Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển tư duy của học sinh qua 1 bài chứng minh bất đẳng thức

tư duy là thuộc tớnh của tõm lớ, tư duy hỡnh thành và phỏt triển theo từng giai đoạn trong quỏ trỡnh trưởng thành của con người. Tư duy đặc biệt phỏt triển mạnh ở giai đoạn thanh, thiếu niờn. Vỡ vậy giỏo viờn cần phải quan tõm đến phương phỏp giảng dạy nhằm phỏt triển tư duy cho học sinh một cỏch tốt nhất. Tất cả cỏc mụn học đều phỏt triển tư duy cho học sinh nhưng mụn toỏn cú vai trũ quan trọng hơn cả. Giải bài tập toỏn là lỳc học sinh được thể hiện kĩ năng, tớnh sỏng tạo và úc tư duy. Cỏc bài tập toỏn trong SGK chủ yếu hỡnh thành kĩ năng cho học sinh, mục đớch phỏt triển tư duy cho học sinh ở mức độ thấp nhằm đảm bảo tớnh giỏo dục phự hợp với học sinh đại trà theo chuẩn kiến thức kĩ năng. Giải bài tập toỏn chứng minh bất đẳng thức trong quỏ trỡnh ụn thi HSG là điều kiện cần thiết để học sinh giỏi hỡnh thành và phỏt triển tư duy ở mức độ cao hơn.
2 - Cơ sở thực tiễn:
 Trường THCS Dương Quan là một trường nhỏ, trường cú 12 lớp chia đều cho cỏc khối. Phần lớn học sinh chăm học, ý thức tốt nhưng tỏc phong tư duy và tỏc phong học tập chưa đỳng làm cho kết quả của học sinh chưa cao, đặc biệt là kết quả thi học sinh giỏi. Chớnh vỡ vậy vấn đề ụn thi HSG cần được đẩy mạnh. Tụi được phõn cụng dạy đội tuyển Toỏn 9 và Giải toỏn trờn mỏy tớnh, số lượng được dự thi là 6 HS. Tụi lựa chọn 8 HS để ụn thi và nhằm phỏt triển tư duy cho nhúm HS đú. Mục “phỏt triển tư duy của học sinh qua 1 bài chứng minh bất đẳng thức” nằm trong chuyờn đề bất đẳng thức được thực hiện trong 3 đến 4 tiết gồm hệ thống bài tập trờn lớp và hệ thống bài tập tương tự giao về nhà cho HS.
Phần 4
Vấn đề nghiên cứu
 Chỳng ta xột một bất đẳng thức cơ bản trong chương trỡnh trung học cơ sở nhưng nú là cơ sở cho rất nhiều bài toỏn khú.
Bài toỏn xuất phỏt:
Bài 1: Với a, b dương chứng minh rằng: a3 + b3 ab (a + b). (*)
Giải : Thật vậy bất đẳng thức trờn tương đương với :
 Û (a + b)(a2 – ab + b2) – ab(a + b) 0
 Û (a + b)(a2 - 2ab + b2) 0
 Û (a + b)(a - b)2 0 đỳng với mọi a, b dương.
Đẳng thức xảy ra khi a = b. 
Học sinh cú thể biến đổi theo hướng khỏc:
Với a, b dương ta vẫn cú thể biến đổi (*) thành : ab
 Û a2 – ab + b2 ab
 Û ( a - b)2 0 (đỳng) 
Đẳng thức xảy ra khi a = b
 Nếu chỉ dừng ở đõy thỡ bất đẳng thức (*) khụng cú gỡ đặc biệt khụng cú gỡ mới lạ. Học sinh khỏ, giỏi khụng khú khăn trong việc giải bài tập này. GV hướng dẫn học sinh nhận thấy rằng:
Bất đẳng thức (*) vẫn cũn đỳng khi a, b khụng õm. Nếu a, b là cỏc số dương thỡ bất đẳng thức (*) cú thuận lợi gỡ khi thay đổi thành bất đẳng thức khỏc ?
Nếu ta biến đổi bất đẳng thức (*) thành bất đẳng thức:
 Û + b2 a(a + b) ( do b > 0)
 Û + b2 a2 + ab
Tương tự với a, b, c dương thỡ :
 + c2 b2 + bc
 + a2 c2 + ac
Từ đú ta cú bài toỏn hay:
Bài 2: Với 3 số a, b, c dương chứng minh rằng :
 ++ ab + bc + ca
 Đõy là bài toỏn khụng hề đơn giản, nếu tỏch hạng tử để sử dụng kĩ thuật của bất đẳng thức CụSi thỡ rất khú.
Học sinh cú thể thử bằng cỏch như sau: + b2 2a dấu “=” xảy ra khi a = b
Tương tự + c2 2b
 + a2 2c
Với cỏch thử này giỏo viờn sẽ dẫn học sinh đến một bài tập khỏc:
 ++ 2a+2b+2c- (a2 + b2 + c2)
Khi đú học sinh sẽ xuất hiện cõu hỏi: 
Hai bất đẳng thức ++ ab + bc + ca 
 và ++ 2a+2b+2c- (a2 + b2 + c2)
thỡ bất đẳng thức nào chặt hơn ? 
Cỏch làm đơn giản nhất là GV cho học sinh thử một vài giỏ trị đặc biệt sẽ nhận thấy ab + bc + ca 2a+2b+2c- (a2 + b2 + c2)
 GV yờu cầu học sinh về nhà tỡm hướng chứng minh.
 Vẫn tiếp tục ý tưởng biến đổi bất đẳng thức (*) trờn cơ sở a, b là cỏc số dương, ta cú hướng biến đổi khỏc:
Từ a3 +b3 ab(a+b) (*) suy ra: a + b
 tương tự c + b
 a + c Với a,b,c là cỏc số dương.
Từ đú ta cú bài toỏn: 
Bài 3: Với a, b, c dương chứng minh rằng:
 ++ 2(a + b + c)
Bất đẳng thức này đơn giản hơn, học sinh cú thể biến đổi thành nhiều cỏch nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức Cụ si = 2
Tương tự ta cú: ++ 2 + 2 + 2
Học sinh lại gặp vấn đề tương tự, trong hai bất đẳng thức: 
 ++ 2(a + b + c)
 ++ 2 + 2 + 2
thỡ bất đẳng thức nào chặt hơn?
Yờu cầu này đơn giản hơn vỡ hầu hết học sinh đều quen thuộc với bất đẳng thức: 2(a + b + c) 2 + 2 + 2 (a, b là số dương)
Như vậy bài tập ++ 2 + 2 + 2 hay hơn bất đẳng thức trong bài tập 3.
Ta cú bài tập sau:
Bài 4: Cho a, b, c là cỏc số dương. Chứng minh rằng:
 ++ 2 + 2 + 2
 GV nhắc nhở học sinh luụn cú ý thức tự đặt cõu hỏi. Vớ dụ: “hai vế bất đẳng thức a3 +b3 ab(a + b)(*) cú gỡ quen thuộc?”. “Biến đổi như thế nào để cú lập phương của một tổng ?”.
Khi đú HS biến đổi (*) Û 3(a3 + b3) 3ab(a + b)
 Û 4(a3 + b3) a3 + b3 + 3ab(a + b).
 Û 4(a3 + b3) (a + b)3.
Từ đú ta đề xuất được bài toỏn mới:
Bài 5: Với a, b, c dương chứng minh rằng: 
 8(a3 + b3 + c3 ) (a + b)3 +(c + b)3 + (a + c)3
 Bài tập này học sinh cú thể chứng minh bằng cỏch biến đổi tương đương, hoặc sử dụng phương phỏp tỏch để chứng minh.
 Ta đó cú: 4(a3 + b3) (a + b)3
 Tương tự: 4(b3 + c3) (b + c)3
 4(a3 + c3) (a + c)3
Cộng hai vế của cỏc bất đẳng thức cựng chiều này ta suy ra điều phải chứng minh.
Ta ỏp dụng bất đẳng thức CụSi cho 2 số dương của vế phải bài 5 thỡ được điều gỡ?
Học sinh thấy ngay (a + b)3 (2)3 = 8ab
 (b + c)3 8bc
 (a + c)3 8ac
Khi đú tự học sinh sẽ thấy bài toỏn mới đẹp hơn bài 5.
Bài 6: Cho a,b,c là cỏc số dương. Chứng minh rằng: 
 a3 +b3 +c3 ab+bc+ac
Bài toỏn sẽ trở nờn khú hơn nếu bổ xung thờm giả thiết abc = 1.Khi đú: 
 ab = ; bc = ; ac = 
Như vậy học sinh đó tạo ra được bài toỏn mới hay hơn bài 6.
Bài 7: Cho a,b,c là cỏc số dương thoả món abc = 1. Chứng minh rằng: a3 +b3 +c3 ++ 
 Kĩ năng tỏch cỏc hạng tử là một trong những kĩ năng quan trọng để chứng minh bất đẳng thức. GV biến đổi bất đẳng thức (*) cũng tạo ra được một số bài tập cho HS rốn luyện kĩ năng này.
Bài 8: Cho a, b, c là cỏc số dương. Chứng minh rằng:
 2(a3 + b3 + c3) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) 
Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức (*) cho lần lượt cặp số a,b,c ta cú:
 a3 + b3 ab(a + b) 
 b3 + c3 bc(b + c)
 a3 + c3 ca(c + a)
Cộng hai vế của cỏc bất đẳng thức cựng chiều ta được :
 2(a3 +b3 +c3) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) 
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
 Ta thấy rằng khi sử dụng bất đẳng thức CụSi cho đụi một cỏc số dương a, b, c thỡ dấu “=” xảy ra khi a = b = c
 Ta cú a + b 2; b + c 2 và c + a 2
Khi đú ta cú một bài toỏn mới:
Bài 9: Cho a, b, c là cỏc số dương. Chứng minh rằng:
 a3 + b3 + c3 ab + bc + ac
 GV đưa bài tập này ra khụng bỡnh luận gỡ thờm. Nếu học sinh nào làm theo hướng làm của bài tập 8 thỡ thật mỏy múc. Bài tập đơn giản như vậy mà phải ỏp dụng cả bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức CụSi. 
Dựng kĩ thuật tỏch hạng tử và bất đẳng thức CụSi là đủ. Khi đú lời giải sẽ rất gọn gàng và thể hiện được tớnh sỏng tạo của học sinh.
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức CụSi cho 2 số dương ta cú:
 a3 + b3 2ab
 b3 + c3 2bc
 a3 + c3 2 ac
Cộng hai vế của cỏc bất đẳng thức cựng chiều trờn ta được:
 a3 + b3 + c3 ab + bc + ac
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Nếu học sinh biến đổi bất đẳng thức a3 +b3 ab(a+b)(*) theo hướng sau:
 Û a3 + b3 + abc ab(a + b) + abc
 Û a3 + b3 + abc ab(a + b + c)
 Û 
Tương tự ta cú:
Suy ra:
++++
Û ++
Ta cú bài toỏn sau:
Bài 10: Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng :
 ++ 
 Đõy là một bài toỏn khú nếu học sinh lần đầu gặp thỡ khụng biết sẽ bắt đầu từ đõu. Tuy nhiờn bài toỏn này cú trong hầu hết cỏc quyển sỏch viết về bất đẳng thức. Cỏc lời giải đều gọn gàng nhưng khụng tự nhiờn. Sự hướng dẫn của giỏo viờn sẽ giỳp cho học sinh thấy tự nhiờn hơn và thấy bài toỏn “đơn giản” hơn.
Đặc biệt hoỏ bài toỏn này trong trường hợp abc = 1. Ta cú bài toỏn mới (bài thi vào trường Đại học Thuỷ Lợi năm học 1999)
Bài 11: Cho a,b,c dương và abc = 1. Chứng minh rằng:
 ++ 1
Lời giải bài toỏn này giống như bài 8, khi sử dụng kết quả bài toỏn này ta sẽ chứng minh được bài toỏn sau đõy: 
Bài 12: Cho a, b, c là cỏc số dương và abc = 1. Chứng minh rằng:
 Ta sẽ chứng minh cho 
 ++ 1
bằng cỏch chứng minh: 
Thật vậy 
 Û a5 + b5 + ab ab( a3 + b3 +1) 
 Û a5 + b5 ab( a3 + b3 )
 Û a5 + b5 ba4 + ab4
 Û (a - b)(a4 –b4) 0
 Û (a - b)(a2 - b2)(a2 + b2) 0
 Û (a - b)2(a2 + b2)(a + b) 0 đỳng. Dấu “=” xảy ra khi a = b
Từ đú suy ra điều phải chứng minh.
Chỳng ta xột một bài bất đẳng thức khú trong tập “Chuyờn đề Bất đẳng thức, trang 7, tỏc giả Trần Văn Hạo, NXB GD năm 2001”
Bài 13: Cho 3 số a, b, c dương. Chứng minh rằng:
 ++ 
GV hướng dẫn học sinh tỡm cỏch đỏnh giỏ a2 + ab + b2 ≤ ???
Chắc chắn học sinh sẽ nghĩ đến bất đẳng thức 
 ab ≤ hoặc ab ≤ ()2
nếu sử dụng ab ≤ thỡ a2 + ab + b2 ≤ (a2 + b2)
Suy ra 
Tương tự 
Như vậy
 ++ ++
Cụng việc tiếp theo của học sinh khụng hề đơn giản. Đến đõy bài toỏn trở lờn khú hơn rất nhiều.
Nờn giỏo viờn hướng dẫn học sinh đi theo con đường khỏc: làm xuất hiện biểu thức a2+ab+b2 từ bất đẳng thức a3 + b3 ab(a + b)(*) 
 Ta cú (*) Û 3a3 2a3 + 2a2b + 2ab2 – ab2 – a2b – b3
 Û 3a3 (2a - b)(a2 + ab + b2)
Khụng những tạo ra a2+ab+b2 mà cũn tạo ra được cả biểu thức 
 Như vậy 
Tương tự ta cú: 
Cộng hai vế của cỏc bất đẳng thức cựng chiều ta cú điều phải chứng minh.
Bài tập khú như vậy nhưng được biến đổi từ bài tập rất bỡnh thường! Điều đú giỳp HS thấy tự tin hơn, chỉ cần bỡnh tĩnh và chắc chắn kiến thức cơ bản là cú thể làm được.
 Đến đõy giỏo viờn nờn tạo điều kiện cho học sinh suy nghĩ về hướng làm trước đó thất bại. Sau khi chứng minh được thỡ hướng làm trước cú thực hiện được khụng?
Ta đó cú 
 ++ ++
Cần chứng minh: ++
Qua việc chứng minh bằng cỏch trờn chỳng ta cú ý tưởng gỡ chứng minh bài này?
Bằng cỏch tuơng tự học sinh sẽ nghĩ ra:
Chứng minh: 
Đến đõy thỡ thật đơn giản để chứng minh cỏc bất đẳng thức này:
Thật vậy: 
b(b – a)2 0 (đỳng)
 Dấu “=” xảy ra khi a = b
Như vậy hướng làm đầu tiờn vẫn thực hiện được nhưng phức tạp, lời giải khụng đẹp. Tuy nhiờn, điều đỏng mừng là chỳng ta đó tỡm ra bất đẳng thức chặt hơn bất đẳng thức cần chứng minh trong bài 13.
Kết quả khi tỡm tũi lời giải bài 13 ta cú bài toỏn mới:
Bài 14: Cho a, b, c dương. Chứng minh rằng: 
 ++a + b + c
Từ bất đẳng thức a3 + b3 ab(a + b) (*) ta cú hướng phỏt triển khỏc:
 Û 
Tương tự ta cú : 
Từ đú suy ra ++++