Sáng kiến kinh nghiệm Toán 8 - Nâng cao năng lực giải toán ở THCS

học sinh thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán.
Giải toán là một hình thức vận dụng những kiến thức đã biết vào các vấn đề cụ thể vào thực tế, vào các vấn đề mới. Trong quá trình giải toán người giải phải hồi tưởng hay nhớ lại những kiến thức toán học đã biết, kết hợp những kiến thức khác nhau để vận dụng. Do đó quá trình giải toán, kiến thức toán học của người giải được củng cố đào sâu và mở rộng.
Giải toán là một hình thức tốt để rèn luyện: Kỹ năng tính toán, kỹ năng biến đổi, kỹ năng suy luận.
Giải toán còn là một hình thức tốt để kiểm tra về năng lực, mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức.
Việc tìm kiếm lời giải là rèn luyện phương pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận, qua đó rèn luyện trí thông minh sáng tạo...
Việc tìm ra lời giải một bài toán khó, phương pháp giải mới điều đó có ý nghĩa to lớn gây cảm hứng, hứng thú trong học toán.
II - Một số điểm cần lưu ý trong phương pháp giải toán và dạy giải toán.
1. Với phương pháp giải toán.
Nhiều học sinh học toán kém, lười học không nắm được kiến thức cơ bản nhưng cũng có nhiều học sinh chịu khó mà bài vẫn không làm được hoặc làm sai, những học sinh đó thường mắc những thiếu sót sau:
- Chưa đọc kỹ đề bài, chưa nắm rõ bài toán, do đó không biết bắt đầu từ đâu. Vì vậy khi gặp khó khăn không biết làm thế nào để tìm lời giải.
- Không chịu nghiên cứu, khảo sát từng chi tiết, không sử dụng hết các dữ liệu của bài toán.
- Không biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo các phương pháp suy luận trong giải toán.
- Không chịu kiểm tra lại lời giải tìm được, bởi vậy có thể tính nhầm hay vận dụng nhầm kiến thức.
2. Với phương pháp dạy giải toán.
Những thiếu sót của học sinh là do lỗi của người thầy trong phương pháp dạy giải toán:
Chưa tạo cho học sinh thói quen tiến hành đầy đủ các bước khi giải một bài toán.
Chưa coi trọng phương pháp suy nghĩ, suy luận trong việc tìm lời giải một bài toán.
Chưa chú trọng đến việc phân tích bài toán theo nhiều khía cạnh để tạo ra các phương pháp và lời giải khác nhau, cũng như chưa phát triển bài toán cụ thể thành bài toán tổng quát.
Chưa chú trọng cho học sinh những kỹ năng thực hành, kỹ năng tính toán, kỹ năng biến đổi, kỹ năng suy luận.
Bắt học sinh giải nhiều bài tập nhưng ít hiệu quả.
Chưa chú ý đến việc lựa chọn một hệ thống bài tập đa dạng đầy đủ mà lặp đi lặp lại khiến học sinh nhàm chán, chỉ giải một cách qua loa, đại khái.
Chưa gây được hứng thú cho học sinh qua việc giải các bài toán.
Chưa khắc sâu mở rộng kiến thức để học sinh giải thành thạo một số dạng toán. Trong quá trình giải toán các phương pháp rất đa dạng và phong phú, song tuỳ từng dạng bài mà áp dụng các phương pháp khác nhau.
Phần II
Các phương pháp thường gặp trong bài toán
* Phân tích và tổng hợp.
Phân tích là chia cái toàn thể ra thành từng phần hoặc tách ra từng dấu hiệu riêng biệt.
Tổng hợp là hợp lại các phần của toàn thể hoặc kết hợp những thuộc tính những dấu hiệu khác nhau.
Phân tích và tổng hợp là 2 thao tác trái ngược nhau nhưng liên quan chặt chẽ với nhau, là 2 mặt của quá trình thống nhất.
1. Phương pháp phân tích trong giải toán.
Đi từ cái chưa biết đến cái đã biết, từ cái cần tìm đến cái đã cho, từ kết luận đến giá thiết gọi là phương pháp phân tích.
Trong giải toán phương pháp phân tích giúp ta tìm ra cách giải nhiều bài toán có hiệu quả.
Ví dụ: a c
 Cho –––– = –––– và (a - b ạ c; c - d ạ 0)
 b d
 a + b c + d
Chứng minh rằng: –––––– = ––––– 
 a - b c - d
 Phân tích tìm lời giải:
	 a + b c + d
 để có : –––––– = ––––– 
 a - b c - d
 	phải có: (a + b ( c - d) = (a - b) ( - d)
	hay: ac - ad + bc - bd = ac + ad - bc - bd
	hay: - ad + ba = ad - bc
	hay: 2ad = 2bc
	hay: ad = bc
 a c
 Hay –––– = –––– (đúng theo giả thiết)
 b d
2. Phương pháp tổng hợp trong giải toán.
Phương pháp đi từ cái đã biết đến cái chưa biết, từ cái đã cho đến cái cần tìm, từ giả thuyết đến kết luận gọi là phương pháp tổng hợp, phương pháp này thường được sử dụng khi trình bày lời giải của các bài toán hay chứng minh định lý.
Ví dụ: Cho bài toán 
Cho a ạ b; a ạ c và a2 = bc chứng minh rằng:
 a + b c + d
 –––––– = ––––– 
 a - b c - d
 Từ giả thiết: a2 = bc ta có: a2 - bc = bc - a2
	hay: a2 - bc + ac - ab = bc - a2 + ac - ab
	hay: - ad + ba = ad - bc
	hay: a (a - b) + c (a - b) = c (a + b) - a (a + b)
	hay: (a - b) (a+ c) = (a+ b) (c - a)
 từ giả thiết a ạ b và a ạ c ta có a - b ạ 0 và c - a ạ 0
 a + b c + a
 Suy ra –––––– = –––––– (điều phải chứng minh)
 a - b c - a
3. Phương pháp so sánh.
Muốn so sánh hai đối tượng nào đó ta phải phân tích các thuộc tính, các dấu hiệu của từng đối tượng, đối chiếu các thuộc tính, các dấu hiệu đó với nhau, rồi tổng hợp lại hai đối tượng có gì giống nhau và khác nhau.
Nhờ so sánh các đối tượng với nhau mà ta nhận thức được các đối tượng đó một cách sâu sắc.
Trong giải toán từ sự so sánh các bài toán ta có thể tìm ra lời giải của bài toán cần giải bằng cách lợi dụng kết quả, phương pháp của những bài toán đã giải.
Ví dụ: Cho D BAC cân tại A; kẻ AH vuông góc với BC (H ẻ BC). Chứng minh rằng: A
	a. HB = HC
	b. BAH = CAH
 B H C
Để chứng minh được bài toán này ta thấy phần chứng minh tương tự như cách chứng minh cho hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp " cạnh huyền và cạnh góc vuông".
 để HB = BC.
Xét: DAHB và D AHC (AHB = AHC = 900)
có cạnh huyền AB = AC
 cạnh góc vuông AH chung
ị D AHB = D AHC (cạnh huyền cạnh góc vuông)
Từ đó suy ra: 
	 HB = HC
	 BAH = CAH
4. Phương pháp tương tự:
Từ hai đối tượng khác nhau ở một số dấu hiệu ta rút ra kết luận rằng hai đối tượng đó giống nhau ở dấu hiệu khác gọi là tương tự.
Một số chú ý khi sử dung "tương tự" Trong giải toán:
- Để tránh việc trình bày dài dòng và không cần thiết trong việc giải toán ta có thể diễn đạt với các ý"chứng minh tương tự ta có...." hay "Tương tự ta có kết quả...."
Phần III
Giải một bài toán như thế nào.
Để giải các bài toán ngoài nắm vững kiến thức người giải toán còn có phương pháp suy nghĩ khoa học. phương pháp suy nghĩ và kinh nghiệm được hình thành qua quá trình học tập, rèn luyện và tích luỹ, nó phụ thuộc vào mỗi con người để đạt đến trình độ mà ta gọi đó là kỹ năng giải toán, thì cần học tập những kinh nghiệm, phương pháp suy nghĩ hợp lý, kết hợp với việc tự rèn luyện vận dụng những kiến thức đã học. Việc giải một bài toán cũng như giải quyết một công việc gì thường tiến hành theo các bước sau:
1. Tìm hiểu đề toán:
Để giải bất kỳ một bài toán nào ta cũng phải hiểu rõ bài toán ấy, nếu không hiểu rõ đề toán sẽ không biết tiến hành giải như thế nào hoặc tiến hành giải nhưng không đạt kết quả.
Để hiểu rõ bài toán cần phải làm gì ?
Trước tiên hãy làm quen với bài toán, đọc kỹ đề toán, khắc sâu vào trí nhớ thì bắt đầu đi sâu vào nghiên cứu.
Nghiên cứu từng yếu tố chính của bài toán.
Đối với bài toán hình học là phải vẽ hình, sau đó phải đi phân tích hình tìm mỗi liên quan giữa các yếu tố hình học.
Đối với những bài toán không phải là bài toán hình ta cũng có thể biểu diễn bằng hình để tìm lời giải.
	 5
Ví dụ: Nửa chu vi hình chữ nhật 2,7m, chiều dài bằng ––– chiều rộng. 
 4
Hỏi diện tích hình chữ nhật đó bằng bao nhiêu ?
Cách giải: ?
- Ta có sơ đồ: Rộng 
 2.7m
 Dài 
- Theo sơ đồ ta có chiều dài 5 phần, chiều rộng 4 phần. Như vậy nửa chu vi là chiều dài cộng với chiều rộng bằng 2,7m ứng với 9 phần bằng nhau.
 chiều rộng hình chữ nhật là:
 (2,7 : 9) . 4 = 1,2 (m)
Chiều dài hình chữ nhật là:
 (2,7 : 9) . 5 = 1,5 (m)
Diện tích hình chữ nhật đó là:
 1,2 . 1,5 = 1,8 (m2)
2. Tìm lời giải:
Tìm lời giải là một hoạt động trong giải toán.
a. Một số phương pháp tìm lời giải.
* áp dụng một số phương pháp của bài toán đã giải
- Sử dụng phương pháp giải.
- Sử dụng kết quả.
- Sử dụng kinh nghiệm.
* Biến đổi bài toán:
- Biến đổi bài toán tạo ra những chi tiết mới, những khả năng mới.
- Phân tích bài toán thành những bài toán quen thuộc, đơn giản hơn, phân thành các ý nhỏ...
3. Thực hiện giải.
Sau khi tìm được lời giải thì việc thực hiện lời giải được tiến hành. Việc tiến hành lời giải được tiến hành chủ yếu, là kết quả để đánh giá quá trình giải toán. Khi đã tìm thấy cách giải thì việc thực hiện giải không khó khăn như trước nữa nhưng tính chất công việc lại khác nhau.
Khi thực hiện lời giải phải nghiệm lại mọi chi tiết, phải thấy rõ rằng mọi chi tiết đều đúng đắn. Một điều rất quan trọng trong việc trình bày lời giải là trình tự chi tiết, nhất là đối với một bài toán phức tạp phải trình bày sao cho thấy được sự liên hệ giữa mỗi chi tiết với toàn bộ, giữa các giai đoạn quan trọng với nhau.
4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Đây là một bước cần thiết và bổ ích, nhưng rất ít người giải toán thực hiện bước này.
Trong quá trình thực hiện rất có thể ta mắc thiếu sót. Việc kiểm tra lại quá trình giải giúp ta sửa chữa sai sót, mặt khác nhìn lại cách giải tìm ra, khảo sát và phân tích lại kết quả và con đường đã đi.
Phần IV
Bài học rút ra từ thực tế.
Để giúp cho học sinh có năng lực giải toán giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản một cách vững vàng.
Trong chuyên đề này cần rèn luyện cho học sinh nắm vững các phương pháp phân tích, tổng hợp, phương pháp so sánh, phương pháp tương tự. Từ đó dưới sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh sẽ vận dụng tốt các phương pháp này để giải các dạng toán khác nhau.
Kết quả:
- Sau khi hướng dẫn học sinh tìm hiểu các phương pháp trên, các em đã có kỹ năng giải các dạng toán chứng minh, phân tích hình...
Qua đó cũng phát huy được tính sáng tạo, tư duy, lôgic toán học, kết quả học sinh cũng biết áp dụng các phương pháp trên để giải một bài toán từ 30% lên 60%.
Phần V
Kết luận
Việc nâng cao chất lượng giảng dạy cần được quan tâm đối với các trường phổ thông, đặc biệt trong giảng dạy môn toán ở trường THCS, trang bị cho các em những kiến thức cơ bản, rèn luyện năng lực, tư duy, sáng tạo cho học sinh là rất cần thiết.
Qua thực tế giảng dạy khi giáo viên hướng dẫn học sinh thành thạo các phương pháp này thì học sinh không những giải nhanh các bài toán sách giáo khoa mà còn giải được các bài toán phức