Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp quy nạp toán học vào việc giải các bài toán hình học

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
 VÀO VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC
------------------o0o-----------------
A. Đặt vấn đề:
 Trong hình học phổ thông có những bài toán chưa hoặc không có thuật giải cụ thể, gặp những bài toán đó học sinh thường lúng túng không biết hướng suy nghĩ tìm tòi lời giải. Đối với những bài toán như vậygiáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm tòi phát hiện lời giải. Nhằm trang bị cho học sinh tri thức phương pháp luận, tư duy sáng tạo trong giải toán. Chúng ta có thể thông qua hướng dẫn giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh phương pháp, kinh nghiệm tìm tòi suy nghĩ phát hiện lời giải. Trong việc giải toán chúng ta có thể hướng dẫn học sinh sử dụng nhiều phương pháp giải toán khác nhau. 
Phép quy nạp toán học được sử dụng rộng rãi trong số học đại số và lý thuyết số. Nhưng những ứng dụng của nó trong hình học lại vô cùng lý thú. Phép quy nạp không chỉ ứng dụng trong việc tính toán các đại lượng hình học đơn thuần mà nó còn được áp dụng trong việc chứng minh định lý hình học, trong giải các bài toán dung hình, quỹ tích. Trong bài viết này có một số ví dụ điển hình cho sự ứng dụng đẹp của PHÉP QUY NẠP TOÁN HỌC trong hình học
B. Giải quyết vấn đề:
I. Phần lý thuyết
CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC BẰNG QUY NẠP TOÁN HỌC
Ví dụ 1: Cho n điểm A1, A2,  An. và n số thực a1, a2, an . Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm O sao cho .( O là tâm tỉ cự của hệ điểm Ai và bộ số ai)
Giải: 
Với n=1 khi đó OA1 rõ ràng O là duy nhất
Giả sử bài toán trên đúng với n. Tức là
Với n điểm A1, A2,  An. và n số thực a1, a2, an . khi đó tồn tại duy nhất điểm O’ sao cho .
* Xét hệ với n điểm A1, A2,  An , An+1. và n+1 số thực a1, a2, an , an+1
an+1 khi đó ta có
Do O’ và An+1 cố định và không đổi nên (*) chứng tỏ rằng O’ cố định và duy nhất
Ví dụ 2: Cho đa giác lồi nội tiếp trong đường tròn. Từ một đỉnh của đa giác vẽ các đường chéo tạo thành các tam giác nội tiếp không chồng lên nhau. Trong mỗi tam giác vẽ đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng tổng bán kính của tất cả các đường tròn này là một đại lượng không đổi và không phụ thuộc vào cách chọn đỉnh của đa giác.
Giải Trước hết ta chứng minh bổ đề:
	Bổ đề: Trong một tam giác ta có:
	r = R( cosA + cosB + cosC –1 )
Thật vậy: 
mà 	
suy ra r = R( cosA + cosB + cosC –1 )
Ta chứng minh bài toán trên:
Với trường hợp đa giác là tam giác A1 A2 A3
Theo bổ đề ta có 
r1 = R( cosA1 + cosA2 + cosA3 –1 )
mặt khác 3 đỉnh của tam giác chia đường tròn thành 3 cung 
gọi aijlà số đo cung AiAj
khi đó ta có
 sđ =sđ =a23
 sđ =sđ =a31
 sđ =sđ =a12
giả sử với đa giác n cạnh, và mọi cách chia như vậy ta luôn có n-2 tam giác và có tổng bán kính n-2 đường tròn nội tiếp : 
Trong đó n đỉnh Ai chia đường tròn thành các cung , liên tiếp và aij là số đo của cung . Rõ ràng tổng trên không đổi với mọi cách chia. 
- Ta chứng minh điều đó cũng đúng với đa giác n+1 cạnh
Thật vậy: Không mất tính tổng quát, từ đỉnh A1 của (n+1) giác A1A2An+1 ta có cách chia như bài ra , khi đó theo giả thiết quy nạp ta có với n-giác A1A2An ta có: 
Mặt khác xét tam giác A1AnAn+1 theo a, ta có
do An+1 nằm trên cung AnA1 suy ra: 
sđ góc AnAn+1A1= = 
	Vậy:
Rõ ràng với đa giác đa cho thì aị là không đổi, với sô n cố định, bán kính R không đổi, khi đó tổng các bán kính đường tròn nội tiếp là khôngđổi với mọi cách chia.
Bài tập ứng dụng1: 
Cho tam giác ABC, trên BC lấy thứ tự các điểm M1, M2 , , Mn-1, 
Gọi: r, r1, r2,, rn ; d, d1, d2, , dn ; R, R1, R2 ,, Rn, lần lượt là bán kínhđường tròn nội tiếp , bàng tiếp góc A, ngoại tiếp các tam giác ABC, ABM1, AM1M2, AM2M3,., AMn-1C. Chứng minh rằng :
 a) 
 b) 
(Gợi ý: a) chứng minh : 	b) chứng minh: )
B: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUY NẠP VÀ0 DỰNG HÌNH:
Từ các bài toán khá hay như trên ta thấy dựa vào phương pháp quy nạp toán học thực sự cho ta hiệu quả cao. Và không dừng lại ở việc tính toán và chứng minh định lý hình học, mà phương pháp này còn được dùng tong các bài toán dựng hình.
Ví dụ 3: Chỉ bằng thước và compa có khẩu độ a. hãy dựng một đoạn thẳng có độ dài bằng 
Giải: 
1. Phân tích: giả sử dựng được đoạn thẳng 
Trên tia OAn xác định điểm Bn sao cho OBn = a. qua An vẽ đường thẳng d , qua O và Bn vẽ 2 đường thẳng song song cắt d tại 2 điểm An-1 và Bn+1 khi đó ta có
vậy . Nhưng vì chỉ được dùng thước và compa khẩu độ a nên việc dựng OAn-1 BnBn+1 bằng cách dựng hình thoi OBn-1BnBn+1 cạnh a 
Như vậy nếu dựng được thì ta có thể dựng được và các đỉnh Bn-1 , Bn , Bn+1 chính là các đỉnh của lục giác đều cạnh a nội tiếp đường tròn (O, a) với B6k+i=Bi (i=1, 2,6)
2: Cách dựng : 
Dựng lục giác đều B1B2B6 nội tiếp đường tròn (O;a)
a, với n=1 bài toán hiển nhiên A1 B1
b, Giả sử ta dựng được điểm An trên OBn+1 sao cho khi đó nối An-1Bn+1 cắt OBn tại An rõ ràng OAn là đoạn thẳng cần dựng, tức 
3. Chứng minh:
theo bước phân tích ta suy ra 
Bài tập ứng dụng 2: cho đoạn thẳng AB và 1 đường thẳng d song song với AB. Chỉ dùng thước hãy chia đoạn AB thành n đoạn bằng nhau.
C: TÌM QUỸ TÍCH BẰNG QUY NẠP:
Một ứng dụng khá hay của phương pháp quy nạp đó là ứng dụng trong việc tìm quỹ tích.
Ví dụ 4: Trong không gian cho mặt cầu (C) tâm O bán kính R và hệ điểm A1A2An. Gọi G là trọng tâm hệ điểm nếu . Tìm tập hợp trọng tâm của hệ điểm A1A2An,M với M là điểm di động trên mặt cầu (C)
Giải: 
a, Với n=1 khi đó trọng tâm của A1M là trung điểm của A1M và ta có 
vậy G là ảnh của M qua phép vị tự tâm A1 tỉ số ½
Vậy tập hợp G là mặt cầu (C1 ) ảnh của mặt cầu (C)
Qua phép vị tự 
B, Giả sử ta tìm được tập hợp trọng tâm Gn của hệ điểm A1A2An,M là mặt cầu (Cn) tâm On bán kính Rn. Ta tìm tập hợp trọng tâm Gn+1 của hệ A1 , A2An , An+1 , M. 
Ta có 
 Do Gn là trọng tâm hệ điểm A1A2An, M nên
Vậy Gn+1 là ảnh của Gn qua phép vị tự 
Theo giả thiết quy nạp ta có quỹ tích Gn là mặt cầu (Cn), vậy quỹ tích Gn+1 là mặt cầu ( Cn+1) là ảnh của (Cn) qua phép vị tự 
do đó quỹ tích Gn+1 là mặt cầu ảnh của mặt cầu (C) tâm O bán kính R qua n+1 phép vị tự
, 
Bài tập ứng dụng 3: trong không gian cho n-1 điểm B1B2Bn-1 và mặt cầu (C) cố định . Tìm tập hợp điểm M sao cho với mỗi A nắm trên mặt cầu (C) ta có
C. Kết luận
- Qua ví dụ trên cho chúng ta thấy sự ứng dụng của phép quy nạp toán học trong giải bài toán hình học khá hiệu quả và độc đáo 
2. Đáp ứng nhu cầu thực tiễn, tôi đã hướng dẫn học sinh phát hiện, xây dựng và hình thành cách giải bài toán hình học bằng phương pháp quy nạp toán học. Thực sự có kết quả tốt, thể hiện qua khảo sát 3 năm thực hiện ở 3 lớp có tiến bộ rõ rệt.
Năm
Lớp
Sĩ số
Điểm giỏi
Điểm 
 Khá
Điểm TB
Điểm Y, K
Ghi chú
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
2003
12G
53
2004
12A
53
2005
12P
45
D. Kiến nghị.
- Do thời lượng còn có hạn:Kinh nghiệm của tôi về hướng dẫn xây dựng và ứng dụng phương pháp này còn chưa sâu sắc. Mong được sự đánh giá góp ý của đồng nghiệp để kinh nghiệm giầu hơn, có ứng dụng tốt hơn.
 Tháng 4 năm 2008
 Người thực hiện
 Chu Viết Tấn