Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng điều kiện cần và đủ trong giải những bài toán có chứa tham số

ớng phải sai lầm gì trong quá trình học tập bộ môn Toán nói riêng và trong cuộc sống nói chung.Mong các thầy cô giáo cùng đọc và góp ý cho đề tài này.
II.Giải quyết vấn đề
1.Cơ sở của phương pháp:
 Ngay bài đầu tiên của lớp 10 học sinh đã làm quen với khái niệm mệnh đề, trong đó có mệnh đề dạng ( Trong đó P là giả thiết, Q là kết luận của mệnh đề)
 P: là điều kiện đủ để có Q 
 Q: là điều kiện cần để có P
 VD: “ Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau”
 Nghĩa là :
Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác có diện tích bằng nhau
Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau
Ta có thể hiểu theo nghĩa đơn giản là có P thì có Q, nhưng có Q chưa hẳn là có P.Từ điều này gợi ý cho chúng ta phương pháp chứng minh một định lý hay một mệnh đề có dạng theo phương pháp “Sử dụng điều kiện cần và đủ trong giải những bài toán có chứa tham số”.ý tưởng của phương pháp này được trình bày dưới mục sau đây
2.Nội dung phương pháp:
 Cho hệ phương trình hoặc hệ bất phương trìnhcó tham số có dạng:
 Hoặc 
Trong đó x : là biến số 
 m: tham số
 D : là miền xác định của biến x
Ta cần tìm điều kiện của tham số m để các hệ trên thoã mãn một tính chất nào đó ( VD: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất,hoặc tìm m để hệ phương trình có nghiệm với mọi giá trị của tham số,vv..)
 Khi đó ta thực hiện theo các bước:
 Bước 1: Đặt điều kiện để các phương trình và hệ phương trình, bất phương trình có nghĩa
 Bước 2: (Điều kiện cần):
 Giả sử PT, hệ PT, Bất PT thoã mãn tính chất mà đế bài yêu cầu
 Dựa vào tính chất đó và dạng của hàm số f(x,m) kết hợp điều kiện D mà ta suy ra đuợc giá trị của m
 Bước 3: (Điều kiện đủ) Sau khi tìm được giá trị của m ở bước 2 ta cần thử lại các giá trị xem giá trị nào thoã mãn yêu cầu. Thông thường trong bước này , ta chỉ xét các hệ cụ thể ( thường là những hệ không có tham số hoặc nếu có thì hệ đã đơn giản đi nhiều).Kết quả của bước này cho phép ta loại đi những giá trị không thích hợp của m.Cần lưu ý là ở bước này ta cần vận dụng các kiến thức cần thiết về lý thuyết pt, Hệ BPT để giải chúng
 Bước 4: Kết luận những giá thị thoã mãn của m
 Như vậy nội dung của phương pháp này đã rõ , có thể tóm tắt lại theo lược đồ sau: 
Đặt điều kiện
Điều kiện cần(tìm m)
Điều kiện đủ(thử lại) giá giá 
Kết luận các giá trị của m
 Phương pháp này tỏ ra khá hiệu quả đối với những dạng toán sau:
 Dạng 1: Phương trình và hệ phương trình có nghiệm duy nhất
 Dạng 2 : Hệ phương trình có nghiệm với mọi giá trị của tham số 
 Dạng 3: Hệ phương trình nghiệm đúng vói mọi xD, với D là một khoảng hoặc một đoạn nào đấy.
 Dạng 4: Phương trình, hoặc hệ phương trình tương đương.
 Dạng 5: Phương trình, hoặc hệ phương trình có nghiẹm theo yêu cầu của bài toán.
 3. Những điều cần lưu ý:
 - Cần cho học sinh nhận thức rõ rằng cần đặt rõ vấn đề ở điều kiện cần và đủ là rất quan trọng, có thể không có bước 1 mà chúng ta làm trực tiếp luôn bước 2
 - Làm thế nào để phát hiện ra điều kiện cần một cách đúng đắn? Trong mỗi dạng toán, tôi đã đưa ra hướng và phương pháp cụ thể để bạn đọc phát hiện ra hướng đi của bài toán, từ đó có thể tìm được giá trị của tham số. 
 - Các phương pháp tìm điều kiện cần trong mỗi dạng toán đều khác nhau và chủ yếu phụ thuộc vào cáu trúc đặc biệt của từng bài toán cụ thể.
4. Các dạng toán thường gặp:
 Dạng 1: Phương trình và hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
 Phương pháp: Sử dụng tính đối xứng của các biểu thức có mặt trong bài toán.
 Ví dụ: 
Hệ đối xứng(xo,yo) là nghiệm (yo,xo) cũng là nghiệm.
Hệ đẳng cấp bậc chẳn (xo,yo) là nghiệm (- xo, -yo) cũng là nghiệm.
 Bài 1: 
 Cho hệ phương trình: 
 Tìm điều kiện của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất?
 Giải: 
 Điều kiện cần: 
 Giả sử hệ có nghiệm duy nhất (xo,yo). Vì hệ đối xứng nên (yo,xo) cũng là nghiệm.
 Do tính duy nhất của nghiệm nên ta có xo = yo
 Thay vào (1) ta có: có nghiệm duy nhất
 Điều kiện đủ: 
Hệ phương trình 
 Kết luận: Với thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài tập tương tự: 
 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
 Đáp số: 
Bài 2: Tìm m để phương trình:
 (1) có nghiệm duy nhất.
Giải: Điều kiện : 
 Ta viết lại phương trình dưới dạng như sau:
 Điều kiện cần: 
Giả sử xo là nghiệm duy nhất của phương trình (- xo-1) cũng là nghiệm.
 xo = (- xo-1) xo = Thay vào (1):
 Điều kiện đủ: 
 Thay vào phương trình ta có: 
 x = 
 Kết luận: 
Bài tập tương tự: 
 Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất: 
 Đáp số: 
 Bài 3: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 
 Giải: 
 - Điều kiện cần:
 Giả sử hệ phương trình có nghiệm (xo,yo), suy ra (- xo,yo) cũng là nghiệm của hệ.
 Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là: xo = 0
 Khi đó : (1)
 Ta cần (1) phải có nghiệm duy nhất.
 Vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là: 
 - Điều kiện đủ:
 Với , hệ có dạng: 
 Là nghiệm duy nhất của hệ. 
 Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi .
Bài tập tương tự:
 Tìm m để các hệ sau có nghiệm duy nhất:
 a) 
 b) 
Dạng 2: Hệ phương trình có nghiệm với mọi giá trị của một tham số.
Phương pháp: 
Ta vẫn thực hiện đầy đủ như đối với bài toán sử dụng điều kiện cần và đủ. Tuy nhiên chúng ta nên lựa chọn các giá trị thuận lợi của tham số để việc xét điều kiện cần đơn giản và tránh các công thức phức tạp. 
 Những ví dụ sau sẽ cho ta rõ được điều đó.
Bài 1: Tìm a để hệ sau đây có nghiệm với b. 
 Giải: 
Điều kiện cần: 
 Giả thiết hệ đã cho có nghiệm với b. Như vậy hệ có nghiệm khi , tức là hệ sau có nghiệm:
 Hệ (1) và (2) tương đương với 2 hệ sau:
 (i) (ii) 
 Dễ thấy rằng: Hệ (i) luôn có nghiệm
 Hệ (ii) có nghiệm khi a = 1 
Vậy điều kiện cần để hệ đã cho có nghiệm b là a = 0 hoặc a = 1.
Điều kiện đủ: 
Xét khi a = 0. Lúc đó ta có:
 Nếu . Nên từ (3) y = 0
 Thay vào (4) ta thấy rằng không thoả mãn.
 Vậy hệ (3), (4) vô nghiệm khi a = 0 loại.
Xét khi a = 1. Lúc đó ta có: 
Rõ ràng (b) hệ (5),(6) luôn có nghiệm ( vì x = y = 0 luôn là nghiệm của hệ (5),(6) b).
 Vậy a = 1 là điều kiện cần và đủ để hệ đã cho có nghiệm b.
Bài tập tương tự: 
 Cho hệ phương trình :
Biết rằng hệ phương trình có nghiệm với mọi giá trị của b. 
CMR: a = 0
 Dạng 3: 
 Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của x thuộc một khoảng ,đoạn nào đó.
 Phương pháp: 
áp dụng các bước của bài toán điều kiện cần và đủ.
 Thay một giá trị cụ thể của ẩn vào phương trình, hệ phương trình, bất phương trình để tìm điều kiện cần .
 Bài 1: 
 Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi giá trị của x 
 Giải:
1) Điều kiện cần:
 Giả sử bất phưng trình đúng với mọi x , suy ra bất phương trình cũng đúng khi x =1. Thay x = 1 vào bất phương trình trên: 
 Vậy điều kiện cần là .
2)Điều kiện đủ:
 Giả sử , theo bất đẳng thức cosi ta có ới mọi x : 
Mặt khác, (do )
 Vậy mọi x ta có:
Kết luận: là điều kiện và đủ để bất phương trình đúng với mọi giá trị của x . 
 Chú ý: Bài này có thể làm bằng phương pháp như sau: 
Bài 2: 
 Tìm a, b, c để với mọi x ta luôn có:
 ( *)
Giải:
 - Điều kiện cần: 
 Bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x , suy ra nghiệm đúng với x = 1; -1; ; 
 Tức là: 
 Đổi dấu 2 vế của (2) rồi kết hợp với (1) ta được: 
 Đổi dấu 2 vế của (4) rồi kết hợp với (3) ta được: 
 Từ (5) và(6) suy ra b = -3.
 Thay b = -3 vào (1), (2) ta được:
 Thay b = -3, a = -c vào (3), (4) ta được: 
 Vậy: là điều kiện cần để bất phương trình (*) nghiệm đúng với 
 mọi x .
- Điều kiện đủ:
 Với a = c = 0 và b = -3 ta có:
 (*) 
 Vậy với a = c = 0 và b = -3 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x . 
Bài tập tương tự:
 Bài 1: 
 Tìm m để với mọi x ta luôn có:
 a) 
 b) 
 Bài 2: 
 Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng 
 Dạng 4: 
 Phương trình tương đương - Hệ phương trình tương đương 
 + Phương pháp: 
Thực hiện bài toán theo các bước bài toán điều kiện cần và đủ.
 Nhớ điều kiện để phương trình và hệ phương trình tương đương với nhau
 + Vận dụng: 
 Bài 1: 
 Tìm a sao cho bất phương trình (1) 
và phương trình (2) là tương đương với nhau.
Giải: 
 Từ bất phương trình ta giải được 
Điều kiện cần: 
 Giả sử bất phương trình và phương trình đã cho là tương đương với nhau.
 Vậy x = -1 phải thỏa mãn phương trình (2)
 Ta có: hoặc a = 3
Điều kiện đủ: Ta xét 2 khả năng sau:
+ Nếu a = 1, phương trình có dạng:
+ Nếu a = -3, phương trình có dạng:
Vậy khi a = -3, bất phương trình và hệ phương trình đã cho là tương đương. Đó là giá trị duy nhất của tham số a thoả mãn đề bài.
 Bài 2: Tìm m để hai phương trình sau tương đương:
 và 
Giải: 
 Ta giải phương trình (1) bằng cách đặt ta được nghiệm x = 0
 Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 0, do đó (1) và (2) tương đương, suy ra (2) có đúng một nghiệm x = 0
 - Điều kiện cần:
 Giả sử phương trình (2) có nghiệm là x = 0
 Suy ra: 
 Đây chính là điều kiện cần để hai phương trình tương đương.
 - Điều kiện đủ: 
 Giả sử , đặt , với t > 0. Khi đó (2) có dạng 
 (3)
+ Với m = 0
 (3) là nghiệm duy nhất của phương trình.
 Vậy m = 0 thì (1) và (2) tương đương.
+ Với 
 (3) 
 Vậy để (1) và (2) tương đương thì: 
 (Với )
Suy ra: 
Vậy với hoặc m = - 4 thì (1) và (2) tương đương
Bài tập tương tự: 
 Tìm m để hai phương trình sau tương đương:
 và 
Dạng 5: 
 Tìm điều kiện của tham số để phương trình hoặc hệ phương trình có nghiệm tuỳ theo điều kiện của bài toán.
 Phương pháp: 
Thực hiện theo sơ đồ từ điều kiện cần đến điều kiện đủ.
Cụ thể hơn nữa, điều kiện cần- thắt chặt dần các đầu mút của điều kiện cần.
Các bài tập vận dụng.
Bài 1: 
 Tìm a, b để phương trình sau có 3 nghiệm khác nhau x1,x2,x3 cách đều nhau( tức là x2 - x1 = x3 –x2)
Giải: 
Điều kiện cần: 
 Giả sử phương trình đã cho có 3 nghiệm khác nhau x1,x2,x3 thoả mẫn điều kiện:
 x2 - x1 = x3 –x2 hay: x1+x3 = 2x2
Theo định lí viet đối với phương trình bậc ba, ta có: 
 x1+ x2 + x3 = 0 
 Thay vào phương trình ta được b = 0
 Vậy điều kiện cần là b = 0
Điều kiện đủ:
 Giả sử b = 0 khi đó phương trình trở thành.
 (1) 
 Vậy (1) có 3 nghiệm khác nhau nếu , và lúc đó (1) có các nghiệm sau:
 , , thõa mãn: x2 - x1 = x3 –x2 
Vậy b = 0, a < 0 là điều kiện