Sáng kiến kinh nghiệm Toán lớp 8 - Phân tích một đa thức thành phân tử và các ứng dụng trong giải toán

- 1 là những biểu thức chia hết cho x2 + x + 1.Những đa thức này khi phân tích thành nhân tử đều có chứa thừa số x2 + x + 1.
Tuy nhiên bài toán này có thể giải được bằng cách sử dụng hằng đẳng thức đơn giản hơn như sau:
 x8 + x4 + 1= (x8 + 2x4 + 1) - x4 
	= (x4 + 1)2 - (x2)2 
	= (x4 + x2 + 1)(x4 - x2 + 1) = [(x4 + 2x2 + 1) - x2] (x4 - x2 + 1)
	= [(x2 + 1)2 - x2] (x4 - x2 + 1) = (x2 + x + 1)(x4 - x2 + 1)
c- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Phương pháp này thường áp dụng với những đa thức có dạng
 A(x). B(x) + C Trong đó A(x) và B(x) có thể biểu diễn được qua nhau. Ví dụ A(x) có thể viết dưới dạng của B(x) hoặc ngược lại. Ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12
	b) 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2
Giải:
	a) (x2 + x + 1)( (x2 + x + 2) - 12
	Đặt x2 + x + 1 = y x2 + x + 2 = y + 1
	Ta có y(y+1) - 12 	= y2 + y - 12
	= y2 - 9 + y - 3
	= (y - 3)(y + 3) + (y - 3)
	= (y - 3)(y + 3 + 1)
	= (y - 3)(y + 4)
	Thay y = x2 + x + 1 ta được:
	(y - 3)(y + 4) = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4)
	= (x2 + x - 2) (x2 + x + 5)
	= (x2 - 1 + x - 1)(x2 + x + 5)
	= [(x - 1)(x + 1) + x - 1](x2 + x + 5)
	= (x - 1)(x + 1 + 1)(x2 + x + 5)
	= (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5)
ở trong ví dụ này ta đã đổi biến x thành biến y sau đó đi phân tích đa thức chứa biến y thành nhân tử rồi quay trở lại đa thức với biến ban đầu là x. Cuối cùng ta lại phân tích đa thức chứa biến x thành nhân tử.
	b) 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2
Nếu để nguyên đa thức trên thì rất khó đặt ẩn phụ nên ta phải biến đổi thêm:
4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 = 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2
 = 4(x2 + xy + xz) (x2 + xy + xz + yz) + y2z2
	Đặt: x2 + xy + xz = m
	Ta có: 4m(m + xz) + y2z2
	= 4m2 + 4mxz + y2z2
	= (2m + yz)2
	Thay m = x2 + xy + xz ta được:
	(2m + yz)2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) (x2 + x)2 - 2(x2+ x) - 15
	b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24
	c) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15
Giải:
	a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15
	Đặt: x2 + x = y
	Ta có: y2 - 2y - 15	= y2 - 5y + 3y - 15
	= y(y - 5) + 3(y - 5)
	= (y - 5)(y + 3)
	Thay y = x2 + x ta được:
	(y - 5)(y + 3) = (x2 + x - 5)(x2 + x + 3)
	Hai đa thức x2 + x - 5 và x2 + x + 3 không phân tích được nữa.
	b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24
	= (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) - 24
	= (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) - 24
	Đặt x2 + 7x + 10 = y ta được x2 + 7x + 12 = y + 2
	 y(y + 2) - 24	= y2 + 2y - 24
	= y2 - 16 + 2y - 8
	= (y - 4)(y + 4) + 2(y - 4)
	= (y - 4)(y + 4 + 2)
	= (y - 4)(y + 6)
	Thay y = x2 + 7x + 10 ta được:
	 (y - 4)(y + 6) = (x2 + 7x + 10 - 4)(x2 + 7x + 10 + 6)
	= (x2 + 7x + 6) (x2 + 7x + 16)
	= (x2 + x + 6x + 6) (x2 + 7x + 16)
	= [x(x + 1) + 6(x + 1)] (x2 + 7x + 16)
	= (x + 1)(x + 6) (x2 + 7x + 16)
	c) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15
	Đặt x2 + 8x + 7 = y x2 + 8x + 15 = y + 8
	Ta có: y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15
	= y2 + 5y + 3y + 15
	= y(y + 5) + 3(y + 5)
	= (y + 5)(y + 3)
	Thay y = x2 + 8x + 7 ta được:
	 (y + 5)(y + 3) = (x2 + 8x + 7 + 5)( x2 + 8x + 7 + 3)
	= (x2 + 8x + 12)( x2 + 8x + 10)
	= (x2 + 2x + 6x +12)( x2 + 8x + 10)
	= [x(x + 2) + 6(x + 2)] (x2 + 8x + 10)
	= (x + 2)(x + 6)( x2 + 8x + 10)
	= (x + 2)(x + 6)(x + 4 - )(x + 4 +)
ở hai ví dụ trên ta thấy cách làm giống nhau khi phân tích các đa thức đó thành nhân tử. Ta còn có cách đặt ẩn phụ khác trong ví dụ dưới đây.
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
	3x6 - 4x5 + 2x4 - 8x3 - 4x + 3 + 2x2
	Nếu theo cách làm	như các ví dụ trước thì với ví dụ này ta không thể phân tích được. Dễ thấy đa thức không thể có nghiệm x = 0.
	Vậy ta có thể biến đổi đa thức như sau:
 x3 (3x2 - 4x2 + 2x - 8 - ) = x3[3(x3 + ) - 4(x2 + ) + 2(x + ) - 8]
	Đặt x + = t t2 = (x + )2 = x2 + 2 +
	 x2 + 	 = t2 - 2
 t3 = (x + )3 = x3 + 3x + + = x3 + + 3(x + )
 x3 + = t3 - 3t
	Thay x + = t; x2 + = t2 - 2; x3 += t3 - 3t
	Ta có:
x3[3(t3 - 3t) - 4(t2 - 2) + 2t - 8] = x3(3t3 - 9t - 4t2 + 8 + 2t - 8)
	= x3(3t3 - 4t2 - 7t)
	= x3t (3t2 - 4t - 7)
	= x3t[(3t2 - 3) - (4t + 4)]
	= x3t[3(t - 1)(t + 1) - 4(t + 1)]
	= x3t(t + 1)(3t - 3 - 4)
	= x3t(t + 1)(3t - 7)
	Thay t = x + ta được
	x3(x + ) (3x + - 7)(x + + 1) = x(x2 + 1)(3x2 + 3 - 7x)(x + + 1)
	= (x2 + 1)(3x2 - 7x + 3) (x2 + x + 1)
	Nói chung đây là một bài toán tương đối phức tạp đòi hỏi phải biến đổi đa thức mới đặt được ẩn phụ. Bài toán này cho ta một cách đặt ẩn phụ khác hẳn với cách đặt ẩn phụ của các ví dụ trước.
d- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hệ số bất định:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành tích của 2 đa thức một đa thức bậc nhất, một đa thức bậc 2.
	x3 - 19x - 30
Giải:
Cách 1: Với các phương pháp phân tích đã biết ta có thể phân tích được đa thức trên thành 2 đa thức theo đúng yêu cầu của đề bài.
	Ta có: x3 - 19x - 30
	= x3 + 8 - 19x - 38
	= (x3 + 8) - 19(x + 2)
	= (x+ 2)(x2 - 2x + 4) - 19(x + 2)
	= (x + 2)( x2 - 2x + 4 - 19)
	= (x + 2)(x2 - 2x - 15)
	Ta thấy x2 - 2x - 15 còn phân tích được nữa nhưng do đề bài yêu cầu là đa thức
 x3 - 19x - 20 viết dưới dạng một tích của 2 đa thức: một đa thức bậc nhất và một đa thức bậc 2. Vậy tích (x + 2)( x2 - 2x - 15) đã thoả mãn yêu cầu của bài toán.
 Cách 2: Kết quả phải có dạng:
	x3 - 19x - 20 = (x + a)( x2 + bx + c)
	 = x3 + bx2 + cx + ax2 + abx + ac
	 = x3 + (b + a)x2 + (c + ab)x + ac
	Ta phải tìm hệ số a, b, c thoả mãn:
	a + b = 0
	c + ab = -19
	ac = -30
	Vì a, c Z và tích ac = -30 do đó a, c {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
	Với a = 2; c = -15 khi đó b = -2 thoả mãn hệ thức trên đo là bộ số phải tìm tức là: x3 - 19x - 30 = (x + 2)(x2 - 2x - 15).
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
	x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1
	Giải:
Nhận xét: Đa thức trên nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là 1. Dễ dàng kiểm tra được 1 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức không có nghiệm nguyên mà chỉ có nghiệm hữu tỉ hoặc vô tỉ. Như vậy, nếu đa thức trên phân tích được thành thừa số thì phải có dạng:
	x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 	= (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
	= x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Vậy ta phải tìm hệ số a, b, c thoả mãn:
	a + c = 6
	ac + b + d = 7
	ad + bc = 6
	bd = 1
	Từ hệ này ta tìm được: a = b = d = 1; c = 5
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
	x3 + 4x2 + 5x + 2
Giải:
Cách 1: Đặt x3 + 4x2 + 5x + 2 	= (x + a)(x2 + bx + c)
	= x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac
	Ta phải có:	a + b = 4
	ab + c = 5
	ac = 2
	Từ hệ này ta tìm được: a = 1; b = 2; c = 2
	Vậy: x3 + 4x2 + 5x + 2 	= (x + 1)(x3 + 3x + 2)
	= (x+ 1)[(x2 + x) + (2x + 2)]
	=(x+ 1) (x+ 1)(x+ 2)
	= (x+ 1)2(x + 2)
Cách 2: Dùng phương pháp nhẩm nghiệm ta thấy trong các ước của hệ số tự do 2 có 1 là nghiệm. Vậy đa thức viết được dưới dạng:
	x3 + 4x2 + 5x + 2 = (x+ 1)(x2 + ax + b)
	 x2 + ax + b = (x3 + 4x2 + 5x + 2) : (x+ 1)
Bằng cách chia hai đa thức ta tìm được:
	(x3 + 4x2 + 5x + 2) : (x+ 1) = x2 + 3x + 2
Vậy x3 + 4x2 + 5x + 2 	= (x + 1)( x2 + 3x + 2)
	= (x+ 1)2(x + 2)
Cách 3: Dùng phương pháp phân tích đã biết là tích hạng tử
	Ta có: x2 + 4x2 + 5x + 2 	= x3 + x2 + 3x2 + 3x + 2x + 2
	= x2(x + 1) + 3x(x + 1) + 2(x + 1)
	= (x +1)(x2 + 3x + 2)
	= (x + 1)(x + 1)(x + 2)
	= (x + 1)2(x + 2)
	Trên đây là Bẩy phương pháp phân tích thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử. Thực tế còn có những phương pháp khác như: phương pháp xét giá trị riêng ...
Ta có thể xét một ví dụ về phương pháp này như sau:
Phân tích thành nhân tử: P = ab(a - b) + bc(b -c) + ca(c - a)
Giải:
Ta có P = ab(a - b) + bc(b -c) + ca(c - a)
Nếu thay a bởi b thì P = 0 + bc(b -c) + ca(c - a). Do vai trò của a, b, c như nhau trong đa thức nên P chia hết cho (a - b)(b - c)(c - a). Trong phép chia đó, đa thức P có bậc 3 đối với tập hợp các biến, đa thức chia (a - b)(b - c)(c - a) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến nên thương bằng hằng số k. Trong hằng đẳng thức 
ab(a - b) + bc(b -c) + ca(c - a) = k(a - b)(b - c)(c - a), ta cho các biến nhận giá trị riêng 
a = 2, b = 1, c = 0 ta được : 2.1.1 + 0 + 0 = k.1.1(-2), do đó 2 = -2k, suy ra k = -1
Vậy P = (a - b)(b - c)(a - c)
Vì thế khi làm dạng toán này không phải lúc nào cũng áp dụng một khuôn mẫu theo một phương pháp giải cố định nào đó. Khi học xong các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thì tuỳ từng bài tập mà học sinh lựa chọn cho mình một phương pháp giải thích hợp để có một cách phân tích nhanh nhất và có hiệu quả nhất.
Như trong phần đầu tôi đã đề cập là quá trình phân tích một đa thức thành nhân tử học sinh chỉ áp dụng theo kiểu xuôi chiều nghĩa là chỉ phân tích đa thức thành nhân tử chứ không tổng kết và vận dụng các kết quả đó vào trong một số các bài toán quan trọng khác, trong phần sau đây tôi xin nêu một vài các ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toán.
Phần II -Một số lợi ích của việc phân tích đa thức thành nhân tử
Chúng ta đều biết: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức khác. Do vậy đối với một số dạng toán nếu ta áp dụng kết quả phân tích thành nhân tử thì sẽ giải được dễ dàng như một số các dạng toán sau:
Dạng 1 : Tính nhanh
Ví dụ 1: (Bài 46, trang 21 SGK)
Tính nhanh:
732 - 272 = (73 - 27)(73 + 27) = 46 . 100 = 4600
20022 - 4 = 20022 - 22 = (2002 + 2)(2002 - 2) = 2004 . 2000 = 4008000.
Ví dụ 2 : (Bài 49, trang 22 SGK)
Tính nhanh:
37,5.6,5 -7,5.3,4 - 6,6.7,5 + 3,5.37,5 = (37,5.6,5 + 3,5.37,5) - (7,5.3,4 + 6,6.7,5) 
= 37,5(6,5 + 3,5) - 7,5(3,4 + 6,6)
= 37,5.10 - 7,5.10 = 375 - 75 = 300.
452 + 402 - 152 + 80.45 = 452 + 2.40.45 + 402 - 152 
= (45 + 40)2 - 152 
= 852 - 152 
= (85 - 15)(85 + 15) = 70.100 = 7000
Ví dụ 3 : (Bài 56, trang 25 SGK)
Tính nhanh:
Trong các ví dụ trên ta thấy để thực hiện được việc tính nhanh thì phương pháp chung là : Phân tích các biểu thức cần tính nhanh ra thừa số rồi tính
Dạng 2 : Tính giá trị biểu thức:
Ví dụ 1 : (Bài 40, trang 19 SGK)
Tính giá trị các biểu thức sau:
a. 15.91,5 + 150.0,85
b. 5x5(x - 2z) + 5x5(2z - x) v