Sáng kiến kinh nghiệm - Rèn luyện, phát triển tư duy học sinh qua một số bài toán về bất đẳng thức lớp 8

 nhận thấy học sinh thường lúng túng, không tìm ra hướng giải quyết hoặc đã tìm ra nhưng không biết làm như thế nào, làm từ đâu, các bài làm của các em trong các giờ kiểm tra trên lớp cũng như các bài kiểm tra 1 tiết thường là không chặt chẽ, không có tính logic nhiều bài làm cho lời giải một cách rời rạc để nhiểu chỗ không hợp lý, đặc biệt là những bài toán khó, những tình huống toán học mang tính thực tiễn.
b. Giải quyết vấn đề
I- Các giải pháp thực hiện:
Hình thành thái độ học tập bộ môn toán cho học sinh.
2. Phân loại bài tập và yêu cầu đối tượng học sinh qua từng bài tập để phù hợp và hiệu quả khi giải bài tập bất đẳng thức.
3. Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh. 
4. Tham khảo các tài liệu trong thư viện, trên báo chí, ý kiến của các đồng nghiệp, các chuyên gia, điều tra, thống kê kết quả học tập của học sinh, hiệu quả trang công tác giảng dạy, đúc rút kinh nghiệm kịp thời... về các vấn đề nghiên cứu và một số vấn đề liên quan.
II- Các biện pháp thực hiện
1. Hình thành thái độ học tập bộ môn toán cho học sinh.
	Học sinh ở cấp THCS đang ở lứa tuổi hiếu động, bồng bột, giải quyết vấn đề hầu như dựa vào cảm tính. Nắm được sự phát triển tâm lí này, giáo viên cần phải tạo cho học sinh một thái độ học tập đúng đắn, nghiêm túc nhằm tạo cho học sinh tính kỉ luật, khoa họcđồng thời kích thích sự hướng thú say mê học tập của học sinh trong quá trình học tập môn toán.
	Để làm được điều này là một người giáo viên cần có nhiều biện pháp như: cho học sinh học tập theo nhóm để rèn luyện tính tập thể, tổ chức học tập dưới hình thức trò chơi, tiến hành đo đạc, giới thiệu những bài toán lí thú, Đặc biệt là phải phân rõ các dạng toán một cách rõ ràng để học sinh dễ hình dung và dễ tiếp thu nó
2. Phân loại và yêu cầu đối tượng học sinh qua từng bài tập để phù hợp và hiệu quả khi giải bài tập.
Được chia làm 2 phần
+ Giới thiệu kiến thức cơ bản
+ Các bài tập áp dụng
(ở phần này được chia làm các dạng toán để học sinh có hệ thống trong quá trình làm các bài tập)
3. Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh qua các dạng bài tập
1. Giới thiêu kiến thức cơ bản
a). Định nghĩa
a > b nếu a – b > 0
b). Tính chất (Có 3 tính chất)
- Tính chất 1: Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức
a > b a + c > b + c
- Tính chất 2: Nhân hai vế của bất đẳng thức với một cùng một số dương
 a.c > b.c
- Tính chất 3: Nhân hai vế của bất đẳng thức với một cùng một số âm
 a.c < b.c
Nhận xét: Phần này giáo viên giới thiệu nội dung kiến thức cơ bản nhất, là tiền đề để làm các bài tập áp dụng. Trong từng dạng giáo viên phải nhấn mạnh đã dũng tính chất gì, hướng phân tích bài toán, tìm ra lời giải thì phải hướng dẫn mẫu và cách trình bày lời giải để học sinh đỡ lúng túng trong cách trình bày lời giải.
2. Các bài toán áp dụng
I. Khi nào một biểu thức có giá trị âm hoặc dương
Dạng 1: Biểu thức có dạng tổng
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của x, sao cho:
a). Biểu thức A = 2x – 1 > 0 có giá trị dương
b). Biểu thức B = 8 – 2x có giá trị âm
Giải
a). 2x – 1 > 0 2x > 1 x > . Với mọi x > thì A > 0
b). 8 – 2x 4. Với mọi x > 4 thì B < 0
Nhận xét:- ở đây đã dùng chiều ngược lại của tính chất 1 (a – b > 0 a > b)
Dạng 2: Biểu thức đưa về dạng tích
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của x để biểu thức A = (x - 1)(x + 3) có giá trị âm
Giải
A < 0 (x - 1) và (x + 3) trái dấu.
Do x – 1 < x + 3 -3 < x < 1
Chú ý: Dùng trục số để lấy khoảng nghiệm trong trường hợp này
-3
1
x < 1 để trắng, x 1 loại (dùng dấu “ ” trên trục số)
x > -3 để trắng, x -3 loại (dùng dấu “ ” trên trục số)
Phần còn lại trên trục số không bị gạch bỏ chính là phần nghiệm chung.
(Rèn luyện kĩ năng lấy tập nghiệm trên trục số)
Nhận xét: Tập cho học sinh khả năng viết gọn tập nghiệm bằng cách dùng trục số
Ví dụ 3: Khi nào biểu thức x2 – 3x có giá trị dương?
Giải
Biến đổi B = x(x - 3).
Cách 1: B > 0 khi các thừa số x, x – 3 cùng dấu. Do x – 3 < x nên
TH1: Cùng dương 0 < x – 3 < x x < 3
TH2: Cùng âm x – 3 < x < 0 x < 0
Cách 2: chú ý: x = 0 hoặc x = 3 làm cho các thừa số x và x – 3 bằng 0, do đó ta xét 3 khoảng giá trị của x
a). Với x 0
b). Với 0 < x < 3 thì hai thừa số trái dấu nhau B < 0
c). x > 3 thì hai thừa số cùng dường B > 0
Kết luận: Vậy B > 0 x > 3 hoặc x < 0
Có thể tổng hợp các kết quả trên vào 1 bảng xét dấu như sau:
x
0
3
x
-
0
+
+
x - 3
-
-
0
+
x(x - 3)
-
0
+
0
+
(Rèn luyện kĩ năng lấy tập nghiệm bằng cách dùng bảng)
Nhận xét: - Rèn cho học sinh thêm một cách giải khác bằng cách dùng bảng xét dấu. 
	- Một bài toán không chỉ có 1 cách giải mà có thể có nhiều cách, tuỳ vào từng bài toán mà chúng ta có thể chọn 1 trong những cách đơn giản để trình bày.
	- Một số bài toán muốn đơn giản thì cần phải quan sát bài toán, có thuộc vào các bài toán giải bằng phương pháp đặc biệt không. Có những bài toán thì cần phải phân tích từ bên trong những cũng có những bài toán cần phải phân tích từ phía ngoài mới tìm ra được lời giải hay.
Dạng 3: Biểu thức đưa về dạng thương
Ví dụ 4: Tìm các giá trị của x để biểu thức A = có giá trị âm.
Giải
A < 0 x + 3 và x – 1 trái dấu. Do x – 1 < x + 3
 -3 < x < 1
Nhận xét: - Có thể dùng trục số xét dấu hoặc bảng xét dấu để thu gọn tập nghiệm, học sinh có thể thấy được việc dùng trục xét dấu nó đơn giản hơn bảng xét dấu.
- Xét dấu ở dạng tích cũng tương tự như việc xét dấu ở dạng thương. Ta có thể quy về dạng tích để xét dấu.
- Luyện cách dùng dấu “”thay cho chữ “và” hoặc dùng dấu “” thay cho chữ “hoặc” để giải toán.
II. Khi nào thì A > B hoặc A < B
	Thực chất của loại toán này là tìm giá trị của biến để biểu thức A – B có giá trị dương hoặc âm.
Ví dụ 5: Cho biểu thức A = . Tìm các giá trị của x để A > 1
Giải
Do A > 1 - 1 > 0 > 0 > 0 < 0
 x + 8 < 0 x < -8 
Vậy x 1
Ví dụ 6: Với giá trị nào của x thì 
Giải
 x > 24
Nhận xét: Rèn luyện cho học sinh khả năng quy đồng mà mẫu số bằng chữ như ở ví dụ số 5, đồng thời rèn luyện quy tắc chuyển vế được ứng dụng trong các bất đẳng thức tương tự như trong các đẳng thức
III. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
	Một biểu thức có thể có những giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Chẳng hạn biểu thức x2. Biểu thức này có giá trị dương khi x 0. Có giá trị bằng 0 khi x = 0. Như vậy biểu thức x2 có giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = 0. Biểu thức này không có giá trị lớn nhất. Thật vậy, giả sử x2 có giá trị lớn nhất là m tại x1 thì x2 cũng bằng m tại x2 là số đối của x1. Giả sử x1 > 0, ta sẽ chứng tỏ rằng tồn tại một giá trị x3 mà . Ta chọn x3 > x1 > 0 khi đó . Mà nên > m , trái với điều giả sử m là giá trị lớn nhất của biểu thức.
	Muốn tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x), ta phải thực hiện hai yêu cầu: Chứng tỏ rằng f(x) m (m là hằng số) với mọi giá trị của x rồi chỉ ra rằng dấu “=” được xảy ra .
	Muốn tìm giá trị lớn nhất (GTNN) của biểu thức f(x), ta phải thực hiện hai yêu cầu: Chứng tỏ rằng f(x) m (m là hằng số) với mọi giá trị của x rồi chỉ ra rằng dấu “=” được xảy ra .
	Nếu chỉ chứng minh được yêu cầu thứ nhất thì chưa đủ để kết luận về giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Chẳng hạn ta có 0. Muốn dấu “=” xảy ra ta phải có x2 + 3 = 0, điều này không thể xảy ra vì x2 + 3 3 với mọi x. Như vậy mặc dù (x2 + 3) 0 nhưng 0 không phải là giá trị nhỏ nhất của biểu thức (x2 + 3)2, GTNN của biểu thức này là 9 khi x = 0.
	Một số ví dụ khác: xét biểu thức x2 + (x - 2)2. Ta cũng có x2 + (x - 2)2 0 nhưng dấu đẳng thức không xảy ra. GTNN của biểu thức này là 2 khi x = 1.
Phương pháp:
	Để chứng tỏ rằng f(x) m (m là hằng số), ta thường dùng đến bất đẳng thức:
x2 0 ; |x| 0
	Để chứng tỏ rằng f(x) m (m là hằng số), ta thường dùng đến bất đẳng thức:
-x2 0 ; -|x| 0
	Sau đây một số ví dụ về việc sử dụng bất đẳng thức
Ví dụ 7: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2(x + 3)2 – 5
Giải
Ta có: (x + 3)2 0 x R. 2(x + 3) 0 2(x - 5) – 5 -5 (Sử dụng tính chất 1) .
TGNN của A = 5 x = x + 3 = 0 x = -3
Chú ý: Có những biểu thức không có GTLN và GTNN
Chẳng hạn A = 4x ; B = . Tuy nhiên nếu xét các giá trị của biến trong một tập hợp hẹp hơn, biểu thức là có thể có GTLN hoặc GTNN. Chẳng hạn, xét x R; x Q; x Z thì biểu thức x + 5 không có GTNN những nếu xét x N thì biểu thức đó có GTNN bằng 5 với x = 0.
Ví dụ 8: Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức D = có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị đó.
Giải
Biến đổi D = = 
D lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất.
TH1: x > 4 < 0	(1)
TH2: x > 0 > 0. Phân số có tử và mẫu đều dương, tử không đổi nên giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Mộu 4 – x nguyên dương, nhỏ nhất khi 4 – x = 1 x = 3. Khi đó
	(2)
Từ (1) và (2) 10. Vậy D lớn nhất bằng 11 tại x = 3.
Nhận xét: Dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất mà tử và mẫu đều có biến bậc nhất thì phương pháp chung là phải là sao mất biến ở tử số (bằng cách nhóm, thêm, bớt, ) còn biến ở mẫu số.
- Dựa vào điều kiện của đề bài để đưa ra kết quả.
4. Tham khảo ý kiến của các đồng nghieep, các loại sách tham khảo tôi thấy hầu hết các sách đều trình bày theo lối.
- Đưa ra các nội dung kiến thức cơ bản
- Đưa ra các dạng toán và hướng giải quyết các dạng bài toán này.
- Một số chú ý khi làm các dạng bài toán này.
- Đưa ra một số bài toán nâng cao và cách giải để học sinh tham khảo. Đó chính là tiền đề để bồi dưỡng học sinh giỏi mà trong các giờ lên lớp giáo viên không thể bồi dưỡng được. Vì kiến thức ở lớp chỉ là các kiến thức cơ bản để cho học sinh từ yếu, kém, trung bình cũng như học sinh khá giỏi nắm được cái căn bản của tri thức.
- Kinh nghiệm đúc rút ra trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi là không những củng cố lại phần kiến thức cơ bản mà học sinh được học ở lớp mà còn củng cố cho học sinh một số kĩ năng, cách giải các bài toán, cách phân tích các bài toán để có thể giải một số bài toán khó những được quy về một số dạng nào đó mà học sinh đã có dịp bồi dưỡng, đặc biệt là rèn luyện cho học sinh cách tư duy các bài toán, từ dễ đến khó, từ đơn giãn đến phúc tạp, một số “kĩ xảo” để