Sáng kiến kinh nghiệm Toán lớp 7 - Phát triển tư duy Toán của học sinh thông qua việc khai thác một bào toán

đảo của số chia
 ; 
 6, Giai thừa của một số tự nhiên.
 n! = 1.2.3.4....(n – 1).n Với n là số tự nhiên khác 0
II- Bài tập thể hiện 
 Bài toán 1: (Bài 87 - SBT Toán 6 – tập 2)
 a, Cho hai phân số và với nZ, n > 0. Chứng tỏ rằng tích của hai phân số này bằng hiệu của chúng.
 b, áp dụng kết quả trên để tính giá trị các biểu thức sau:
 A = 
 B = 
 a, Đối với bài tập này các em đều biết thực hiện phép trừ - đúng quy tắc
 - = +()= 
 Vậy .= - 
 b, Ngay từ đầu bài đã gợi ý cách làm nên các em học sinh đều dễ dàng tính được giá trị của biểu thức A
 A = = 
 Khi tính giá trị biểu thức B nhiều em học sinh lúng túng tôi liền gợi ý: Hãy biến đổi đưa về dạng biểu thức A. Từ đó học sinh đã biết cách tách và giải bài toán này
B = = 
B = = 
 Bài toán 2: 
 Tính tổng:
 S = 
 Sau khi đã làm bài toán 1 thì các em làm ngay được bài toán 2
Lời giải: 
 S = = 1 - + -+ . . . + - 
 S = 1- = 
 Sau bài toán 2 tôi đã tổng quát cho học sinh:
 Với n N, n > 1 thì:
 Sau đây tôi sẽ trình bày một số bài tập được khai thác và phát triển từ hai bài toán trên theo một hệ thống như sau:
1, Các bài toán chứng minh
Bài 1:
 Cho A = 
 Chứng minh A < 1
 Sau khi đưa ra bài tập này tôi đã gợi ý các em hãy so sánh mỗi số hạng của tổng A với một số hạng tương ứng của tổng S
 Học sinh đều thấy ngay: 
 ; ; . . . ; 
 Nên A = < 
 A < 1 - + - + . . . + - = 1 - < 1
 Vậy A < 1
 Tổng quát: Chứng minh:
Bài 2: Cho B = 
 Chứng minh B < 100
 Tôi gợi ý các em hãy quan sát các phân số trong tổng và hướng dẫn các em hãy tách phân số đó ra làm thế nào xuất hiện tổng A.
 Lời giải: Từ 2 đến 100 có 99 số hạng nên tổng B có 99 số hạng 
 B = (1 + ) + (1 + ) + . . . + (1 + ) = 99 + () 
 B < 99 + = 99 + 1 - + - + . . . + - 
B < 99 + 1 - < 100
 Suy ra B < 100
Tổng quát: Chứng minh: < n 
 với n là số tự nhiên lớn hơn 1
Bài 3: Cho C = + + + . . . + 
 Chứng minh C > 98
 Đến bài tập này thì hầu hết các em đã biết cách tách ra để làm xuất hiện bài tập trên như sau:
 C = (1 - ) + (1 - ) + . . . + (1 - )
 C = 99 – () 
 Nên C > 99 – ()
 C > 99 – (1 - + -+ . . . + - )
 C > 99 – (1 - ) = 99 - 1 + = 98 + > 98
 C > 98
 Tổng quát: Chứng minh: > n – 2 
 với n là số tự nhiên lớn hơn 2
Bài 4: 
 Cho D = 
 Chứng minh D < 
 Với bài tập này các em đã biết tách làm xuất hiện thừa số chung để đặt ra như sau:
 D = 
 D = .(1 + )
 D = + .() < + .()
 D < + .(1 - + - + . . . + - )
 D < + .(1 - ) < + 
 Vậy D < 
Tổng quát: Chứng minh 1 ) 
Bài 5:
 Cho E = 
 Chứng minh E < 
 	Đến đây học sinh đã quen dần với việc làm xuất hiện bài toán trước nên các em đã biết giải bài tập này như sau:
 E = <
 E < .() =.(1 - + - + . . . + - )
 Suy ra E < .(1 - ) < 
 Vậy E < 
Tổng quát: Chứng minh : 
 0 )
Bài 6: 
 Cho F = 
 Chứng minh: F > 98
Khi gặp bài tập này các em đã lúng túng khi không tách về bài tập trước được vì tử không đơn giản, tôi lại gợi ý các em quan sát tử và mẫu rồi viết mỗi phân số thành hiệu của 1 với một phân số khác 
Lời giải: 
 G = (1- ) + (1-) +. . . +(1- )
 Mà < ; < ; . . . ; < 
 Nên G > (1- ) +(1- ) + . . . +(1-)
 G > (1- ) +(1- ) + . . . +(1-)
 G > (1- ) +(1-) + . . . +(1- )
 G > 99 – (1 - + -+ . . . + - ) = 99 –(1- ) = 98 + 
 G > 98
 Tổng quát : Chứng minh: 
 > n-1 (nN, n > 0 )
Bài 7: 
 Cho H = 2001- (1+)
 Chứng minh H > 1999
 Hầu như đến bài này các em đều cho rằng không liên quan gì tới bài đã học, nhưng tôi đã chỉ cho các em cách biến đổi biểu thức H cho gọn hơn đã bằng cách sử dụng công thức tính tổng dãy cách đều
 Ta có 1 = ; 1 +2= ; 1+ 2+3 = ; . . . ;1+2+3+...+99 = 
 H = 2001 – ( + + +. . . +)
 H = 2001 – 2.( )
 H = 2001 – 2.( 1 - + -+ . . . + - ) = 2001 -2.(1- )
 H = 2001- 2 + =1999 + > 1999
 Vậy H < 1999
Bài 8: 
 Cho K = (nN, n > 1 )
 Chứng minh K < 1
 Nhiều em do không sử dụng thường xuyên nên quên giai thừa, tôi vừa ôn lại, vừa gợi ý
 = ; = ; < ; . . . ; < 
 Suy ra K < 
 K < 1 - + -+ . . . + - = 1- < 1
 Vậy K < 1
 Tổng quát: Chứng minh 
 1 )
Bài 9:
 Cho M = 
 Chứng minh M < 0,6
 Sau khi làm bài tập 8 học sinh đều biết làm ngay bài tập 9
 Lời giải: 
 M = .( ) 
 M < .()
 M < .(1 - + -+ . . . + - )
 M < .(1- ) < = 0,6
 Vậy M < 0,6
Bài 10: 
 Cho N = 1+ + (nN, n > 0 )
 Chứng minh N < 3
 Dựa vào kết quả của bài tập 8 thì các em làm ngay được bài này
 Lời giải 
 N = 1+1+ < 2++++. . . +
 N < 2+ 1- +-+ . . . +- = 2+ 1- = 3-<3
 Nên N < 3
Bài 11: 
 Cho L = ( nN, n > 0 )
 Chứng minh L < 1
 Đây là một bài tập tương đối khó với các em đòi hỏi kỹ năng biến đổi tốt, vì thế tôi vừa gợi ý vừa phải hướng dẫn các em như sau;
 Ta thấy = ; =; . . . ; 
 Suy ra L = ++. . . +
 L = 1- <1
Bài 12: 
 Cho P = (nN, n > 0 )
 Chứng minh P < 2
 Với bài này tôi phải hướng dẫn các em tách số hạng tổng quát
 = - = - 
 Đến đây thì các em biết giải bài tập này
 Lời giải : 
 Ta có ; ; . . . ; =- 
 P = + - +-+-+. . . +- 
 P = ++1 – ( +) = 2 - ( +) < 2
 Do đó P < 2
Bài 13:
 Cho Q = + ++ . . . + (nN, n > 1 )
 Chứng minh Q < 1
 Tương tự bài tập trên ta có cách giải như sau:
 =- ; = - ; = - ; . . . ; =-
 Nên Q = -+- +-+. . . +-
 Q = - < 1
Bài 14: 
 Cho X = + ++. . . + với n là số tự nhiên ,n2
 Chứng minh X < 
 Lời giải: Xét số hạng tổng quát 
 = < = 2.( - )
 Do đó X = + ++. . . + < 2.( -+ -+ . . . + - )
 Suy ra X < 2.( - ) < 
Bài 15:
 Cho T = +++ . . . + ; nN ,n3
 Chứng minh T < 
 Lời giải:
 Xét số hạng tổng quát
 < = = .(- ) 
 Nên T = +++ . . . +
 T < .(- )
 T < .( - ) < . = 
 Vậy T < 
2, Dạng toán rút gọn
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
 a. A = 
 b. B = 
 Với loại bài tập này học sinh đều biết phải tách mỗi số hạng thành hiệu của hai phân số giống hai bài toán 1, 2
Lời giải: 
a. Ta có A = 
 A = 7.()
 A = 7.()
 A = 7.(-) = 
 b. B = 
 B = -+ . . . +- = - = 
Bài2: Rút gọn
 a. C = 
 b. D = 
 Tôi hướng dẫn các em hãy biến đổi tử bằng độ chênh lệch giữa hai thừa số ở mẫu
 Lời giải: 
 a. C = 
 C = 2.()
 C = 2.()
 C = 2.() = 
b. D = 
 D = 3.()
 D = 3.(--) = 3.( - ) = 
Bài 3: Thu gọn các tổng sau
E = 
 H =
 Lời giải:
a. E = 
 E = 
 E = -
 E = - = 
 b. H = 
 H = 
 H =.(1-)
 H = .(1 -) = . = 
Bài 4: Thu gọn các tổng sau
 a. K = 
 b. M = 
 Lời giải: . 
a. K = 
 K = 
 K = = 
 b. M = 
 M = 2.(--)
 M = 2.( -)= 
 Sau bài tập này tôi cho các em ghi công thức tổng quát 
 3. Dạng toán tìm x:
Bài 1: Tìm số tự nhiên x biết:
 Các em học sinh đều thấy về trái là một tổng mà có dạng giống bài tập ở dạng 2 nên các em đã biết tách ra để thu gọn.
 Ta có: 
 Suy ra 
Bài 2: Tìm số x biết: 
 ở bài tập này các em đã gặp khó khăn chưa biết tách thế nào thì tôi gợi ý hãy nhân cả tử và mẫu của mối phân số với 2.
Lời giải:
 => 2001.(x – 1) = 1999.(x + 1)
 => 2001x – 2001 = 1999x + 1999
 => 2x = 4000
 => x = 2000
Bài 3: Tìm số tự nhiên x biết:
 Với bài tập này các em học sinh giỏi đã biết tình tổng các số tự nhiên từ 1 đến n.
Ta có: 1+2+3+ ...+ x = => =
 Nên ; ; ...
 Suy ra: 
 => 
 => 
 => 
 2011.x – 2011 = 2009.x + 2009
 => 2.x = 4020
 => x = 2010
Bài 4: Tìm x biết
Lời giải
 => 
 => 
 => 
 => 
 => 
 => vậy x=1
4. Một số bài tập tương tự 
Bài 1: Cho A = 
 Chứng minh A < 25
Bài 2: Cho B = 
 Chứng minh B > 94
Bài 3: Cho C = 
 Chứng minh C > 4
Bài 4: Cho D = 
 Chứng minh D < 1
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số tụ nhiên n 1 thì: 
 < 
Bài 6: Tìm x N biết:
Bài 7: Tìm x N, x > 3 biết: 
Bài 8: Tìm x N biết:
Bài 9: Chứng minh rằng: 
 a. 
 b. 
Bài 10: Chứng minh:
III, Kết quả:
 Sau khi áp dụng kinh nghiệm “Phát triển tư duy Toán của học sinh thông qua việc khai thác một bài toán” tôi thấy học sinh tích cực, hăng say học tập môn toán hơn. Các em đã có khả năng biết xâu chuỗi bài toán lại với nhau, khi gặp một bài toán mới đã có những phán đoán như tương tự,giống bài toán nào đó đã gặp, đã làm... và cụ thể kĩ năng giải toán của học sinh tốt hơn rất nhiều.Trên thực tế tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra trên hai lớp 6A và 6B. Lóp 6A được dạy áp dụng kinh nghiệm trên, lớp 6B tôi chỉ dạy đơn thuần là luyện tập và chữa bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập. Kết qủa bài kiểm tra cụ thể như sau:
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
TB
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
6A
35
11
31,4
18
15,4
6
17,2
0
0
6B
32
3
9,4
10
31,25
16
50
3
9,35
Rõ ràng kết quả học tập của học sinh lớp 6A cao hơn hẳn kết quả của học sinh lớp 6B. Không chỉ thể hiện ở kết quả mà thái độ, ý thức học tập bộ môn của các em học sinh lớp 6A cũng khác hẳn, các em hăng say học Toán hơn, yêu thích bộ môn Toán hơn.
C - Kết luận và khuyến nghị
I, bài học kinh nghiệm.
 Dạy học Toán đòi hỏi phải cuốn hút học sinh vào nhưng hoạt động học tập do giáo viên tổ chức,chỉ đạo thông qua đó học sinh tự khám phá điều mình chưa biết .Để đảm bảo tiết học có hiệu quả,có chất lượng đòi hỏi người thầy phải đầu tư thời gian và trí tuệ vào nội dung của từng tiết học biết cách vận dụng tốt các phương pháp tổng quát hoá,đặc biệt hoá tương tự để từ nhưng kiến thức đã có giúp học sinh mở rộng đào sâu hệ thống hoá kiến thức... giúp học sinh biết cách tìm lời giải của một bài toán khó hoặc cao hơn khi gặp phải những bài toán mới tương tự.
 Muốn rèn và phát triển tư duy học toán cho học sinh, đòi hỏi người thầy phải thường xuyên học hỏi tìm tòi nghiên cứu, luôn có ý thức tập hợp các bài toán theo một hệ thống có logíc, có phát triển, mở rộng...
II, phạm vi áp dụng.
 Trong kinh ngiệm này bài tập chủ yếu tôi đề cập đến trong chương trình lớp 6 hệ thống bài tập từ dễ đến khó tuỳ theo khả năng tiếp thu của học sinh đến đâu thì ta áp dụng đến đó. Kinh nghiệm này có thể áp dụng dạy chuyên đề,có thể dạy ở các tiết luyện tập, ôn tập cuối năm cho học sinh.
III, Hạn chế.
 Trong kinh nghiệm này bài tập thể hiện chủ yếu là số liệu cụ thể, với những bài to