Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng dấu tam thức bậc hai vào giải bất phương trình bậc hai

i một bài toán giải bất phương trình bậc hai thì học sinh sẽ thông hiểu bản chất, mục tiêu và ý nghĩa của định lý về dấu tam thức bậc hai và áp dụng tốt trong quá trình học tập.
 Với tinh thần đó, tôi đề xuất việc “ Ứng dụng dấu tam thức bậc hai vào giải bất phương trình bậc hai ” để trao đổi với giáo viên và học sinh, nhằm giúp học sinh thông hiểu một cách sâu sắc về dấu tam thức bậc hai và một ứng dụng của nó.
 Phaàn II: NOÄI DUNG
 Cơ sở lý luận:
 1.1 Định nghĩa bất phương trình bậc hai: Bất phương trình bậc hai một ẩn là bất phương trình có dạng: (hoặc , ,), trong đó a, b, c là những số thực đã cho,, x là ẩn số.
 Cơ sở lý luận:
 a, Nhận thức của học sinh: Giải các bài toán bất phương trình bậc hai; bất phương trình ở dạng tích, thương các nhị thức bậc nhất, các tam thức bậc hai; học sinh cần nắm vững định lý về dấu tam thức bậc hai, bên cạnh đó cần nắm được các kiên thức liên hệ như:
+ Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất;
+ Cách giải phương trình bậc hai;
+ Định lý Viet;
+ Điều kiện của một bất phương trình, phương trình;
+ Định nghĩa trị tuyệt đối của một số thực;
 b, Vị trí chức năng của việc ứng dụng dấu tam thức bậc hai vào giải bất phương trình bậc hai:
- Chức năng dạy học: Củng cố, rèn luyện định lý về dấu tam thức bậc hai, qua đó học sinh thông hiểu và vận dụng tốt vào việc giải bất phương trình bậc hai.
- Chức năng giáo dục: Hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, có niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
- Chức năng phát triển: Phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành tư duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: Nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh.
 c, Những yêu cầu chủ yếu của ứng dụng dấu tam thức bậc hai vào giải bất phương trình bậc hai:
- Lời giải không sai lầm;	
- Lời giải phải đầy đủ;
- Lời giải phải đơn giản nhất.
 2. Thực trạng dạy học ứng dụng dấu tam thức bậc hai vào giải bất phương trình bậc hai:
 2.1 Xét dấu tam thức bậc hai : 
 * Cách giải: Tính ( hoặc ), lập bảng xét dấu(Bxd).
 + Nếu >0 (hoặc ) thì f(x) trái dấu với a khi x trong khoảng giữa 2 nghiệm, cùng dấu với a khi x ngoài đoạn giữa 2 nghiệm.
 + Nếu <0 (hoặc ) thì f(x) cùng dấu với a ,.
 + Nếu =0 (hoặc ) thì f(x) cùng dấu với a, , (hoặc ).
 Ví dụ : Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
 a, ; b, 
 c, ; d, 
 Bài giải: 
 x -1 
f(x) + 0 - 0 + 
 a, có a = 2 > 0 và dễ thấy f(x) có hai nghiệm 
 Bxd: 
 Vậy: f(x) >0 x; f(x)<0 -1< x < 
 b,có a = -20, do đó f(x) có hai nghiệm
Bxd: x - 2 
 f(x) - 0 + 0 - 
Vậy: f(x) >0 - 2
 c, có a = 4 > 0 và ’= 4-4 = 0, do đó f(x) có nghiệm kép x
Vậy: >0 , 
 d, có a = 2 > 0 và = 9-32 0 , 
 2.2 Xét dấu các biểu thức dạng: f(x) = P(x).Q(x) ; f(x) 
* Cách giải: + Tìm nghiệm của P(x) và Q(x)
 + Xét dấu P(x) và Q(x) trong cùng một bảng xét dấu
 + Kết luận dấu của f(x)
Ví dụ : Xét dấu các biểu thức: a, ; b, 
Bài giải: a, Ta có: 
 x -1 0 4 
 + 0 - | - 0 + | +
 - | - 0 + | + 0 -
 f(x) - 0 + || - 0 + || -
Bxd: 
(Kết luận dấu của
(Kết luận dấu của f(x) tương tự ở trên).
 b, . 
Vì có a =1>0;=1- 40, 
nên chỉ xét dấu . 
f(x) có nghiệm x =1, x = -3, x = 2
Bxd: 
 x -3 1 2 
 x-1 - | - 0 + | + 
 - 0 + | + 0 - 
 f(x) + 0 - 0 + 0 - 
(Kết luận dấu của f(x) tương tự ở trên).
2.3 Áp dụng dấu tam thức bậc hai vào giải bất phương trình bậc hai:
 Giải bất phương trình bậc hai 1 trong 4 dạng sau : 
 , , , ( với .
Cách giải: + Tìm nghiệm của tam thức 
 + Xét dấu tam thức :
x
x
x
f(x)
cùng trái cùng
dấu a dấu a dấu a
f(x)
cùng cùng
dấu a dấu a
f(x)
cùng dấu a
 + Chọn giá trị của x thỏa mãn dấu bất đẳng thức trong bất phương trình.
 2.3.1 Trường hợp tam thức có hai nghiệm phân biệt ( giả sử )
* Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:
 a, ; b, ; c, ; d, 
Bài giải: 
 a, . 
Tam thức có hai nghiệm , a = 2 >0
Bxd: x -1 
 + 0 - 0 + 
Vậy bất phương trình có tập nghiệm: T = (-1;) .
 b, . 
Tam thức có hai nghiệm , a = 2 > 0
Bxd: x 2 
 + 0 - 0 + 
Vậy bất phương trình có tập nghiệm: T=.
 c, . Tam thức có hai nghiệm , a = -3 < 0
Bảng xét dấu: x - 2 
 - 0 + 0 - 
Vậy bất phương trình có tập nghiệm: T=[- ; 2] .
 d, . Tam thức có hai nghiệm , a =-1<0
Bxd: : x -5 4 
 - 0 + 0 - 
Vậy bất phương trình có tập nghiệm: .
* Nhận xét: Trường hợp tam thức có hai nghiệm phân biệt(giả sử ) thì ta tìm nghiệm của bất phương trình bằng cách dựa vào qui tắc xét dấu tam thức bậc hai: (thuật nhớ: Trong Trái, Ngoài Cùng )
Bất phương trình
Dấu của a
Nghiệm của bpt
Dấu tam thức
a>0
Ngoài Cùng
a<0
Trong Trái
a>0
a<0
Ngoài Cùng
a>0
a<0
Trong Trái
a>0
a<0
Ngoài Cùng
2.3.2 Trường hợp tam thức có nghiệm kép , (=0)
* Ví dụ: giải các bất phương trình sau:
 a,; b,; c,; d, .
Bài giải:
 a, . Tam thức có nghiệm kép vì ’= 0.
 Hệ số a = 4>0 >0, 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình: T= .
 b, . Tam thức có nghiệm kép vì ’= 0
 Hệ số a = -9 <0 . Do đó: < 0, , hoặc =0 khi x=
Vậy tập nghiệm của bất phương trình: T .
 c, luôn đúng , 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình: T =R.
 d, luôn sai bất phương trình vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của bất phương trình: T 
 * Nhận xét: ; 
 Ngoài việc dùng dấu tam thức bậc hai để giải bất phương trình, trong trường hợp’= 0 ta có thể đưa bất phương trình về dạng chứa các hằng đẳng thức hoặc để xét.
2.3.3 Trường hợp tam thức vô nghiệm <0 ( hoặc’<0).
 * Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:
 a,; b,; c,; d, 
Bài giải:
 a, . Tam thức có a = 3 >0; =1- 12 0, 
 bất phương trình thỏa với mọi 
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình: T = R
 b, . Tam thức có a = -1<0; ’=1- 5<0< 0,
Vậy bất phương trình vô nghiệm
 c, . Tam thứccó a = -4<0;=9-48<0<0,
 bất phương trình thỏa với mọi . Vậy tập nghiệm của bất phương trình: T =R
 d, . Tam thức có a = 2 > 0;’=4- 60, 
Vậy bất phương trình vô nghiệm.
 * Nhận xét: ; 
 3. Ứng dụng dấu tam thức bậc hai vào giải bất phương trình dạng tích, thương các nhị thức, tam thức: f(x) = P(x).Q(x); f(x) 
Cách giải: + Đưa bất phương trình về dạng: f(x) > 0, (hoặc , f(x) < 0, ).
 + Xét dấu f(x).
 + Dựa vào bảng xét dấu chọn khoảng nghiệm của x đúng với dấu của bất phương trình.
* Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:
 a, (x+1)()>0; b, (; c, ; d, 
Bài giải:
 a, (x+1)()>0
Xét dấu f(x)=(x+1)() . Ta có: 
Bxd: x -1 1 2 
 x+1 - 0 + | + | + 
 + | + 0 - 0 + 
 f(x) ///// -//// 0 + 0////-////0 + Vậy tập nghiệm: .
b, ( 
 (*)
 Vì tam thức có a = 2 >0 và ’=1- 10 <0 
nên >0, 
Do đó Bpt (*)< 0 
Vậy bất phương trình có nghiệm : .
 c, ; 
Xét dấu . 
Ta có: 
 Bxd: x -2 - 0 1 
 + 0 - | - 0 + | +
 + | + 0 - | - 0 +
 f(x) + 0////- ////|| + 0////-///|| +
Vậy bất phương trình có tập nghiệm .
 d, .
Vì ,. Do đó ta xét dấu: 
Bxd: x -1 1 2 3 
 + | + 0 + | + | +
 - 0 + | + | + | +
 + | + | + 0 - 0 +
 f(x) - 0 ///+///0///+///|| - ||/// +////
Vậy bất phương trình có tập nghiệm: .
* Nhận xét: 
 vô nghiệm trên đoạn khi xảy ra các trường hợp:
 ; S là tập nghiệm mà đạt được
 có nghiệm trên : ta nên xét các điều kiện của bất phương trình vô nghiệm rồi lấy phần bù của kết quả.
 Phaàn III: KEÁT LUAÄN
Ý nghĩa và tác dụng:
 Việc ứng dụng dấu tam thức bậc hai vào giải các bài toán bất phương trình bậc hai, là một hoạt động dạy học, giáo dục, thực hiện các chức năng: dạy học, giáo dục, phát triển, kiểm tra. Là việc làm mang những ý nghĩa và tác dụng tích cực sau:
Làm rõ, khai thác sâu bản chất định lý về dấu tam thức bậc hai, thực hiện tốt mục tiêu và ý nghĩa của việc giải bất phương trình bậc hai.
Giải quyết tốt các mâu thuẫn trong việc tìm các khoảng nghiệm của một bất phương trình bậc hai.
Áp dụng giải giải các bất phương trình dạng tích, thương của các biểu thức chứa ẩn,..
Giúp cho giáo viên có bài dạy sâu sắc và đồng thời có sự quan tâm đúng mức trong dạy học, đặc biệt chú ý nâng cao được chất lượng học sinh yếu, kém.
Giúp cho học sinh có bài học với sự thông hiểu và thành thạo kỹ năng trong việc giải bất phương trình bậc hai và tiến bộ trong học tập.
Góp phần nâng cao chất lượng giáo dục và mục tiêu đào tạo của nhà trường.
Tạo niềm tin trong học sinh và nhân dân, đồng thời làm thỏa mãn nhu cầu học tập, giáo dục của họ.
 Ứng dụng dấu tam thức bậc hai vào giải bất phương trình bậc hai đã được thực thành công trong hoạt động dạy học trong nhà trường. Kết quả đạt được qua kiểm tra,đánh giá:
Phân loại
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Tỷ lệ
12,5%
17,6%
37,9%
20,3%
11,7%
Phạm vi áp dụng và khả năng vận dụng:
 - Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng dấu tam thức bậc hai vào giải bất phương trình bậc hai áp dụng:
 + Thực hiện dạy học đối với mọi đối tượng học sinh học lớp 10 Ban khoa học cơ bản.
 + Làm một tài liệu có giá trị trong giảng dạy cho giáo viên, trong học tập cho học sinh.
 + Góp phần trang bị thêm một tài liệu cho thư viện sách của nhà trường để dạy và học.
- Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng dấu tam thức bậc hai vào giải bất phương trình bậc hai có khả năng vận dụng trong nhiều phạm vi kiến thức môn Toán, như:
 + Xét sự biến thiên, tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất của hàm số; 
 + Chứng minh bất đẳng thức;
 + Biện luận số nghiệm của phương trình;
.
 3. Những đề xuất, kiến nghị: 
- Nhà trường tạo điều kiện tốt về vật chất và tinh thần, phát huy việc tổ chức các cuộc Hội thảo chuyên môn để trao đổi kinh nghiệm trong giáo viên, nâng cao chuyên môn.
- Ngành giáo dục của Tỉnh thường xuyên tổ chức phong trào thi viết sáng kiến kinh nghiệm, nghiệm thu, đánh giá, khen thưởng kịp thời.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa, sách giáo viên (Ban cơ bản) – NXB giáo dục.
Giáo trình “Phương pháp dạy học môn Toán” - Th.s Nguyễn Duy Hoàng.
 PHAÀN ÑAÙNH GIAÙ XEÁP LOAÏI
ÑAÙNH GIAÙ XEÁP LOAÏI CUÛA HOÄI ÑOÀNG KHOA HOÏC TRÖÔØNG
..............................................................................................................................................................