Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp vectơ để giải một số bài toán hình học phẳng

 bình hành HA’CB’ ta có:
 Lập luận tương tự câu a) ta có:
Vậy: hay 
 (Trường hợp ABC có 1 góc tù , chứng minh tương tự)
3. * Cách 1: Gọi giao điểm của các tia AM, BM, CM, với BC, CA, AB lần lượt là A1; B1; C1. Lập luận như câu a) và b) ta có:
 ( chú ý: < 0, < 0) và 
 (MBC, MBA chung đáy MB, có 
 các đường cao CH, AI) 
Tương tự: 	
Vậy 	, 
từ đó có: 
M
C
A
B
A’
*Cách 2: Gọi A’ là giao điểm của MA và BC.
Ta có: (Áp dụng bài 1.1)
Nhưng: 
 (*)
Mặt khác: . 
 Thay vào (*) được: (đpcm)
* Nhận xét: Sử dụng kết quả câu 3) ta có thể tìm lại được kết quả câu 1), 2) và trong việc giải các bài toán khác. Chẳng hạn ở câu 3) chỉ cần chọn: 
 ( r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC) 
 ta có: 
Bài 1.4: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi N, M, K lần lượt là chân các đường phân giác từ A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
Giải:
Theo tính chất đường phân giác ta có: 
N
C
A
B
K
M
Áp dụng kết quả bài 1.1 ta có: 
Tương tự ta có:
Từ ba đẳng thức trên ta suy ra: 
Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta được:
Vậy 	 
C. Bài tập đề nghị:
Bài tập 1 :
 Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB lần lượt M, N, P. Chứng minh rằng: 
Bài tập 2: 
 Cho tam giác ABC, J là một điểm bất kỳ trong tam giác . Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của J trên các cạnh BC, CA, AB. 
Chứng minh : 
Bài tập 3: 
 Cho tam giác ABC với BC = a; CA = b, AB = c.
 Tìm điểm I sao cho: 
Bài tập 4 :
 Cho tam giác ABC, gọi O, I lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC và H là trực tâm tam giác. 
 Chứng minh:
 1. (ABC không vuông) 
 2.
 3. (A, B, C nhọn)
 4. 
NHÓM II
CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH MỘT HỆ THỨC HÌNH HỌC
Nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng chuyển các sự kiện hình học diễn đạt bằng “ngôn ngữ hình học tổng hợp” sang “ngôn ngữ vectơ”.
A. Cơ sở lý thuyết: 
Khi gặp dạng toán chứng minh hệ thức chứa các bình phương độ dài đoạn thẳng hoặc tích các độ dài đoạn thẳng , chúng ta có thể chuyển hệ thức trên về dạng chứa bình phương vô hướng của các vectơ tương ứng hay tích độ dài các vectơ. Từ đó sử dụng tích vô hướng để giải các bài toán thuộc dạng trên.
B. Bài tập minh họa:
Bài 2.1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm M bất kỳ. 
Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + (a2 + b2 + c2 ) 
 với BC = a, CA = b, AB = c (Công thức Leibnitz)
Giải:
Ta có:
 MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 +
 = 3MG2 + 
 = 
Vậy MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + (a2 + b2 + c2 ) 
Bài 2.2: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi O, I, G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, trọng tâm của tam giác ABC. Và R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC .Chứng minh rằng:
 1. 
 2. OI2 = R2 – 2Rr ( Công thức Euler)
Giải:
 1. Theo công thức Leibnitz, ta có: (1)
 Mà: 
Thay vào (1) ta có: 
 3r2 + (p-a)2 + (p-b)2 + (p-c)2 = 3IG2 + (a2 + b2 + c2)
 3r2 -2p(a + b +c) + a2 + b2 + c2 = 3IG2 + (a2 + b2 + c2)
 3IG2 = 3r2 – 4p2 + (a2 + b2 + c2)
 (đpcm)
2. Ta có: (Theo bài 1.3a)
Vậy OI2 = R2 – 2Rr 
A
M
A
B
C
Bài 2.3: Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b. Điểm M thuộc đoạn AB. Chứng minh rằng: c2.CM2 = a2.AM2 + b2.BM2 + (a2 + b2 – c2).AM.BM
Giải:
Áp dụng bài 1.1, ta có: 
Vậy c2.CM2 = a2.AM2 + b2.BM2 + (a2 + b2 – c2).AM.BM
*Chú ý: Khi M trung điểm của AB, ta có: 
 . 
 Đây là công thức trung tuyến trong tam giác ABC
Bài 2.4: Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB và CD cắt nhau tại M. Qua trung điểm S của BD kẻ SM cắt AC tại K. Chứng minh rằng: 
 (Đề thi đề nghị Olympic 30 – 4 lần 6)
D
B
C
K
A
M
S
Giải:
Đặt: 
Ta có: (1)
Do: cùng phương nên: 
Mặt khác: MA.MB = MC.MD = a > 0 
Từ (1) và (2) suy ra: 
C.Bài tập đề nghị:
Bài tập1: Cho ABC có IG IC ( I là tâm đường tròn nội tiếp và G là trọng tâm tam giác ABC).
 Chứng minh rằng: ( với BC = a, CA = b, AB = c)
 (Đại học Cảnh sát Nhân dân năm 2000)
Bài tập 2: Gọi O là tâm đường tròn nội tiếpABC với các cạnh BC =a,CA=b,AB = c. Chứng minh rằng: 
Bài tập 3: Cho tam giác ABC đều tâm O, M là điểm bất kỳ trong tam giác. Hạ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các BC, CA, AB. 
Chứng minh rằng: 
Bài tập 4: Cho hai trung tuyến AA’ và BB’ của ABC vuông góc nhau. 
Chứng minh rằng: cotgC = 2(cotgA + cotgB)
 (Bộ đề tuyển sinh)
Bài tập 5: Giả sử MN là một đường kính bất kỳ của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác đều ABC và AA1, BB1, CC1 là ba dây cung của (O) và cùng vuông góc với MN. 
Chứng minh rằng: NA4 + NB4 + NC4 = MA4 + MB4 + MC4 = AA14 + BB14 + CC14
 ( Tạp chí “Toán học và tuổi trẻ”)
NHÓM III
CÁC BÀI TOÁN TÍNH TOÁN MỘT BIỂU THỨC HÌNH HỌC
Nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng đã hình thành qua các bài toán nhóm I, II, vừa rèn luyện cho học sinh kỹ năng chuyển các sự kiện hình học diễn đạt bằng “ngôn ngữ hình học tổng hợp” sang “ngôn ngữ vectơ”.
A. Bài tập minh họa:
Bài 3.1: Cho ABC có AB = 3; AC = 4. Phân giác trong AD của góc BAC cắt trung tuyến BM tại I. Tính 
Giải:
* Phân tích theo các vectơ 
M
C
B
A
I
D
Ta có: 
 (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
 Bài 3.2: Cho tam giác ABC, trên cạnh AC lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho: AM = 3MC, NC = 2NB, gọi O là giao điểm của AN và BM. Tính diện tích ABC biết diện tích tam giác OBN bằng 1.
N
B
A
M
C
O
Giải:
* Nếu biết tỉ số thì sẽ tính được SABC.
Vì A, O, N thẳng hàng nên: 
Tương tự: 
hay (1)
 Đặt , 
Ta có: 
Thay vào (1) ta có: 
Từ đó ta có: 
Với x = 
 . 
Vì SONB = 1 SNAB = 10 SABC = 30
Bài 3.3: Cho ABC có BC = a, CA = b, AB = c. 
 Tính : theo a, b, c ( với I là tâm đường tròn nội tiếp ABC) 
 ( Đề thi Olympic toán quốc tế)
Giải:
Ta có: (áp dụng bài 1.3a)
 = abc
* Nhận xét:
Theo kết quả trên ta có: = abc
 ( Bđt Côsi )
 Dấu “=” xảy ra a.IA2 + b.IB2 + c.IC2 = 
 đều. Đây là đề thi Olympic Toán quốc tế 
Bài 3.4: Cho lục giác đều A1A2A3A4A5A6 tâm I, hình tròn (O;R) bất kỳ chứa I. Các tia IAi () cắt (O) tại Bi (). 
 Tính theo R tổng sau: 
 (Đề thi Đề nghị Olympic 30 – 4- lần 7)
Giải:
 *Nhận xét: Để giải bài tập trước hết ta cần có bổ đề sau: 
Cho ABC đều nội tiếp trong đường tròn (O1;R1).
 Khi đó với mọi M có tổng : MA2 + MB2+MC2 không đổi.
 Chứng minh bổ đề: 
Ta có: 
 = 6R2
 Chứng minh bài toán:
 Gọi H, J, K lần lượt là hình chiếu của O lên B1B4, B2B5, B3B6. Ta có các điểm O, I, H, J, K cùng nằm trên đường tròn đường kính OI. 
A1
A6
A5
A4
A3
A2
J
H
K
O
B6
I
B2
B1
B3
B5
B4
.
 Do đó: HJK đều 
 IH2 + IJ2 + IK2 = OH2 + OJ2 + OK2 ( do bổ đề)
Mặt khác: 
Chứng minh tương tự: 
Vậy: 
B.Bài tập đề nghị: 
Bài tập 1: Xác định vị trí điểm M trong ABC để: aMA2 + bMB2 + cMC2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo a, b, c.( a = BC, b = AC, c = AB)
 (Đề thi Đề nghị Olympic 30 – 4 năm 2001)
Bài tập 2: Cho ABC , BC = a, AC = b, AB = c, phân giác trong góc A cắt BC tại D. Tính AD = la theo a, b, c. ( Công thức tính độ dài đường phân giác trong của một tam giác)
Bài tập 3: Cho điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Chứng minh rằng giá trị của không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 
Bài tập 4: Cho đa giác đều A1A2An (n 3) nội tiếp trong đường tròn (O;R). M là điểm tùy ý thuộc đường tròn (O;r). Tính các tổng sau theo R, r : 
Bài tập 5: Cho đường phân giác trong và ngoài góc C của ABC cắt AB tại L và M, biết CL = CM. Tính tổng AC2 + BC2 theo R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ) (Đề thi Olympic Toán Bungari năm 1981) 
NHÓM IV
CÁC BÀI TOÁN VỀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC .
Nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng đã hình thành qua các bài toán nhóm I, II, III vừa rèn luyện cho học sinh kỹ năng chuyển các sự kiện hình học diễn đạt bằng “ngôn ngữ hình học tổng hợp” sang “ngôn ngữ vectơ”.
A. Cơ sở lý thuyết:
 - Sử dụng quy tắc ba điểm và bất đẳng thức trong tam giác, chú ý trường hợp bất đẳng thức trở thành đẳng thức.
 - Dùng các bất đẳng thức: 
 * . Đẳng thức xảy ra khi 
 * . Đẳng thức xảy ra khi cùng phương
 * . Đẳng thức xảy ra khi cùng hướng
 * . Đẳng thức xảy ra khi cùng hướng
 *. Đẳng thức xảy ra khi cùng hướng.
B.Bài tập minh họa:
Bài 4.1: Cho tam giác ABC. Đặt BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một điểm M thỏa mãn: a.MA2 + b.MB2 + c.MC2 abc
Giải:
 Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC, ta có:
 a.MA2 + b.MB2 + c.MC2 = 
 do (bài 1.3)
 Do đó: a.MA2 + b.MB2 + c.MC2 (1) (do (a + b + c)MI2 0)
 Mặt khác do: = abc (2) ( bài 3.3)
 Từ (1) và (2) suy ra: a.MA2 + b.MB2 + c.MC2 abc
 Đẳng thức xảy ra khi M trùng I.
Bài 4.2: Cho ABC và 3 số dương x, y, z. 
Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2 2yz.cosA + 2zxcosB + 2xy.cosC (1)
 (Đề thi Đề nghị Olympic 30 – 4 lần 7)
Giải
Gọi (I;r) là đường tròn nội tiếp ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. 
Khi đó: 0 
 (đpcm)
*Nhận xét: 
Có thể giải bài toán theo cách khác:
(1)x2 (sin2B + cos2B) + y2(sin2A + cos2A) + z2 - 2yz.cosA - 2zxcosB +2xy.cos(A+B) 
 (x.cosB + y.cosA – z)2 + (x.sinB – y.sinA)2 0 ( luôn đúng) 
Dấu “=” xảy ra 
* Qua cách chứng minh trên dễ thấy bất đẳng thức trên vẫn còn đúng với mọi x, y, z R
Khi chọn: x = y = z = 1, ta có: . 
 Đây là bất đẳng thức quen thuộc trong ABC.
Khi chọn y = z = 1, ta được bất đẳng thức mới: 
Bài 4.3: Cho ABC. Chứng minh rằng: 
Giải:
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, ta có: 
* Nhận xét: 
Khi chọn: x = y = z = 1, ta có: 
Khi chọn: , ta có: 
 Đây là bất đẳng thức quen thuộc trong ABC.
 Dấu”=” xảy ra 
C. Bài tập đề nghị:
Bài tập 1: Cho ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1 và BC=a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng với mọi điểm M nằm trong ABC, ta luôn có: 
 a2(b2 + c2 – a2) MA + b2(c2 + a2 – b2) MB + c2(a2 + b2 – c2) MCa2b2c2 
 (Đề thi Đề nghị Olympic 30 – 4 lần 5)
Bài tập 2: Cho ABC với BC = a, CA = b, AB = c. r và R lần lượt là bán kính của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp ABC. 
 Chứng minh rằng: (a - b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 8R(R-2r)
 (Đề thi Đề nghị Olympic 30 – 4 lần 6)
Bài tập 3: Cho ABC và điểm M tùy ý trong mp(ABC). 
 Chứng minh: 
Bài tập 4: Cho ABC .Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có:
NHÓM V
CÁC BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ VUÔ