển về tìm m để 
f(t) = t2- 2t + m - 9 có nghiệm thuộc tập D = [0, ]. Ta xét các khả năng sau:
	i) f(t) có nghiệm t1, t2 thoả mãn t1 < 0 < t2 < Ú 0 < t1 < < t2 
f(0).f() < 0 Û (m-9)(m+) < 0 Û - < m < 9.
	ii) f(t) có nghiệm t1, t2 thoả mãn 0 < t1 Ê t2 < Û Û 
Û 9 < m Ê 10.
	iii) f(t) có nghiệm t = 0 hoặc t = Û f(0)f() = 0 Û (m - 9)(m + ) = 0 
Û.
	Từ các trường hợp trên suy ra với -Ê m Ê 10 thì phưong trình đã cho có nghiệm.
	Ví dụ 10: Cho f(x) = x2 – 2(m + 1)x + m2 – 1.
a) Tìm m để bất phương trình f(x) Ê 0 có nghiệm thuộc khoảng (1, 5).
b) Tìm m để bất phương trình f(x) Ê 0 có nghiệm.
	Lời giải: a) Giả sử bất phương trình f(x) Ê 0 có nghiệm, thì tập nghiệm của nó có dạng 
T = [x1, x2] , với x1 Ê x2 là hai nghiệm của f(x). Khi đó T ầ D ạ ặ khi x1 Ê 1 < x2 hoặc 
x1 < 5 Ê x2. Ta cần xét các trường hợp sau:
	i)f(x) có hai nghiệm x1 < 1 < x2 hoặc x1 < 5 < x2 Û 1.f(1) < 0 Ú 1.f(5) < 0 
Û m2 – 2m – 2 < 0 Ú m2 – 10m +14 < 0 Û 1- < m < 1+ Ú 5- < m < 5+ 
Û 1- < m < 5 +. 
	ii) Nếu f(1) = 0 thì m2 – 2m – 2 = 0 Û m = 1±. Thử lại chỉ có m = 1 + là thoả mãn. 
	Nếu f(5) = 0 thì m = 5 ± . Nhưng thử lại chỉ có m = 5 - là thoả mãn.
	Vậy với 1-< m <5 + thì bất phương trình đã cho có nghiệm trong 
khoảng (1, 5).
	b) Bất phương trình f(x) Ê 0 vô nghiệm Û f(x) > 0 "xẻR Û D/= 2(m+1) < 0 Û m < -1. Từ đó suy ra với m ³ -1 thì bất phương trình f(x) Ê 0 có nghiệm.
	Ví dụ 11: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
	Lời giải: Điều kiện x³ 3, y³ 3. Đặt u = , v = thì u³ 0, v³ 0 và hệ đã cho trở thành 
	 + Hệ có nghiệm u³ 0, v³ 0 Û phương trình 2u2 + u + 6 – m = 0 có nghiệm không âm.Vì S = - < 0 nên phương trình vừa kể trên nếu có nghiệm thì có ít nhất một nghiệm âm. Do đó nó có nghiệm không âm khi và chỉ khi P = Ê 0 Û m ³ 6.
	+ Hệ có nghiệm u³ 0, v³ 0 
Û tam thức f(u) = có nghiệm thuộc tập D = [0, ]
 Û f(0).f() Ê 0 Ú.
	Hệ phương trình đã cho có nghiệm Û Vậy m ³ 6 là những giá trị cần tìm của m.
	Ví dụ 12: Tìm giá trị lớn nhất, mhỏ mhất của hàm số 
`	y = 
	Lời giải: Hàm số xác định với mọi x ẻ [-3,1]. Nếu y là một giá trị của hàm số thì phương trình ẩn x sau đây phải có nghiệm trên [-3,1]
 = y (1).
Do ()2+()2= 4 "xẻ[-3,1] nên ta có thể đặt ị 0Ê t Ê 1. Phương trình trên trở thành 
 (4y - 3). + (3y - 4). + y – 1 = 0
 Û (7 - 5y)t2 + 2(8y - 6)t + 7y – 9 = 0 (2).
Phương trình (1) có nghiệm x ẻ [-3, 1] Û Phương trình (2) có nghiệm t ẻ D = [0, 1]. Đặt
f(t) = (7 - 5y)t2 + 2(8y - 6)t + 7y – 9. Ta xét các trường hợp sau :
- Nếu y = thì (2) có nghiệm t = - ẽ D. Vậy y = không là một giá trị của hàm số đã cho.
- Nếu y ạ thì f(t) là một tam thức bậc hai của ẩn t. Lúc này ta xét hai khả năng:
	+ f(t) có hai nghiệm t1, t2 thoả mãn 0 < t1 Ê t2 < 1 Û 
Û (hệ này vô nghiệm).
	+ f(t) có hai nghiệm t1, t2 thoả mãn 0 Ê t1 Ê 1 Ê t2 Ú t1 Ê 0 Ê t2 Ê 1 
	Vậy ta được miền giá trị của hàm số là [,], suy ra ymax= đạt được khi và chỉ khi
t = 0 Û x = -3, y min= đạt được khi và chỉ khi t = 1 Û x = 1.
	Bài tập áp dụng
11.Tìm m để phương trình có nghiệm.
 1) =x.	 6) x2 – 6x + m + = 0.
 2) x+.	7) x2++(1-3m)(x+) +3m = 0.
 3)ẵx2+2mx+1ẵ=x+1.	 8) (x-1)4 +(x-3)4 = m.
 4) mx2 – 2(m-1)x +2 = ẵmx-2ẵ.	 9) (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = m.
 5).	 10) = = 2.
12. Tìm m để bất phương trình có nghiệm.
 1) mx - Ê m+1.	 2)5 +> 2x + + m.
13. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
 1)	 2)	 3)
14. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
 	 (Học viện QHQT – 1997).
15. Cho x2 + y2– xy = 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
M = x4 + y4 - x2y2.
16. Cho x-3=3 - y. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức 
 P = x+y	 (Thi HSG THPT Quốc gia năm học 2004-2