Sáng kiến kinh nghiệm Toán 8 - Hướng dẫn học sinh giải bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử

ài toán cụ thể.
- Xây dựng cho học sinh một thuật toán về phân tích đa thức thành nhân tử, khắc sâu kiến thức, phát triển năng lực tư duy, sáng tạo của học sinh.
Đó là lý do tôi chọn đề tài: "Hướng dẫn học sinh giải bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử".
Phần II
Nội dung
Chương I - Các kiến thức cơ bản liên quan.
1. Định luật phân phối giữa phép nhân với phép cộng và quy tắc về dấu để sử dụng trong phương pháp: Đặt nhân tử chung.
Ví dụ 1: Phân tích thành tích.
a. 10x2y - 5x3 =5x2. 2y - 5x2.x = 5x2 (2y - x)
b. 3x2 (y - 2z) - 15x (2z - y) =
	 = 3x [x (y - 2z) + 5 (y - 2z)] = 
 = (y - 2z) (3x2 + 5)
2. Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
3. Các bài toán liên quan.
4. Định lý về nghiệm của đa thức.
* Nếu x0 là nghiệm của đa thức f(x) thì:
	f(x) = (x - x0) g(x)
* Đặc biệt: Nếu f(x) = ax2 + bx + c có 2 nghiệm x1, x2 thì f(x) = ax2 + bx + c = a (x- x1) (x - x2).
* Nếu đa thức có tổng các hện số bằng 0 thì chia hết cho: x - 1
* Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chắn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì chia hết cho: x + 1.
Ví dụ: 
a. f(x) = x2 - 3x + 2 = (x - 1) (x - 2).
b. f(x) = 2x2 + 5x + 3 = 2 (x + 1) (x+ 3/2).
Chương II - Các phương pháp cơ bản hướng dẫn thực hiện
I - Các phương pháp cơ bản:
1. Phương pháp đặt nhân tử chung:
Trước hết là hiểu rằng: Phân tích đa thức thành nhân tử là viết đa thức thành dạng tích của các nhân tử . Vấn đề đặt ra là khi nào thì biểu thức không thể phân tích được, hay nói cách khác học sinh phải biết biểu thức nào phân tích được, biểu thức nào không phân tích được, sau đó ta sử dụng định luật phân phối và quy tắc về dấu để phân tích:
Ví dụ 1: phân tích thành tích:
A = 5a2 (b - 2c) - 15a (b - 2c)2.
Ta biết: A = 5a (b - 2c) [a - 3 (b - 2c)]
 	 = 5a (b - 2c) (a - 3a + 6c).
Chú ý: Một biểu thức bậc nhất không thể phân tích được nữa.
Ví dụ 2: B = 2x (y - z) + (z - y) (x + y).
Nhận xét: y - z = - (z - y).
Từ đó: B = 2x (y - z) - (y - z) (x + y) 
	 = (y - z) [(2x - (x+ y)] = 
	 = (y - z) (x - y).
Ví dụ 3: C = x3 - 2x2 + 2x
	 = x (x2 - 2x + 2)
* Biểu thức x2 - 2x + 2 = (x - 1)2 + 1 ³ 1 > 0 " x
nghĩa là đa thức x2 - 2x + 2 không có nghiệm nên không thể phân tích được nữa.
(ta cũng có thể dùng phương pháp phản chứng để chứng minh x2 - 2x + 2 không thể phân tích được nữa).
2. Phương pháp hằng đẳng thức.
Ví dụ 4: Phân tích thành tích
	 D = 4x2 + 12x + 9
* Nhận xét: D không có nhân tử chung nên ta viết: 
	D = (2x2 + 2 (2x) .3 + 32
áp dụng: (b + a)2 = a2 + 2ab + b2
Với a = 2x; b = 3 ta có:
 D = (2x)2 + 2 (2x).3 + 32 = (2x + 3)2
Ví dụ 5: E = 1 - 8x6y3
Chú ý: ta viết 1 = 12 = 13... = 1n (n 
 Khi đó E = 13 - (2x2y)3
áp dụng: a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)
 E = (1 - 2x2y) (1 + 2x2y + 4x4y2)
Hướng dẫn thực hiện:
* Nếu đa thức không có nhân tử chung ta nhận định xem có thể áp dụng hằng đẳng thức nào.
Ví dụ 6: F = - x4y2 - 8x2y - 16
	F = [(x2y)2 + 2.4x2y + 42]
 = - (x2y) + 4)2
* Trước tiên ta xét hạng tử bậc cao nhất kết hợp với số hạng tự do (nếu có) là luỹ thừa bậc mấy để có thể nhận định dùng hằng đẳng thức nào.
Chẳng hạn: D = 4x2 + 12x + 9
Hạng tử cao nhất: 4x2 có dạng (2x)2 và số hạng tự do 9 = 32 nên ta dùng hằng đẳng thức (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
	 E = 1 - 8x6y3
Hạng tử bậc cao nhất: 8x6y3 có dạng (2x2y)3 và 1 có thể viết: 1 = 13 nên ta dùng hằng đẳng thức: a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2).
2. Phương pháp nhóm các hạng tử.
* Một đa thức nếu không dùng được phương pháp đặt nhân tử chung, cũng không dùng được phương pháp hằng đẳng thức thì ta xét một trong các hạng tử, những hạng tử nào có cùng nhân tử chung hoặc là hằng đẳng thức thì ta nhóm lại với nhau.
Ví dụ 7: G = xy - 5y + 2x - 10
Rõ ràng G không phân tích được bằng phương pháp đặt nhân tử chung và hằng đẳng thức.
Trong 4 hạng tử xuất hiện:
 xy - 5y = y (x - 5) và 2x - 10 = 2 (x - 5)
hoặc xy + 2x = x (y + 2) và - 5y - 10 = - 5 (y + 2)
Cả hai hướng đều cho ta kết quả:
	G = (x - 5) ( y + 2)
	 = (y + 2) (x - 5)
Việc chia nhóm phải đạt được mục đích là sau đó xuất hiện nhân tử chung của các nhóm.
Ví dụ 8: H = x2 + 2x + 1 - y2
Trong 4 hạng tử có: x2 + 2x = x (x + 2)
nhưng 1 - y2 = (1 + y) (1 - y). Giữa hai nhóm không có nhân tử chung và ta nhận thấy:
 x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
Khi đó: H = (x + 1)2 - y2 là hiệu 2 bình phương 
nên H = (x + 1 + y) (x + 1 - y)
Ví dụ 9: I = 81x2 - 6yz - 9y2 - z2
Ta có: - 6yz - 9y2 = - 3y (2z + 3y)
 81x2 - 9y2 = (9x + 3y) (9x - 3y) cũng không có nhân tử chung
Ta nhận thấy - (9y2 + 6yz + z2) = - (3y + z)2 nên
	I = 81x2 - (9y2 + 6yz + z2)
 = 81x2 - (3y + z)
 = (9x + 3y + z) (9x - 3y - z)
3. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
Khi các phương pháp đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức và kể cả nhóm các hạng tử không có kết quả ta có thể tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để xuất hiện nhân tử chung giữa các nhóm hạng tử hoặc hằng đẳng thức.
Thông thường ta tách hạng tử chứa đa số các thừa số còn lại để xuất hiện các nhóm có nhân tử chung hoặc tách hạng tử tự do để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
Ví dụ 10: K = x2 + 5x + 6
Vì K có 3 hạng tử nên việc nhóm 2 hạng tử để xuất hiện nhân tử chung là không thể được. Ta tách: 5x = 3x + 2x
Khi đó: K = x2 + 3x + 2x + 6
 K = (x2 + 3x) + (2x +6) = x (x + 3) + 2 (x + 3)
 = (x + 3) (x + 2)
hoặc: K = (x2 + 2x) + (3x + 6) = x (x + 2) + 3 (x + 2)
 = (x + 2) (x + 3).
Ví dụ 11: L = x2 - x - 6
 L = x2 - 3x + 2x - 6 = x (x - 3) + 2 (x - 3)
 = (x - 3) (x + 2)
hoặc: L = x2 - x - 2 - 4 = (x2 - 4) - (x - 2) 
 = (x - 2) (x + 2) - (x + 2)
 = (x + 2) (x - 2 - 1)
 = (x + 2) (x - 3)
4. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
Đa thức có dạng tổng quát của các bình phương ta sẽ thêm bớt cùng một hạng tử sao cho xuất hiện bình phương của một tổng hay một hiệu.
Ví dụ 12: M = x4 + 4
Rõ ràng đây là tổng các bình phương chứ không phải là hiệu các bình phương nên không thể sử dụng công thức hiệu bình phương.
	Ta thấy: M = (x2)2 và 4 = 22
nên M = (x2)2 + 4x2 + 22 - 4x2
 = (x2 + 2)2 - (2x)2
 = (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2)
Chú ý: x2 + 2x + 2 = x2 + 2x + 1 + 1 = (x + 1)2 + 1
 x2 - 2x + 2 = x2 - 2x + 1 + 1 = (x - 1)2 + 1
Đều ³ 1 > 0 " x nên không tiếp tục phân tích được nữa..
Ví dụ 13: Giải phương trình.
	5 x2 - 4(x2 - 2x + 1) - 5
Cách 1: 5 x2 - 4(x2 - 2x + 1) - 5 = 0
 Û 5 (x2 - 1) - 4(x2 - 2x + 1) - 5 = 0
 Û (x - 1) [5 (x + 1) - 4 (x - 1) ] = 0
 Û (x - 1) (5x + 5 - 4x + 4) = 0
 Û (x - 1) (x + 9) = 0 Û x = 1
 x = - 9
Ta áp dụng phương pháp nhóm các hạng tử để phân tích vế trái thành tích.
Cách 2: 5 x2 - 4(x2 - 2x + 1) - 5 = 0
	Û 5 x2 - 4x2 + 8x - 4 - 5 = 0
	Û x2 + 8x - 9 = 0
	Û x2 + 9x - x - 9 = 0
	Û x2 (x + 9) - (x + 9) = 0
	Û (x + 9) (x - 1) = 0 Û x = - 9 
 x = 1
Chương III - Các bước giải.
Qua thực tế giảng dạy và nghiên cứu bài toán phân tích đa thức thành nhân tử bằng một sô ví dụ ở phần trên tôi mạnh dạn đưa ra trình tự các bước giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử như sau:
Bước 1:
- Nhận xét bài toán nếu thấy tất cả các hạng tử có nhân tử chung thì đặt nhân tử chung.
- Nếu tất cả các hạng tử không có nhân tử chung thì kiểm tra phương pháp hằng đẳng thức.
- Nếu không sử dụng được phương pháp hằng đẳng thức thì nhóm các số hạng để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
- Nếu việc nhóm các số hạng không xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức thì ta sử dụng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm bớt cùng một hạng tử.
Bước 2:
Tuỳ theo phần đa thức còn lại đơn giản hay phức tạp mà sử dụng các phương pháp như đã thực hiện ở bước 1.
Một vấn đề học sinh còn rất lúng túng và mất nhiều thời gian đólà: Khi nào thì kết thúc quá trình phân tích.
Do kiến thức về đa thức ở lớp 8 mới dừng ở mức độ khái niệm cơ bản, các em chưa được trang bị về đa thức bất khả quy nên:
+ Quá trình phân tích sẽ kết thúc nếu các phân tử là các nhị thức bậc nhất, hoặc nếu là các biểu thức từ bậc hai trở lên thì chúng luôn khác 0 (hoặc lớn hơn 0 hoặc nhỏ hơn 0 " x).
Trên đây là các bước tiến hành giải một bài toán: phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên chỉ áp dụng đối với những đa thức đơn giản, đặc biệt chỉ sử dụng các phương pháp đã học ở lớp 8. Còn nói chung đối với các đa thức phức tạp hơn sẽ được trình bày tỉ mỉ ở phần dành cho học sinh khá giỏi.
Trong khuôn khổ đề tài này, tôi chỉ muốn đưa ra những vấn đề cụ thể, bức thiết và đơn giản nhằm giúp các em giải được bài toán "Phân tích đa thức thành nhân tử" và áp dụng vào các dạng bài toán khác một cách linh hoạt, thực tế.
Chương IV - Các bài toán liên quan
 5x + 5
Bài toán 1: Cho A = –––––––––
 x2 + 8x + 7
1. Rút gọn P.
2. Tính giá trị của P với x = 1999 
Hướng dẫn giải:
1. Để rút gọn P trước hết ta tìm tập xác định của A. Rõ ràng A xác định
 Û x2 + 8x + 7 ạ 0 có nghĩa ta phải phân tích x2 + 8x + 7 thành tích:
 x2 + 8x + 7 ạ 0 Û x2 + x + 7x + 7 ạ 0
 Û x (x +1) + 7(x + 1) ạ 0
 Û (x +1) (x + 7) ạ 0 Û Û x ạ -1 
 x ạ - 7
 5(x + 1) 5
Khi đó A = ––––––––––– = –––––
 (x + 1) (x + 7) x + 7
 5
2. Thay x = 1997 vào A ta có A = –––––
	 2006
Từ bài toán 1 ta có bài toán 1' như sau:
 5x + 5 5
Chứng minh A = ––––––––– = –––– (x ạ - 1; x ạ - 7)
 x2 + 8x + 7 x + 7
Bài toán 2: Giải phương trình.
 x3 + 8x2 + 17x + 10 = 0
Hướng dẫn giải:
Rõ ràng đây là phương trình bậc ba đầy đủ mà học sinh không có lời giải tổng quát, vì vậy chỉ có thể đưa về phương trình tích.
 x3 + 8x2 + 17x + 10 = x3 + x2 + 7x2 + 10x + 7x + 10
= x2 (x + 1) + 7x (x + 1) + 10 (x + 1) =
= (x + 1) (x2 + 7x +10) =
= (x + 1) (x2 + 2x + 5x + 10) =
= (x + 1) [x (x + 2) + 5 (x + 2)] =
= (x + 1) (x + 2) (x +5) 
 x3 + 8x2 + 17x + 10 = 0 Û (x + 1) (x + 2) (x +5) = 0 x = - 1
	 x = -2
	 x = -5
Phần III 
 Hiệu quả
Sau khi áp dụng bồi dưỡng các em theo đề tài này tôi thấy có kết quả rõ rệt, ở những năm học trước đa số các em chưa giải nổi các bài toán phải sử dụng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm bớt cùng một hạng tử. 
Trước đây các em gặp rất nhiều khó khăn và không có hứng thú giải loại toán này, song sau khi được học theo phương pháp đã trình bày các em đã rất ham m