Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng định lý Vi-Et giải một số dạng toán phương trình bậc hai – quy về bậc hai có chứa tham số

iều kiện để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Giải.
ĐK .
Đặt suy ra , thay vào pt (1) ta được phương trình: 
Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm 
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm 
Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (2) có 2 nghiệm thỏa 
Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất ta xét 2 trường hợp sau:
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm 
(Trong đó là biệt thức của pt (3), )
Nhận xét: Với dạng toán này hầu hết các sách tham khảo đều đặt , và đưa về phương trình bậc 2 có dạng: , khi đó để giải quyết các câu hỏi đặt ra thì đều phải sử dụng tới định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ quả, hoặc sử dụng công cụ đạo hàm. Cả hai cách này đều không phù hợp với tư duy, kiến thức của học sinh lớp 10, 11 và ngay cả đối với học sinh lớp 12, bởi vì công cụ dùng đạo hàm để giải không phải lúc nào cũng tối ưu. 
Bài toán 6. Cho phương trình: 
Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Giải.
Phương trình (1) 
Đặt , vì nên ta có điều kiện , thay vào (2) ta được phương trình: 
Để phương trình (1) có nghiệm thì pt (3) có nghiệm 
TH1: Xét , thay vào phương trình (3) tìm nghiệm và giải bất phương trình .
TH2: Phương trình (3) có nghiệm .
TH3: Phương trình (3) có nghiệm 
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì pt (3) có 2 nghiệm 
Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm 
TH1: Xét , thay vào phương trình (3) tìm nghiệm và giải bất phương trình 
TH2: Phương trình (3) có nghiệm .
TH3: Phương trình (3) có nghiệm 
TH4: Phương trình (3) có nghiệm 
(Trong đó là biệt thức của phương trình (3), )
Nhận xét: Dạng toán này hay xuất hiện trong chuyên đề về phương trình chứa căn, và những bài toán như thế cũng từng xuất hiện trong các đề thi Đại học, Cao đẳng, nhưng tất cả đều đưa ra phương án là đi so sánh nghiệm của phương trình (2) với số thực . Song với cách giải như trên thì ta đã đưa bài toán về so sánh nghiệm của phương trình (3) với số 0.
Bài toán 7.Cho phương trình: với .
Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất
Giải.
Phương trình (1) 
Đặt , vì nên ta suy ra điều kiện . Thay vào phương trình (2) ta được phương trình: 
Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm 
TH1: Xét , thay vào pt (3) tìm nghiệm và giải bất phương trình .
TH2: Phương trình (3) có nghiệm 
TH3: Phương trình (3) có nghiệm 
TH4: Phương trình (3) có nghiệm 
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì pt (3) có 2 nghiệm 
Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm 
TH1: Xét , thay vào phương trình (3) tìm nghiệm và giải bất phương trình 
TH2: Phương trình (3) có nghiệm .
TH3: Phương trình (3) có nghiệm 
TH4: Phương trình (3) có nghiệm 
Nhận xét: Đây là dạng toán giống với bài toán 6 đã giải quyết ở trên, ta cũng đã đưa về so sánh nghiệm của một phương trình có dạng bậc 2 với số 0.
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1. Cho phương trình: 
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .
Giải.
Đặt , thay vào pt (1) ta được phương trình: 
Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm 
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm : 
Kết luận: với thì phương trình (1) có nghiệm .
Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm 
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm 
Kết luận: với thì phương trình (1) có nghiệm .
Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa phương trình (2) có 2 nghiệm: 
 . 
Kết luận: với thì phương trình (1) có hai nghiệm 
Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa phương trình (2) có 2 nghiệm: 
 (vô nghiệm)
Kết luận: không tồn tại m để phương trình (1) có nghiệm .
Nhận xét: Đây chỉ là một ví dụ minh họa cho bài toán tổng quát, tương tự học sinh có thể giải rất nhiều bài toán như vậy với phương pháp như trên mà không sử dụng kiến thức về tam thức bậc hai. Rất nhiều em học sinh sau khi được học ứng dụng của đạo hàm để giải một số dạng toán “Tìm tham số m để phương trình có nghiệm?”, thì khi gặp bài tập này cũng lúng túng không giải quyết được vì không thể đưa bài toán về dạng: để khảo sát. Do đó cách chuyển hóa phương trình như trên, đưa bài toán về so sánh nghiệm của một phương trình bậc 2 với số 0 dựa vào ứng dụng định lý Vi-et là một lựa chọn tối ưu trong bối cảnh các kiến thức về so sánh nghiệm của một tam thức bậc 2 với một số thực đã được giảm tải trong sách giáo khoa.
Bài 2. Cho phương trình: , với tham số .
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Giải.
Ta biến đổi phương trình (1) 
Đặt , thay vào phương trình (2) ta được phương trình: 
Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm 
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm 
Kết luận: Với thì phương trình (1) có nghiệm.
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ta xét 2 trường hợp sau:
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm:
 .
Kết luận: Với thì phương trình (1) có 2 nghiệm. 
Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa: .
Kết luận: Với thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
Phương trình (1) có 4 nghiệm phận biệt phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa: 
Kết luận: với thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 3. Cho phương trình: 
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Giải 
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (1), chia hai vế của phương trình (1) cho , ta được:
Vì , đặt suy ra , thay vào phương trình (2) được: (3).
Để phương trình (1) có nghiệm x > 0 thì phương trình (3) có nghiệm . Xét 2 trường hợp:
TH1: Phương trình (3) có nghiệm .
TH2: Phương trình (3) có nghiệm .
Kết luận: Với thì phương trình (1) có nghiệm dương.
b) Vì , đặt suy ra , thay vào phương trình (2) được: 
 (4)
Để phương trình (1) có nghiệm x > 0 thì phương trình (3) có nghiệm . Xét 2 trường hợp:
TH1: Phương trình (3) có nghiệm (vô nghiệm).
TH2: Phương trình (3) có nghiệm (vô nghiệm).
Kết luận: Không tồn tại m để phương trình (1) có nghiệm âm.
c) Để phương trình (1) có nghiệm thì .
d) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ta xét các trường hợp sau:
TH1: Phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa: 
TH2: Phương trình (4) có 2 nghiệm thỏa: 
 (vô nghiệm)
TH3: Đồng thời phương trình (3), phương trình (4) có hai nghiệm trái dấu:
 (vô nghiệm)
Kết luận: Với thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 4: Cho phương trình 
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. 
Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Giải
Đặt khi đó , suy ra . Thay vào phương trình (1) ta được
 phương trình sau: 
Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm 
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm .
Kết luận: với thì phương trình (1) có nghiệm.
Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa:
 .
Kết luận: với thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì pt (3) có 2 nghiệm thỏa , hoặc phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa .
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm .
Kết luận: với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Nhận xét: Tương tự ta cũng có thể giải quyết được ngay bài toán: “Tìm m để pt (1) có 
 nghiệm duy nhất”.
Bài 5. Cho phương trình .
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Giải.
ĐK .
Đặt suy ra , thay vào phương trình (1) ta được phương trình: 
Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm 
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm 
Kết luận: với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa:
Kết luận: Với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Để pt (1) có nghiệm duy nhất ta xét 2 trường hợp sau:
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm (vô nghiệm)
Kết luận: với thì pt (1) có nghiệm duy nhất.
Bài 6. Cho phương trình: 
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Giải.
Phương trình (1) 
Đặt , vì nên ta có điều kiện , thay vào phương trình (2) ta được phương trình: 
Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm 
TH1: Phương trình (3) có nghiệm .
TH2: Phương trình (3) có nghiệm .
Kết luận: Với thì phương trình (1) có nghiệm.
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có 2 nghiệm
 (vô nghiệm)
Kết luận: Không tồn tại m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm 
TH1: Phương trình (3) có nghiệm .
TH2: Phương trình (3) có nghiệm .
TH3: Phương trình (3) có nghiệm .
Kết luận: Với thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Bài 7. Cho phương trình: 
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Giải.
Phương trình (1) tương đương 
Phương trình (2) 
Đặt , vì nên ta suy ra điều kiện . Thay vào phương trình (2) ta được phương trình: 
Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm 
TH1: Phương trình (3) có nghiệm .
TH2: Phương trình (3) c